2.1 不等式及其性质 课件-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦八年级下册“不等式与不等式组”中不等式的概念、解集及基本性质，通过跷跷板、烟花安全距离等生活场景导入，从具体问题抽象出不等关系，再到解集表示和性质探究，构建“情境—问题—概念—应用”的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，如用行李长宽高规定抽象不等式，发展抽象能力；通过绳长围图形比较面积的推理过程，强化数学思维与推理意识；用数轴表示解集、不等式表达数量关系，落实数学语言与模型意识。结构化小结助学生梳理知识，教师可直接用于情境教学，提升学生核心素养与课堂效率。

第二章 不等式与不等式组 八年级下册数学（北师版） 2.1 不等式及其性质 第1课时 不等关系 情境导入 对于晓跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物方案的选择等生活场景，你也许并不陌生，但你是否想过它们与某种“不等关系”有关？其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍。 探究新知 1.如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1) 如果要使正方形的面积不大于 25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ 不等式的概念及列不等式 1 (2) 如果要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长 l 应 满足怎样的关系式？ (3) 当 l＝8 时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12 呢？ 当 l＝8 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大； 当 l＝12 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大． 改变 l 的值再试一试，由此你能得到什么猜想？ 当 l＝40 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大． 我们发现无论 l 取何值，圆的面积始终大于 正方形的面积，即 . (1) 铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm. 设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式. 做一做 a + b + c≤160 (2) 通过测量一棵树的树围 (树干的周长) 可以估算出它的树龄. 通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位. 某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 3 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 30 cm，请你列出 x 满足的关系式. 解：6＋3x＞30. 观察由上述问题得到的关系式： ，a + b + c ≤ 160，6 + 3x＞30 ， 它们有什么共同的特点？ 一般地，用不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”) 连接的式子叫作不等式. 左右不相等 归纳总结 用不等号“≠”连接的式子也是不等式. 例1 判断下列式子是不是不等式： (1) -3＞0； (2) 4x＋3y ≠ 0； (3) x = 3； (4) x2＋xy＋y2； (5) x＋2＞y＋5. 解：(1) (2) (5) 是不等式； (3) (4) 不是不等式. 典例精析 例2 用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足不等式的数： (1) x 的一半不小于 -1 (2) y 与 4 的和大于 0.5 (3) a 是负数； (4) b 是非负数. (1) 0.5x ≥ -1. 如 x＝-1，1. (2) y + 4＞0.5. 如 y＝0，1. (3) a＜0. 如 a＝-3，-4. (4) b 是非负数，就是说 b 可以是正数或零，即 b≥0. 如 b＝0，2. 1. 给出下列数学式：①-3 < 0；②4x + 3y > 0； ③x = 5；④x2 - xy + y2；⑤x + 2 > y - 7. 其中不等式的个数是 ( ) A. 5 B.4 C. 3 D.1 C 针对训练 不等式 概念 用不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子 列不等式 1. 理解题意； 2. 找出数量关系； 3. 列出关系式. 课堂小结 课堂练习 1. 用不等式表示下列数量关系： (1) a 是正数； (2) x 比 -3 小； (3) 两数 m 与 n 的差大于 5. a＞0. x＜-3. m－ n＞5. 2. 雷电的温度大约是 28000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高. 设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应该满足怎样的关系式？ 解：4.5t＜28000. 2.1 不等式及其性质 第2课时 不等式的解集 第二章 不等式与不等式组 观察与思考 情境导入 思考：我们在燃放烟花时，为了确保安全，需要注意哪些事项呢？ 在安全距离、引火线的燃烧速度和燃放着离开的速度为一定时，还应注意引火线的长度，那引火线究竟需要多长呢？这节课我们一起讨论一下吧！ 问题：燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的安全区域.已知引火线的燃烧速度为 0.02 m/s，燃放者离开的速度为 4 m/s，那么引火线的长度应满足什么条件？ 解：设引火线的长度为 x cm，根据题意，得 所以，引火线的长度应大于 5 cm. 根据不等式的基本性质，得 x ＞ 5. 不等式的解集的概念 探究新知 1 你还能找出一些使不等式 x＞5 成立的 x 的值吗? 下列各数中，哪些能使不等式 x＞5 成立？ 3，4，5，6，7.2，8.5，9． 有 ( ) 个. 无数 想一想 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 求不等式的解集的过程，叫作解不等式. 不等式的解集必须满足两个条件： 1. 解集中的任何一个数值都使不等式成立； 2. 解集外的任何一个数值都不能使不等式成立. 在一个含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解 知识要点 1. 判断下列说法是否正确： (1) x＝2 是不等式 x＋3＜4 的解； ( ) (2) 不等式 x＋1＜2 的解有无穷多个； ( ) (3) x＝3 是不等式 3x＜9 的解； ( ) (4) x＝2 是不等式 3x＜7 的解集. ( ) √ × × × 练一练 先在数轴上标出表示 2 的点 A 则点 A 右边所有的点表示的数都大于 2，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 2. 因此可以在数轴上表示不等式的解集 x＞2. 问题1 如何在数轴上表示出不等式 x ＞ 2 的解集呢？ 0 1 2 3 4 5 6 -1 A 把表示 2 的点A 画成空心圆圈，表示解集不包括 2. 在数轴上表示不等式的解集 画一画：利用数轴来表示下列不等式的解集. (1) x ＞－1； (2) x ＜ . 0 -1 0 1 用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律： 大于向右画，小于向左画； ＞，＜ 画空心圆. x x 问题2 在数轴上怎么表示 x≤5 的解集？ 解集 x≤5 中包含 5，所以在数轴上将表示 5 的点画成实心圆点. 符号“≤”表示 “小于或等于”，“≥”表示“大于或等于”. -1 0 1 2 3 4 5 6 x 用数轴表示不等式解集的方法： (1) 画数轴； (2) 定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心点表示；不包含在解集中，则用空心点表示. (3) 定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画. 归纳总结 2. 下列不是不等式 5x－3 < 6 的一个解的是 (　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 B 练一练 不等式的解集 → 将解集在数轴上表示 不等式解集的表示 ↑ 课堂小结 1. 不等式 x＞－2 与 x≥－2 的解集有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来． -1 0 1 2 3 -2 -3 x -1 0 1 2 3 -2 -3 x 课堂练习 2. 用不等式表示图中所示的解集． x＜2 x≤2 x≥-7.5 八年级下册数学（北师版） 第二章 不等式与不等式组 2.1 不等式及其性质 第3课时 不等式的基本性质 等式的基本性质2：在等式两边都乘或除以同一个数 (除数不为 0)，结果仍相等． 还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式两边都加上 (或减去) 同一 个数或整式，结果仍相等． 如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？ 复习导入 100 g 50 g 结论：100＞50 100 + 20 ＞ 50 + 20 120 ＞ 70 120 － 20 ＞ 70 － 20 + 20g + 20g 请举几例试一试，并与同伴交流. 探究新知 不等式的性质 1 (1) 5 ＞ 3，5＋2 ___ 3＋2，5 - 2 ___ 3 - 2； 　 (2) -1 ＜ 3，-1＋2 ___ 3＋2 ，-1 - 3 ___ 3 - 3. 根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数) 时，不等号的方向______. 不变 ＞ ＞ ＜ ＜ 思考：用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律： 不等式的性质1：不等式两边都加 (或减) 同一个整式，不等号的方向不变. 如果 a ＞ b，那么 a＋c ＞ b＋c，a－c ＞ b－c. 与等式的基本性质类似. 归纳总结 2＜3 2×5 ____ 3×5； 2× ____ 3×； 2×(-1)____ 3×(-1)； 2×(-5)____ 3×(-5)； 2×(-)____ 3×(-)； ＞ ＜ ＜ ＞ 完成下列填空： ＞ 你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流. 做一做 改变 (1) 6＞2， 6×5 ____ 2×5， 6×(-5)____ 2×(-5)； (2) -2＜3， (-2)×6____3×6， (-2)×(-6)____3×(-6). 当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_____； 而乘同一个负数时，不等号的方向_____. ＞ ＜ ＜ ＞ 不变 思考：完成下列填空： 根据发现的规律填空： 如果 a ＞ b，c ＞ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ). 不等式的性质2：不等式两边都乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. ＞ 如果 a ＞ b，c ＜ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ). ＜ 不等式的性质3：不等式两边都乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 归纳总结 1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性质. (1) a - 3 ____ b - 3； (2) a÷3 ____ b÷3； (3) 0.1a ____ 0.1b； (4) -4a ____ -4b； (5) 2a + 3 ____ 2b + 3； (6) (m2 + 1)a ____ (m2 + 1)b (m 为常数) ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 不等式的性质 1 不等式的性质 2 不等式的性质 2 不等式的性质 3 不等式的性质 1，2 不等式的性质 2 练一练 2. 已知 a＜0，用“＜”“＞”填空： (1) a + 2 ____ 2；  (2) a - 1 _____-1； (3) 3a _____ 0； (4) ____ 0； (5) a2 ____ 0； (6) a3 ____ 0； (7) a - 1 ____ 0；   (8) | a | ____ 0． ＜ ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ 不等式的两边都乘 16，由不等式基本性质 2，得 解： 不等式的两边都除以 l2 ，由不等式基本性质 2，得 因为上式恒成立，所以 也恒成立. 思考：上节课，我们猜想，无论绳长 l 取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即 . 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？ 解：(1) 根据不等式基本性质 1，两边都加 5，得 x＞-1 + 5， 即 x＞4。 例 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x - 5＞-1； (2) -2x≥3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 0 1 2 3 4 5 6 -1 典例精析 (2) 根据不等式基本性质 3，两边都除以 -2，得 (2) -2x≥3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 -1 0 1 2 3 -2 -3 解： (1) 根据不等式的基本性质 1，两边都加上 7，得 x - 7 + 7＜8 + 7， 即 x＜15. (1) x - 7＜8； (2) 3x＜2x - 3. (2) 根据不等式的基本性质 1，两边都减去 2x ，得 3x - 2x＜2x - 3 - 2x， 即 x＜ -3. 1. 根据不等式的基本性质解下列不等式. 针对训练 不等式的基本性质 不等式的基本性质2 不等式的基本性质3 → → 如果 那么 如果 那么 应用性质对不等式简单变形 不等式的基本性质1 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c， a－c＞b－c → 课堂小结 课堂练习 1. 已知 a＜b，用“＞”或“＜”填空： (1) a + 12 b + 12； (2) b - 10 a - 10. ＜ ＞ 解：x＜2. 解：x＜6. 2. 把下列不等式化为 x ＞ a 或 x ＜ a 的形式： (1) 5＞3 + x； (2) 2x＜x + 6. $