第1-3章 期末综合复习计算能力提升训练题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第1-3章》 期末综合复习计算能力提升训练题（附答案） 一、因式分解 1．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 2．因式分解： (1)； (2)． 3．因式分解： (1) (2) (3)； (4) 4．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 6．用简便方法计算： (1)； (2)． 7．【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 8．【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 9．阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 10．阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 二、分式 11．计算：． 12．计算： (1) (2) 13．计算：． 14．分式计算 (1) (2) 15．已知，求的值． 16．已知（是常数），求的值． 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．化简： (1)，其中． (2)，再从，，0，2中选择一个合适的数作为代入求值． 三、二次根式 21．计算： (1)； (2)． 22．计算 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)； (2)． 26．（1）试化简：； （2）已知a，b满足，，求． 27．解下列各题． (1)已知，求的平方根； (2)已知，求代数式的值． 28．先化简，再求值：，其中 29．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 30．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 参考答案 1．解：（1） ； （2） ． 2．（1）解： ； （2）解： ． 3．（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 4．（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（1）解： （2） 6．（1）解： ； （2） ． 7．（1）解： ； （2）解： （3）解： 8．（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 9．（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 10．（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 11．解：原式 12．（1）解： ； （2） ． 13． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键，先将小括号里面的分式进行通分，然后再进行分式的乘法运算，得出答案即可． 【详解】解： ． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据分式的除法运算进行计算即可求解； （2）先计算分式的除法，再计算减法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15． 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 16． 【分析】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得． 17．(1)无解 (2) 【分析】（）先化分式方程为整式方程，解之求出的值，再检验即可得出答案； （）先化分式方程为整式方程，解之求出的值，再检验即可得出答案； 本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18．(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 19．，6 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 20．(1)， (2)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简，根据乘方法则求出的值，代值计算即可； （2）先计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵， ∴原式； （2）解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 21．(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，准确结合绝对值的性质、立方根的性质计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和立方根的性质化简计算即可； （2）根据绝对值的性质化简合并即可； 【详解】（1）原式； （2）原式． 22． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 23．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 24．(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）先计算完全平方和二次根式的乘法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： （2） 25．(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可； （）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（1）1；（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算； （2）根据二次根式的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）∵， 若，则， 该方程无解，故不成立，则， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴把代入或运算解得：或， ∴． 27．(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程． （1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根． （2）由变形得，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， 的平方根为． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算和二次根式的混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再分母有理化，然后代入，进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 29．(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 30．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $