第1章 直角三角形的边角关系 单元练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年数学九 年级下册北师大版 一、单选题 1.与2sin30°的结果相同的是() A.tan45° B.sin60° C.tan 60 D.c0s2450 2在Rt△48C中，∠C=90°，4C=2,amA=?,则下列说法中错误的是（) A.S△ABc=1 B.cosB=5 c.tan2∠A=3 4 D.cotB1 cotA 4 3.如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为() A.5 B.2V5 C.2 5 5 D. 4.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上， AB⊥x轴，AB=1,∠A0B=30°，将△0AB绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次 旋转结束时，点B的坐标为() B 0 A衣 A.1,5 B.1,-5) c.（-5, D.（-1,5 5.如图1，长、宽均为4，高为12的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面 高为8，绕底面一棱向右旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则 图2中水面高度为() 试卷第1页，共3页 容器口边缘 水面高度 图1 图2 A.12V5 5 B号 C.12V34 D. 20√34 17 17 6.如图，AC,BD为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于点E,∠BDE=30°，DE=V3, 则AC的长为() A.1 B.2 C.2W5 D.4 7.如图，为了测量某楼房AB的高度，小明在距离大楼21m位置处，用高1.8m的测量仪CD 侧得顶端4的仰角为58，则该楼房46的高度为(sim53°≈，cos53°&、an534 5 3 () C153o D B A.14.4m B.18.6m C.28m D.29.8m 1 8.我们规定：若a是锐角，则tan sina 1-cosa 1+cosa sina 已知sin2B=行'且23为锐角， 根据这个规定求tan阝的结果是() A.3-22 B.22 C.3+2√2 D.3 3 9.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F是CD上一点，OE⊥OF交 BC于点E,连接AE,BF交于点P,连接OP.则下列结论：①AE⊥BF;② △0AP∽△EAC:③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的？：④AP-BP=√2OP; 试卷第1页，共3页 ⑤若Bg=名，则an∠CAE二号其中正确的结论有C) D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=4,BC=2V3,则∠A的度数为 B 11.如图，在平面直角坐标系中，点A2,1,B(3,-1),C(-1,-3),则tanA的值为 12.在△ACB中，∠C=90°，tan∠ABC=1,点D为线段AB的中点，连接DC并延长至点 E使得LAEB=45°，则1C= CE 1 13.在ABC中，∠BAC=90°，点D在直线AB上，连接CD,若tan∠ACD=了，AB=3, AD=2,，则△ACD的面积为 14.如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高5m的过街天桥.己知天桥的斜面坡度 为1：2，计算斜坡AB的长度· 试卷第1页，共3页 B ZZZY中 5m 15.“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.”王勃笔下的滕王阁是我国四大名楼之一，位于江西 省南昌市赣江江畔，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量滕王阁AB的高度.具 体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面87m的C处，测得滕王阁顶端A的俯 角为45°，底端B的俯角为70°，则测得滕王阁的高度是 m(参考数据：tan70°≈3). 45 70° 87m R D 地而 16.定义：若∠P为三角形的顶角，在顶角所对的底边上找一点Q,连接P9,使得线段PQ 将顶角∠P分成两个角，若其中一个角与线段⑨另一侧的一个底角相等，则称点Q为该三 角形的等角点”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,若点D是ABC的“等角 点”，则CD的长为 三、解答题 17.计算：√9+2sin60°+2-V5. l8.在Rt△ABC中，LB=90°，AB=2,AD是BC边上的中线，tan/BAD=1,DE是 △ADC的高线. (I)求cosC的值， (2)求AE的长 19.石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九 的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位.小林想利用学过的知识 测量石鼓阁的高度.一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来 到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B.如图，小林先在石鼓阁前方的点C处测得石 试卷第1页，共3页 鼓阁顶端A的仰角∠ACB=37°；然后，他从点C处沿BC方向前进38米至石鼓阁的影子顶 端E处（即CE=38米），同一时刻，小组成员测得小林的影长EF为3.6米.己知小林的身 高ED为1.8米，AB⊥BF,DE⊥BF,点B、C、E、F在同一水平线上，图中所有点都在同 一平面内，求石技阁的商度4B.(参考数摇：sin37子cos37专am37子 4 20.【问题情境】 (1)如图(1)，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E,F, G分别落在AD,CD,AB上，则线段DE与AG的数量关系为，并说明理由； 【变式探究】 (2)如图(2)，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E,F, G分别在AD,BC,AB边上，若GA=6,AE=8,求BG的长. ■ A E E (1) (2) 21,在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接 EM并延长交射线CD于点F. F D E G 图1 图2 图3 (I)如图1，连接CM,当AE=1时，求证：CM⊥EF; (2)过点M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG，FG· （)如图2，求证：MG=2ME: 试卷第1页，共3页 ()如图3，当△BEGACGF时，求tan∠BGE的值. 试卷第1页，共3页 《第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版》参考 答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 答案 A C C D A D D A D 1.A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键， 先计算题干中三角函数式的值，再分别计算各选项的三角函数值，即可求解. 【详解】解：si血0：2sn0°=2×)1， 2 A、:tan45°=1，：2sin30°=tan45°，故选项A符合题意； B、:sin60= ,:2sin30°≠sin60°，故选项B不符合题意； 2 C、:tan60°=√5，：2sin30°≠tan60°，故选项C不符合题意； D、:cos :2sin30°≠cos245°，故选项D不符合题意； 2 故选：A. 2.C 【分析】本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理，先根据tanA的值求出BC的 长度，再用勾股定理求AB,再利用锐角三角函数的定义逐项分析即可判断： 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， tan4= BC 1 AC 2' 1 ②=生5×21 5e4cc-2x11 故A选项说法正确，不符合题意； :∠C=90°， .AB=V√AC2+BC2=V5, .cos B= BC 15 AB5=5 故B选项说法正确，不符合题意； 如图，作AB的垂直平分线DE交AC于点D, 答案第1页，共2页 E D 则AD=BD, .∠ABD=∠A, .∠BDC=2LA, 设AD=BD=a,则CD=AC-AD=2-a, 在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2, .12+(2-a2=a2, 奶a子 CD=2-5=3 4=4 :tan∠BDC= BC 1 4 CD33, 4 :an2∠A=tam∠BDC=3' 4 故C选项说法错误，符合题意； 在Rt△ABC中，cotB=BC=L AC-2 cotA=4C =2, BC 1 cotB=2=1, cotA 2 4 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 3.C 【详解】解：如图， D 根据网格特点知：∠ADC=90°， 设小正方形的边长为1，则AD=2,CD=1, 答案第1页，共2页 .tan∠ACB=tan∠ACD= AD =2. CD 4.D 【分析】根据题意可知01==5，每旋转4次△04B旋转到起始位置， 2023÷4=5053,第2023次旋转结束时，△0AB所在位置与旋转3次所在位置相同. 【详解】解：OA=,MB =√5. tan30° 根据题意可知，每旋转4次，△0AB旋转到起始位置. 因为2023÷4=5053， 所以，第2023次旋转结束时，△0AB所在位置与旋转3次所在位置相同，位置如图所示. 所以，点B的坐标为(-1,5. 5.A 【分析】过点C作CF⊥BG于点F,设AD=x,则DE=AE-AD=I2-x,根据题意，得倾 斜前水的体积衣示为4x4×8,恒斜后水的体积表示为×44，列方程求解即可。 【详解】解：过点C作CF⊥BG于点F,设AD=x,则DE=AE-AD=I2-x,根据题意， 得倾斜前水的体积为4×4×8，倾斜后水的体积为+2x4x4, 2 根据题意，得+12x4×4=4x4×8, 2 解得AD=x=4, 故DE=AE-AD=12-x=8, 根据勾股定理，得DC=√DE2+EC2=4√5， 故sin ZEDC= EC5 DC 5 .ADI BC, ·LEDC=LDCB, :sim∠EDC=sin∠DCB= 5 答案第1页，共2页 DCBG :∠CBF=∠DCB, E D sin∠CBr=CF、V5 BC 5' 的 FG CF5 125’ ·CF=25 J 【点晴】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾 股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键。 6.D 【分析】如图，解Rt△ODE,求出D0=2,再根据矩形的性质可得结论. 【详解】解：如图， E C 在Rt△ODE中，∠DE0=90°，∠BDE=30°，DE=V3, DE =c0s30°， DO DO= DE 3 =2 os30°V3 2 又四边形ABCD是矩形， .AC=BD=2D0=4. 7.D 【分析】利用∠ACE的正切值求出AE,再求出AB即可. 【详解】解：如图，由题意可知，∠ACE=53°，BD=CE=21m,BE=CD=1.8m, 答案第1页，共2页