第3章一次方程（组） 期末综合复习计算能力达标测评 2025-2026学年湘教版七年级数学上册

2025-2026学年湘教版七年级数学上册《第3章一次方程（组）》 期末综合复习计算能力达标测评（附答案） （满分120分） 一、一元一次方程的解法 1．解一元一次方程： (1)； (2)． 2．解方程 (1)； (2)． 3．解方程：． 4．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 5．已知关于x的方程的解与的解相同，求的值． 6．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 7．在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为． (1)求的值； (2)写出正确的求解过程． 8．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 9．定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 10．定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 二、二元一次方程组的解法 11．用代入法解下列方程组： (1)； (2)． 12．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 13．利用换元法解下列方程组： (1) (2) 14．甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 15．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 16．若关于x、y的方程组 与 有相同的解，求的值． 17．解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 18．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 19．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 20．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 参考答案 1．（1）解： ． （2）解： ． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化进行求解即可． （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3． 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故原方程的解为． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先根据分数的基本性质将方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 去中括号，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 5．3 【分析】本题考查了同解方程的定义，掌握同解方程的定义，得出的值是解题的关键． 先解不含参数的一元一次方程，将解代入含参数的一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 将代入得： ， ， ． 6． 【分析】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【详解】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 7．(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）由题意得知去分母后得到错误方程为，把代入方程即可求解， （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解：∵在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为， ∴把代入方程得 ， ， ， ， ； （2）解：方程， ， ， ， ． 8．或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 9．(1)3 (2) (3)或或3 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加、减法运算，绝对值，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，结合当时，，代入数据计算即可作答． （2）根据新定义，先计算，再计算即可； （3）要进行分类讨论，即当时，当时，这两种情况，然后进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：∵， 当， 即时，， ∴或， ∴或，   当， 即时，， ∴或， ∴ (舍去) 或，   ∴y的值为或或3． 10．(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 11．(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的方法是银题的关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可． （2）应用代入消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：把②代入①，可得：， 解得， 把代入②，解得， 原方程组的解是． （2）解：由①，可得， 把代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法的应用． （1）利用加减消元法将两方程相加得到关于x的方程并解得x的值，再将x的值代入第一个方程即可求解y的值，方程组的值即可解得； （2）先将第一个方程的分母消去化简得到③式，再通过加减消元法得到x的值，再将x的值代入③式即可求得y的值，方程组的值即可解得． 【详解】（1）解：， 由得：，解得， 将代入①式得：，解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 先将①化简得：③， 由得：， 由得：， 两式相加得：，解得， 将代入②式得：，解得， ∴方程组的解为． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 14．，，原方程组的解为 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 首先根据甲看错了①得，然后根据乙看错了②得，进而解方程组求得a、b值，得到原方程组为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意，把代入中，得 把代入中，得 得，解得 将代入③，得，解得， ∴原方程组为 得，，解得 将代入②，得，解得 ∴原方程组的解为． 15． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意得出，再运用加减消元法解出，，再把它们分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解也是方程的解， ∴， 由得， 解得， 把代入②，得：， ∴， 解得， 把，分别代入， 得． 16．4 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的应用 ；根据加减消元法解出方程组 得解，再代入到中，求出，再代入中计算即可． 【详解】解：方程组中，，得， 代入①，得， 整理得． 方程组的解为． 代入，得， 解得． ∴． 17． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 19．(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 学科网（北京）股份有限公司 $