精品解析：甘肃省天水市麦积区多校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

天水三中、天水八中、天水九中、天水十中、新阳中学、天水长城中学、天水新梦想高考复读学校 2026届高考备考十二月份大联考试卷（数学） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 4. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 14 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数过点，下面说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 若在区间有最大值，则的范围为 D. 若方程（为常数）有一个绝对值不大于2的根，则其所有根的绝对值都不大于2 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥体积的最小值为2 C. 当平面时，线段的最小值为 D. 存在点，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，又当时，，则__________. 13. 若数列满足，，则的前项的和为 ________ 14. 已知满足，则的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求A； （2）若，求周长的最大值． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围. 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，证明：. 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水三中、天水八中、天水九中、天水十中、新阳中学、天水长城中学、天水新梦想高考复读学校 2026届高考备考十二月份大联考试卷（数学） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式得，求函数定义域得，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】由，得，解得，所以； 函数的定义域为，所以． 所以或． 即 故选：C． 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由得，则， 所以，其虚部为. 故选：B 3. 已知命题，则（　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出，可判断各选项的准确性. 【详解】设，则. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 所以对恒成立. 所以成立，即命题为真命题. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以. 故选：D 4. 设数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，再根据递推关系，结合求解即可. 【详解】因为，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以， ． 故选：B 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 6. 若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移得到，根据已知建立等式，根据解出的值. 【详解】由的图象向右平移个单位，可得函数的图象， 因， 依题意可得， 解得， 因，故. 故选：C. 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 10. 已知函数过点，下面说法正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 若在区间有最大值，则的范围为 D. 若方程（为常数）有一个绝对值不大于2的根，则其所有根的绝对值都不大于2 【答案】BCD 【解析】 【分析】将点坐标代入函数，解得参数，通过导数求得函数单调区间，即可求得极值点，判断A选项；由的值判断B选项；由区间包含极大值点且极大值为最大值，即可得到不等式，求得的范围，判断C选项；当取极值时，方程的两根显然满足结论，当小于极小值且大于极大值时，方程的根不满足条件；当在极大值与极小值之间时，列出方程的三个根，显然也满足结论，判断D选项. 【详解】对于A：因为函数过点，所以，解得 所以，， 令，得或1， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A错误； 对于B：由上可知，， ， 所以， 所以点是曲线的对称中心，故B正确； 对于C：由上可知，令，解得或2， 若函数在上有最大值，则，解得， 所以a的取值范围为，故C正确； 对于D：由上可知，又， 令，解得或， 当或时，方程两根显然满足结论. 当或时，方程只有一个解，且绝对值大于2，舍去. 当时，方程有三根，且， 所以其所有根的绝对值都不大于2，也满足结论，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥体积的最小值为2 C. 当平面时，线段的最小值为 D. 存在点，，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值判断A；利用，可知到平面的距离最短时，体积最小，进而求解判断B；设，，，，平面的一个法向量为，利用已知可得，进而求得线段的最小值判断C；根据时，有解判断D. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为，的面积为定值， 所以当点到平面的距离最短时，三棱锥的体积最小， 显然当点与点重合时，点到平面的距离最短，则最短距离为， 所以三棱锥体积的最小值为，故B错误； 对于C，，， 设，，，， 则，，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 若平面，则，即，则， 所以，， 所以， 当时，，故C错误； 对于D，，由C选项可知， 若，则， 即，则， 又，，存在满足的解，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，又当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得函数的周期为，可得，即可得解. 【详解】由，故函数的周期为， ， 有，即，故， 即，故. 故答案为：. 13. 若数列满足，，则的前项的和为 ________ 【答案】2026 【解析】 【分析】通过列举可以发现数列是以为周期的周期数列，利用周期性即可求出答案. 【详解】因为，， 所以，， ，，，， 可以发现数列是以为周期的周期数列， 记的前项的和为， 所以. 故答案为：． 14. 已知满足，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求A； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案； （2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周长最大值. 【小问1详解】 .，， ， 根据正弦定理， ，， ，即， ，所以，则， ； 【小问2详解】 由余弦定理， 得， 根据基本不等式，，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当时，周长的最大值是6. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象得到，，再根据，即可得到的解析式. （2）首先根据 已知得到，再根据求解即可. （3）根据已知条件得到，令，，，再结合图象求解即可. 【小问1详解】 由图知：,， 所以. 因为， 解得，因为，所以，. 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 因为，所以. 令，，， 当时，，当时，，当时，，如图所示： 因为在区间上恰好有两个零点， 由图知：. 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，证明：. 【答案】（1）； （2），，， 设，，，， . 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解，即当 时，，将式子中的 换成 ，计算出的值；当 时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【小问1详解】 ， 当 时，，，，，， 当 时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证 时也成立，； 【小问2详解】 略 18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由题设先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）取的中点的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则． 由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，无极值；当时，极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）时求，由点斜式求出切线的方程即可． （2）先求，再判断和的的取值范围，确定极值点即可求出极值. （3）先构造函数，再求导利用分离常数法即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ， 时，， 切线的斜率， 切线的方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，， 在单调递增，无极值． 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 在处取极小值． 【小问3详解】 当时恒成立， 即， 令，即， ， 为了使在时恒成立，， 即， 令， ， 当时，， 在时是减函数 当取最大值，， 当，，图象是连续的， ，当时，， 在上单调递增，，不符合题意， 时，在时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $