精品解析：河北省 廊坊市第六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年九年级第一学期第三次教学质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答；保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义；根据反比例函数的定义，点的坐标满足函数关系式，将代入即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，是的直径，点C在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，，被，，所截，且，则与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理可得，即可求解． 【详解】解：由平行线分线段成比例定理可得， 故选：A． 5. 点，均在反比例函数的图象上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的性质，当比例系数为负数时，当时，y随x增大而增大，因此由可得． 【详解】解：∵点，均在反比例函数的图象上，且， ∴当时，y随x增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 6. 廊坊在革命历史中是一块重要的红色土地，现拥有丰富的红色文化资源．小刚和小亮相约周末一起研学，他们要从“廊坊市烈士陵园”“林峰烈士纪念馆”“胜芳张家大院”和“廊坊博物馆”中随机选一个进行研学，则选上“廊坊博物馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，从4个地点中随机选择一个，每个地点被选中的概率相等，选“廊坊博物馆”的概率为． 【详解】解：∵总共有4个等可能的选择，且“廊坊博物馆”是其中之一， ∴选上“廊坊博物馆”的概率为． 故选：A． 7. 如图，四边形是的内接四边形，且劣弧劣弧，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，圆内接四边形的性质，理解圆周角定理是解题的关键．利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在中，劣弧劣弧， ， ． 故选：C． 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ． 故选：A． 9. 如图，是的直径，点D，E在上，点C在的延长线上，连接．若，，．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ） ①的长为；②是的切线 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、弧长公式、切线的判定等知识．根据圆周角定理求出，利用弧长公式即可求出的长，再证明，即可证明是的切线． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∴的长为， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线 故②正确， 故选：C 10. 如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故B能判定，符合题意； A 、C、 D选项均不能判定， 故选B 11. 定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 12. 题目：“为锐角三角形的外接圆，，动点D在上（不与B，C重合），求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲和乙的答案合在一起才完整 D. 三人的答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理；根据圆周角定理，的度数取决于点D的位置：当D在优弧上时，；当D在劣弧上时，，因此甲和乙的答案合在一起才完整. 【详解】解：∵， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为， 当点D在优弧上时，所对的弧为劣弧，如图所示： ∴， 当点D在劣弧上时，所对的弧为优弧，如图所示： ∴， ∴的度数为或， ∴甲和乙的答案合在一起才完整. 故选：C. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 诗句“清明时节雨纷纷”中描述的事件是________（填“必然”“随机”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断事件类型． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”中描述的事件可能发生，也可能不发生，因此是随机事件． 故答案为：随机． 14. 已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质；根据相似三角形的性质，对应边成比例，由相似比为和，可求的长． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15. 已知反比例函数的图象如图所示，写出一个符合条件的k值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；如图所示，点在的图象的右上方，即，求出，即可写出符合条件的k值． 【详解】解：如图所示，点在的图象的右上方， 即在中当时，， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的k值可以是. 故答案为：1（答案不唯一）． 16. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，先求出圆的面积，再求出△ABC面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案. 【详解】如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C， ∵的半径为1， ∴的面积，OA=OB=1， ∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=， ∴AC=OB=， ∴S△AOB=OB•AC=， ∴圆的内接正十二边形的面积S1=12S△AOB=3， ∴则， 故答案为． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知四边形四边形，，，且． （1）的度数为_____； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【小问1详解】 解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求k，m的值； （2）这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2）第一、三象限， 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质； （1）将，代入即可求解； （2）当时，反比例函数的图象位于第一象限和第三象限，在时，y随着x的增大而减小，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过，两点， 将代入得：， 解得：， ∴反比例函数为， 再将代入得：， 解得：. 【小问2详解】 解：∵反比例函数为， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵反比例函数为，在时，y随着x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． 19. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； （2）在（1）的基础上，与之间的位置关系是______；图中所有三角形组成的图形________（填“是”或“不是”）中心对称图形． 【答案】（1） 解：如图所示； （2）平行，是 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转图形以及中心对称图形， （1）根据中心对称和旋转的步骤找到对应点，顺次连接即可； （2）结合（1）即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 与之间的位置关系是平行；图中所有三角形组成的图形是中心对称图形． 故答案为：平行，是． 20. 在一个不透明的袋子中装有三张标有数字2，3，4的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，乐乐按照一定的规则抽出两张卡片，如表是他所列表格的一部分． 第一次 第二次 2 3 4 2 × 3 × 4 × （1）乐乐第一次抽到标有奇数数字卡片的概率为_______； （2）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后_________（填“放回”或“不放回”），第二次再随机抽出一张卡片； （3）补全表格，并求乐乐两次抽到卡片上的数字均为偶数的概率． 【答案】（1） （2）不放回 （3） 补全表格如下： 第一次 第二次 2 3 4 2 × 3 × 4 × 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，简单概率的计算； （1）第一次抽卡有3种等可能的结果，其中抽到奇数的结果有1种，据此即可求解； （2）由表格中在相同卡牌的位置打了×，不会抽到相同的卡牌，可得乐乐抽卡的规则是不放回； （3）由列表结果可计算出概率. 【小问1详解】 解：∵乐乐第一次抽卡有3种等可能的结果，其中抽到奇数的结果有1种 ∴概率. 故答案为：. 【小问2详解】 解：∵由表格中在相同卡牌的位置打了×，不会抽到相同的卡牌， ∴乐乐抽卡的规则是不放回. 故答案为：不放回. 【小问3详解】 解：∵一共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片上的数字均为偶数的结果有2种， ∴概率. 故答案为：. 21. 【抽象图形】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图1所示．图2是筒车在水中的截面图，直径为的筒车被水面截得的弦，是优弧上的动点． 【基础问题】 （1）若，求劣弧的长度； 【动手操作】 （2）过点作于点． ①在图3中，利用尺规作图作出最大长度的（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求①中的长． 【答案】（1）劣弧的长度为； （2） ①尺规作图如图所示； ②的长度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质——垂径定理、弧长公式、勾股定理．熟练掌握圆的有关性质、圆周角与圆心角的关系、弧长公式的计算及勾股定理是解题的关键，注意尺规作图时“三点共线”得最大值的作图技巧． （1）根据题意添加辅助线，由“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”可得，再由圆的直径及弧长公式代入计算即可； （2）①尺规作图时知当点，，三点共线时，取得最大值，又由知，是线段的垂直平分线，作图即可； ②由①尺规作图及已知条件构造直角三角形，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，． ∵， ∴． ∵的直径为， ∴． ∴劣弧的长度为； 【小问2详解】 ①略． ②如图，连接． 由①知，尺规作图作出最大长度的， ∴当点，，三点共线时，取得最大值． ∵， ∴． ∵的直径为， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． ∴的长度为． 22. 如图1，已知等边三角形，，将圆心为，半径为6的扇形纸片放在上，使圆心与点B重合，点Q在边上，点P在边上，M为上任意一点． （1）求的长度； （2）当______度时，点M到的距离最小，最小值为____． （3）将扇形纸片绕点逆时针旋转一周，连接，． ①如图2，当阴影部分的面积为时，求的度数； ②当点Q在的左侧，且与相切时，求的长． 【答案】（1） （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由扇形的圆心角，半径为6，即可算出的长度； （2）当交于点N时，是最短的，，从而得出点M到的距离最小，即为最小，利用等边三角形的性质和解直角三角形可求出和； （3）①利用扇形的面积公式和旋转的性质即可求解；②与相切时，利用勾股定理求出，再证明，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴ ∵圆心与点B重合，点Q在边上，点P在边上， ∴扇形的圆心角，半径为6， ∴的长度为． 【小问2详解】 解：∵直线外一定点到直线的垂线段最短， ∴当交于点N时，是最短的， 又∵， ∴点M到的距离最小，即为最小， ∵，， ∴， ∴, ∵是等边三角形，， ∴. 故当，点M到的距离最小为. 故答案为：；； 【小问3详解】 解：①设，则由旋转的性质得， 阴影部分的面积为 由题意得： 解得 即； ②如图所示： ∵与相切，与相交于点Q， ∴与相切的点为点Q，即， ∴， 由旋转的性质得：， 在与中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查弧长的计算，扇形的面积，旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点P在边上，且，求与的相似比； （3）如图，当点F与点E重合时，设交于点G，连接，求的长； 【深入拓展】 （4）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴ （2）；（3）；（4）存在，4或10 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质． （1）在和中，易得，，故可得； （2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解. （3）证明，则，求出，根据勾股定理即可求出答案； （4）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解． 【详解】（1） 略 （2）解：∵正方形的边长为8， ∴正方形的面积 ， ∴ ∵，点E 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 （4）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2，连接， 若，则， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴，即． 如图3，连接． 若，则，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点 ∴， ∴． ∵，即 ， ∴， ∴，即． 综上所述，满足条件的x的值为4或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级第一学期第三次教学质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答；保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 3. 如图，是的直径，点C在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，被，，所截，且，则与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 点，均在反比例函数的图象上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 廊坊在革命历史中是一块重要的红色土地，现拥有丰富的红色文化资源．小刚和小亮相约周末一起研学，他们要从“廊坊市烈士陵园”“林峰烈士纪念馆”“胜芳张家大院”和“廊坊博物馆”中随机选一个进行研学，则选上“廊坊博物馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，且劣弧劣弧，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，绕点逆时针旋转后得到，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点D，E在上，点C在的延长线上，连接．若，，．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ） ①的长为；②是的切线 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都不正确 10. 如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 11. 定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 12. 题目：“为锐角三角形的外接圆，，动点D在上（不与B，C重合），求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲和乙的答案合在一起才完整 D. 三人的答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 诗句“清明时节雨纷纷”中描述的事件是________（填“必然”“随机”或“不可能”）事件． 14. 已知，与的相似比为．若，则的长为_______． 15. 已知反比例函数的图象如图所示，写出一个符合条件的k值：_______． 16. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知四边形四边形，，，且． （1）的度数为_____； （2）若，求的长． 18. 已知反比例函数的图象经过，两点． （1）求k，m的值； （2）这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出y的取值范围． 19. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； （2）在（1）的基础上，与之间的位置关系是______；图中所有三角形组成的图形________（填“是”或“不是”）中心对称图形． 20. 在一个不透明的袋子中装有三张标有数字2，3，4的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，乐乐按照一定的规则抽出两张卡片，如表是他所列表格的一部分． 第一次 第二次 2 3 4 2 × 3 × 4 × （1）乐乐第一次抽到标有奇数数字卡片的概率为_______； （2）由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后_________（填“放回”或“不放回”），第二次再随机抽出一张卡片； （3）补全表格，并求乐乐两次抽到卡片上的数字均为偶数的概率． 21. 【抽象图形】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图1所示．图2是筒车在水中的截面图，直径为的筒车被水面截得的弦，是优弧上的动点． 【基础问题】 （1）若，求劣弧的长度； 【动手操作】 （2）过点作于点． ①在图3中，利用尺规作图作出最大长度的（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求①中的长． 22. 如图1，已知等边三角形，，将圆心为，半径为6的扇形纸片放在上，使圆心与点B重合，点Q在边上，点P在边上，M为上任意一点． （1）求的长度； （2）当______度时，点M到的距离最小，最小值为____． （3）将扇形纸片绕点逆时针旋转一周，连接，． ①如图2，当阴影部分的面积为时，求的度数； ②当点Q在的左侧，且与相切时，求的长． 23. 【问题背景】 如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接． 【初步探究】 （1）求证：； （2）若点P在边上，且，求与的相似比； （3）如图，当点F与点E重合时，设交于点G，连接，求的长； 【深入拓展】 （4）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $