精品解析：福建省百校2025-2026学年高三上学期12月联合测评数学试题

福建百校12月联合测评 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. 3 D. 1 2. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是 A （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 4. 已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 如图，在边长为的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，BC，CA折起，使得点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥．若三棱锥的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知等比数列首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知函数是定义在R上且单调递减的奇函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象在点处的切线方程为 B. 函数的最小值为1 C 当时，若，则 D. 若且，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率相等 B. 椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则____． 13. 已知且，则的最大值为____． 14. 已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 16. 如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面． （1）请确定点P的位置； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 18. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，． （1）求抛物线标准方程； （2）若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：． 19. 设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． （1）若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； （2）当，时，证明：； （3）在中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建百校12月联合测评 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以复数的实部为. 故选：C 2. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次方程求出集合，从而求出，依题意可得真包含于，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】由，即，解得， 所以， 则， 又，“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于， 所以，结合选项可知D正确. 故选：D 3. 函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意，函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增，再求端点函数值即可． 解：函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增， f（1）=1﹣2＜0， f（2）=2+ln2﹣2＞0， 故函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（1，2）； 故选B． 考点：函数零点的判定定理． 4. 已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将双曲线方程化为标准式，由虚轴长求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】双曲线即， 又虚轴长为，所以， 则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 5. 如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 6. 如图，在边长为的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，BC，CA折起，使得点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥．若三棱锥的外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据外接球的表面积求出外接球的半径，再由、、两两互相垂直，即可得到，即可得解. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，因为三棱锥的外接球的表面积为， 所以，解得， 依题意、、两两互相垂直，且，， 所以，即，解得（负值已舍去）. 故选：B 7. 已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出公比，即可求出通项公式，得到的特征，从而求出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以， 又，，所以， ， 当时，当时，所以当时， 所以当时正整数的最大值为. 故选：A 8. 已知函数是定义在R上且单调递减的奇函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数可知，再根据对数运算的性质，利用中间值比较自变量的大小，最后根据函数单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数是奇函数，因此有，故. ，因为，故， 又因为，故， 综上，，又因为函数在R上单调递减， 故有， 即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式判断A，利用两角差的正切公式判断B，利用二倍角公式判断C，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为、， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象在点处的切线方程为 B. 函数的最小值为1 C. 当时，若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由导数的几何意义即可判断；对于B，通过求导研究函数的单调性，即可判断；对于C，通过函数单调性得到，在坐标系中绘制出与，结合图象，即可判断；对于D，由自变量范围及函数单调性，将证明等价转化为证明，通过构造函数，求导研究函数的单调性，结合，可得在上，，即可判断. 【详解】. 对于A：，故函数的图象在点处的切线方程为， 整理得，故A错误； 对于B：易知与均在上单调递增， 故在上单调递增，又因为， 故当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 因此在处取得最小值，，因此函数的最小值为1，故B正确； 对于C：由B可知，在上单调递增，而， 故由可得， 在平面直角坐标系中绘制出与，结合图象可知， 两个函数交于点与点， 且当时，；当时，；当时，. 因此，结合图象，由，可解得，故C正确； 对于D：要证，即证，又因为在上单调递增，故即证， 又因为，故即证. 构造函数， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，即在上单调递增. 又因为，故当时，，即. 又因为，故，无法得出，故D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率相等 B. 椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由椭圆的离心率计算公式即可判断；对于B，由椭圆的标准方程解得长轴长与焦距即可判断；对于C，设出直线，分别与椭圆联立，求出交点， 利用两点间距离公式即可求解判断；对于D，由证得，得到，同理可得，最后由两个三角形中的三个角分别相等即可证得相似. 【详解】 对于A：设椭圆，的离心率分别为，由椭圆离心率公式可知， ，，故A正确； 对于B：由题可知，椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，故B正确； 对于C：设直线，联立方程， 得，得，故； 联立方程，得，解得， 故， 因此，故C错误； 对于D：易知，椭圆的焦距，椭圆的焦距，故，则. ， ，因此有，即. 同理可证得，即， 因此可得. ， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为向量，，所以. 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知且，则的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】设，再由得到点的轨迹为圆，从而将问题转换成直线与圆有交点即可得解. 【详解】设，由可得， 两边平方后，整理得， 因此，点 P 的轨迹是以 为圆心，半径的圆. 故直线上存在点满足等价于圆与直线有交点， 因此圆心到直线的距离，两边平方后， 整理得，解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，即可得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得 ， 有，故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以. 16. 如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面． （1）请确定点P的位置； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，根据线面垂直得到，故，从而得到方程，求出，得到点P的坐标； （2）求出两平面的法向量，进而求出面面角的余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 设，则，， 因为平面，所以，， 故， 解得， 所以点P的坐标为； 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则， 设得，故， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角的大小为， 则， 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式与和差倍角的正弦公式化简，然后化简，结合二次函数的性质判断单调性，进而求出值域. （2）先求出正弦函数的零点，然后列出原点周围的零点，进而根据零点个数列出不等式，最后求出解集即可. 【小问1详解】 函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因，. 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 18. 已知为坐标原点，抛物线焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，． （1）求抛物线的标准方程； （2）若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T． （ⅰ）求的值； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式计算可得； （2）（ⅰ）当时求出及，即可求出的值，当时，求出直线的方程，依题意且点到轴的距离与到直线 的距离相等，利用距离公式得到方程，即可得到的值；（ⅱ）当时求出的坐标，即可得到，当时，求出的方程，即可求出点坐标，从而求出，由，即可得证. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 由点在抛物线上，所以，可得， 又，则，所以，可得， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得，准线方程为， 由点在抛物线上，有， 当时，解得，不妨取，此时的角平分线为， 令可得，即，此时，同理取也可得到； 当时，可得直线的方程为， 又由的角平分线与轴交于点，可得，且点到轴的距离与到直线 的距离相等. 可得，有， 有，有， 有，有或， 可得或， 又由，可得，故； 综上可得； （ⅱ）当时取，此时，所以的方程为，即， 由，解得，即，显然满足； 当时，由（ⅰ）可得，可得直线方程为，整理为； 又由抛物线的准线方程为，代入到直线的方程，可得， 可得点的坐标为； 直线的斜率， 又由，所以； 综上可得. 19. 设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． （1）若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； （2）当，时，证明：； （3）在中，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，可得出，令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围； （2）令，分析可知为下凸函数，结合，化简可证得结论成立； （3）令，其中，可知为上的下凸函数，结合下凸函数的定义得出，化简得出，构造函数，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 则， 所以对任意的恒成立， 所以， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 因此实数的取值范围是. 【小问2详解】 令，则， 所以，所以函数为上的下凸函数， 则，即， 整理得. 【小问3详解】 令，其中，则， 所以， 所以函数为上下凸函数， 又由，，有， 即，即， 所以， 又由，所以， 所以 ， 又由，有，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故， 又由，有，有， 故. 因此的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $