精品解析：山东德州市齐河县第一中学2026-2027学年高三上学期8月开学数学试题

山东德州市齐河县一中2026-2027学年高三上学期8月开学数学学科试题（正式卷） 时间120分钟、分值150分 2026.08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为 A. -1 B. C. -2 D. 4. 设向量 ， ，则是 的 A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 10. 设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 11. 已知连续函数满足，则（ ） A. B. 最小值为1 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13. 在中，角的对边分别为，在BC边上取一点D，使得，则线段DC的长度为__________. 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为. （1）求三棱柱的高； （2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值. 17. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 18. 已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19. 已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． （1）求的方程； （2）若，证明：直线过轴上定点； （3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东德州市齐河县一中2026-2027学年高三上学期8月开学数学学科试题（正式卷） 时间120分钟、分值150分 2026.08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 5 B. 13.5 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】从小到大排序：5，9，11，13，15，20，22，25，,,所以这组数据的75%分位数为. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用一元二次不等式及分式不等式的解法求解两个集合，然后再求交集. 【详解】因为集合， 所以可得， 因此． 3. 设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为 A. -1 B. C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算化简，求得复数，再根据复数的概念即可求得虚部. 【详解】复数满足， 则化简可得， 由复数除法运算化简可得 ， 所以复数的虚部为， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念应用，属于基础题. 4. 设向量 ， ，则是 的 A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的性质求得，由充分条件与必要条件的定义可得结论. 【详解】因为向量 ， ， 所以， 即可以得到，不能推出， 是“”的必要不充分条件，故选C. 【点睛】本题主要考查向量共线的性质、充分条件与必要条件的定义，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答. 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质计算出，根据等比数列中项得，再利用等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以，得， 因为，，成等比数列，所以， 设等差数列的首项为，公差为， 则， 因为，解得，，， 所以. 故选：D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围. 【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立， 设，， 函数在区间上单调递减，函数的值域是， 所以或. 故选：C 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用点到直线距离公式可得，再利用双曲线定义及数量积的运算律列式求出离心率. 【详解】设点，则直线方程为， 而，又，则，于是， 由，，成等比数列，得， 而，则，令双曲线半焦距为， 由，得， 因此，解得，所以双曲线C的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，再由余弦函数相关性质检验各项即可求解. 【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，， ∵在单调递减， ∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 故选：AB. 10. 设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令可得；BC根据直线与过点和的直线垂直判断；D利用数量积的几何意义求出. 【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知连续函数满足，则（ ） A. B. 最小值为1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，赋值得到，令得到方程，结合求出；B选项，求出，不妨设，待定系数法得到，得到最小值，B错误；C选项，令得，则，……，，以上式子累加得，故，C正确；D选项，赋值得到，令，从而得到. 【详解】A选项，中，令得 ，解得， 令得， 又，故，解得，A正确； B选项，中，令得 ，又，故， 不妨设， 又，，，故， 解得，故， 经检验，满足且为连续函数， 则，故的最小值为，B错误； C选项，中，令得， 故， 则，……，， ，，……，， ， 以上式子累加得， 故，C正确； D选项，中，令，， 则， 则， 其中，令， 则， 故， 即，D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于4，求出的值，即可求得展开式中的系数． 【详解】解：的展开式的通项公式为，令，求得， 故展开式中的系数为， 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 13. 在中，角的对边分别为，在BC边上取一点D，使得，则线段DC的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理、余弦定理列式求解即可. 【详解】由，得， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以线段的长为. 故答案为： 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用题设条件得到和，即可将目标式转换成关于a的一元二次式求解. 【详解】由题意可得正实数a、b满足， 则关于b的一元二次方程有， 即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. 【小问2详解】 因为， 设数列的前项和为，则 所以数列的前项和为. 16. 如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为. （1）求三棱柱的高； （2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合锥体的体积公式，列出方程，即可求解； （2）过点作于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设三棱柱的高为， 因为，所以， 又因为三棱锥的体积为，可得，解得， 即三棱柱的高为. 【小问2详解】 解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 由（1）知，又因为为锐角，所以， 在中，，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【小问1详解】 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. 【小问2详解】 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 18. 已知． （1）若，求的图象在处的切线方程． （2）若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）由（i）知，，且，即. 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设， 则． 则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程. （2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围； （ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论. 【小问1详解】 当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 （i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故． 当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点． 又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得． （ii）略 【点睛】方法归纳： 1. 已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解. 2. 双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明. 19. 已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． （1）求的方程； （2）若，证明：直线过轴上定点； （3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】（1） （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【小问1详解】 将点和点代入 （）得， 解得，，所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $