第3章 二次根式（暑假单元自测）新八年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学二次根式单元卷，覆盖核心知识点，题型梯度分明，注重运算能力与推理意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|最简二次根式、运算、同类二次根式等|基础巩固，检测概念理解| |填空|8/24|化简、取值范围、比较大小等|强化细节，提升辨析能力| |解答|6/66|计算、规律探究、新运算、分母有理化等|综合应用，突出推理与创新，如规律探究题培养数学思维|

第3章 二次根式 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 5．当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C．3 D．9 7．若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 9．如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 10．这是一组按规律排列的多项式：，⋯则第个多项式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．化简：________． 12．要使代数式有意义，则的取值范围是______． 13．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 14．化简的结果为________． 15．比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 16．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 17．已知，则代数式的值为______． 18．若已知，为实数，且，则_____． 三、解答题（共66分） 19．（10分）计算： (1) (2) 20．（10分）先化简再求值：，其中． 21．（11分）观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 22．（11分）对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 23．（12分）阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 24．（12分）著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 二次根式 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； C、分母含根号，可化为，不满足条件，不是最简二次根式； D、满足两个条件，是最简二次根式． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A与不是同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误； B、，计算错误； C、根据二次根式乘法法则，可得，计算正确； D、，计算错误． 3．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式被开方数的非负性列关于不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 5．当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）以及分式分母不为，将代入各选项，判断哪个式子无意义即可． 【详解】解：当时，，故A选项有意义； ，故B选项有意义； ，故C选项有意义； ，的分母为，故D选项无意义． 6．若，则的值为（     ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：， 故． 7．若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用平方数和绝对值的非负性构造二元一次方程组，通过整体计算求出的值，再计算其平方根即可得到结果． 【详解】解：∵任何数的平方是非负数，任何数的绝对值也是非负数，且 ∴几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得 ， 将得 ， 等式两边同除以3得 ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可判断出的符号，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 9．如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再分别求出和的小数部分和，最后计算的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵， ∴的整数部分为，小数部分， ． 10．这是一组按规律排列的多项式：，⋯则第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可将多项式拆分为的指数，根号内的数字，第二项的符号三部分，分别寻找对应规律，即可得到第个多项式的表达式，再匹配选项即可． 【详解】解：我们对多项式的三部分分别找规律： 1．找的指数规律 ∵第1个多项式中的指数为， 第2个为， 第3个为... ∴第个多项式中的指数为． 排除选项C． 2．找根号内数字的规律 ∵第1个多项式中根号内数字为， 第2个为， 第3个为... ∴第个多项式中根号内数字为． 排除选项A． 3．找第二项的符号规律 ∵第1个第二项符号为负，时符号为； 第2个第二项符号为正，时符号为； 第3个第二项符号为负，时符号为； ∴第个多项式第二项的符号规律：． 因此排除D． 综上，第个多项式为， B符合． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 12．要使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，得，解得；根据分式有意义的条件是分母不为，得；故的取值范围为且． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：且． 13．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 14．化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 15．比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小． 【详解】解：． 16．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 17．已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先将已知的等式两边平方化简得到，然后把代数式变形为，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∴ ． 18．若已知，为实数，且，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， ． 三、解答题（共66分） 19．（10分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（10分）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 当时， 原式． 21．（11分）观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【答案】(1)第四个式子为，理由如下： 左边右边， 因此等式成立； (2)归纳规律得：对任意正整数，； 证明：左边 ， 为正整数， ， ， 左边右边 ， 等式成立． 【分析】先观察已知等式中各部分数字的变化规律，归纳得到第四个式子和含的一般性规律，再利用二次根式的性质化简验证等式成立． 【详解】（1）略 （2）略 22．（11分）对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 23．（12分）阅读下列材料，然后解答问题： 材料：将进行分母有理化，过程如下： 请利用上述方法解答下列问题： (1)化简：___________； (2)计算：___________； (3)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可； （2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可； （3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 24．（12分）著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由，， 则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $