精品解析：江苏省无锡市天一实验中学2025-2026学年上学期八年级数学期中考试试题

无锡市天一实验学校2025-2026学年第一学期八年级 数学期中试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 在下列各数，0，0.2，，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，3.14中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念.无理数是无限不循环小数，包括含的数、开方开不尽的数（但需注意开方后是否为整数）、以及有规律但无限不循环的小数． 【详解】∵ 含，是无理数； 0是整数，是有理数； 0.2是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 3.14是有限小数，是有理数， ∴ 无理数有和 6.1010010001…，共2个． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 3. 如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（ ） A. B. 与互余 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键，要利用“”判定，由已知于点，，得必须添加斜边相等即可． 【详解】解：于，， ∴利用“”判定必须添加斜边相等，即， 故选：． 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、设， ∴，解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； B、设， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理是解题的关键． 5. 如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的坐标为，在象棋盘上建立平面直角坐标系，再读取“马”的坐标，即可作答． 【详解】解：∵“帅”的坐标为， ∴在象棋盘上建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”的坐标为， 故选：A 6. 如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，由等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，易得可证是等边三角形得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有（ ）款扫地机可以购买． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故选：C． 8. 已知在中，下列的长度不能使唯一确定的是（ ） A. 12 B. 10 C. 13 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质． 过点A作于点D， 则． 当或时， 唯一确定；当时， 不唯一． 【详解】∵， 过A作于D， ∴在中， ， 延长至E使， 当时， C与D重合， 为直角三角形， 唯一； 当时， C与E重合， 为等腰三角形， 唯一； 当时， 唯一； 当时， 存在两个不同的点C使成立， 故不唯一； 选项中满足， 不能使唯一确定． 故选：B． 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为，故④不正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴ 故②正确， ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ， ∴ ∵，， 垂直平分， 故①正确， ∴ ， 平分， 故③正确， 为等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴的度数为 故④不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 10. 的立方根是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的概念是解题的关键． 先算平方，再算立方根，注意平方后为正数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 11. 用四舍五入法把精确到百分位是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的近似数，根据四舍五入法法则准确根据要求进行四舍五入是解题的关键．此题精确到百分位，需看千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：的千分位数字是 1，1 小于 5，因此舍去，故精确到百分位是． 故答案为：． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标分别互为相反数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 14. 已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求平方根的值，最后求正数． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 即， 解得， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：9． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点B在x轴上运动时，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，证明，得到，进而得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，则四边形是矩形， ∵点，以为直角边在左侧作等腰直角，， ∴，，, ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，的值最小， ∴最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分76分）（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算． （1）先计算零次幂，立方根，然后相减即可． （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值化简，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、开立方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用直接开平方法解题即可； （2）用开立方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（） （2） 证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键． （1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c； （2）将（1）求出的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， 所以，解得； ，解得； ，； ； 【小问2详解】 解：， 所以的平方根为． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）写出点的坐标_______，点的坐标_______； （2）直接写出的面积为_______； （3）在网格中找一格点，使与全等，直接写出满足条件的所有点坐标_______； 【答案】（1）； （2）9 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质； （1）利用点的坐标的表示方法求解； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （3）利用，利用或画出格点，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点的坐标，点的坐标 故答案为：；． 【小问2详解】 的面积为 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示，F点的坐标为或或 23. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． （1）若的周长为，线段的长为______； （2）判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 24. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； 【小问2详解】 解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 25. 对于平面直角坐标系中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点C．当线段的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形的面积为点A的等距面积．例如：如图，点，点，因为，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为． （1）点A的坐标是，在点，，中，点A的等距点为______． （2）点A的坐标是，点A的等距点B在第四象限． ①若点B的坐标是，求b的值及此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不大于，直接写出此时点B的横坐标t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，也是新定义问题，注意利用数形结合的思想考虑问题，理解并运用题中所给的新定义等距点和等距面积是解决问题的关键． （1）根据等距点的定义即可作出判断； （2）①计算等腰直角的面积即可； ②根据题意，得到为等腰直角三角形，进而得到，推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意作直角， 点的坐标是，点， ，即是点的等距点， 同理：，不是点的等距点， ，是点的等距点， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①根据题意作图，如下所示： 则， ∵，点的坐标是， ， ∴， ， 点的等距面积为； ②由题意，得：为等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴当时，，或， ∵轴， ∴当时，或， ∴点横坐标为或， ∵， ∴． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】（1）如图2，将沿的平分线翻折，使得点C落在上的点处，则： ①在中，若，，则______°； ②在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 【答案】（1）① ②证明：∵折叠， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即； （2）（3）或 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； ②根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论； （2）结论，根据（1）②的方法证明即可； （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 （2），理由如下， 如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形， 则点不能为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， ②若，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市天一实验学校2025-2026学年第一学期八年级 数学期中试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 在下列各数，0，0.2，，6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，3.14中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（ ） A. B. 与互余 C. D. 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”的坐标为，“兵”的坐标为，则“马”的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有（ ）款扫地机可以购买． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知在中，下列的长度不能使唯一确定的是（ ） A. 12 B. 10 C. 13 D. 6 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 10. 的立方根是______． 11. 用四舍五入法把精确到百分位是______． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 13. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 14. 已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 16. 如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 17. 在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点B在x轴上运动时，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共9小题，满分76分）（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）写出点的坐标_______，点的坐标_______； （2）直接写出的面积为_______； （3）在网格中找一格点，使与全等，直接写出满足条件的所有点坐标_______； 23. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． （1）若的周长为，线段的长为______； （2）判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，求的度数． 24. 如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． （1）求的度数； （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 25. 对于平面直角坐标系中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点C．当线段的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形的面积为点A的等距面积．例如：如图，点，点，因为，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为． （1）点A的坐标是，在点，，中，点A的等距点为______． （2）点A的坐标是，点A的等距点B在第四象限． ①若点B的坐标是，求b的值及此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不大于，直接写出此时点B的横坐标t的取值范围． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】（1）如图2，将沿的平分线翻折，使得点C落在上的点处，则： ①在中，若，，则______°； ②在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，点P是边上的一个动点（不与B、C重合），将沿翻折，点C的对应点是点．若以B、C、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $