精品解析：河北省承德市2025-2026学年高一上学期12月期中联考数学试题

2025-2026学年高一年级12月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 3. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（ ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若的反函数是，则 C. 若二次函数，实数，则 D. 若函数，则函数， 11. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最大的整数解是4 D. 最小的整数解是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____． 13. 设，是实数，集合，．若有且仅有两个元素，则_____． 14. 设函数的定义域为，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 17. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 19. 已知函数在上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数的值； （2）求的最小值； （3）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级12月联考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可得集合. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 2. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由同一函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数和的定义域均为，但，，所以两函数的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由得函数的定义域为，由得函数的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为，，则，的定义域和对应关系均相同，是同一函数，故D正确． 故选：D． 3. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，得到不等式的解集为时的取值范围，从而得到答案. 【详解】当时，恒成立，此时不等式的解集为，满足条件； 当时，则，解得， 综上，关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是． 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性和中间值2，即可比较大小. 【详解】因为，函数是增函数， 所以． 因为函数是增函数，所以． 所以，即． 故选：D． 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数图象得到，再结合指数函数图象与平移即可解题. 【详解】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 6. 已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的定义域、奇偶性与单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，， 所以， 又因为函数在定义域上单调递减，所以， 解得，即. 故选：A． 7. 若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，得到不等式组，求出 【详解】当时，单调递增须满足，解得； 当时，单调递增须满足，且． 所以要使函数在上单调递增，须满足 ，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 8. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（ ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 【答案】D 【解析】 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集确定，是方程的两根，由韦达定理得到，再由基本不等式逐项判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的两根， 则，，解得． 对于A，，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，结合B，有，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若的反函数是，则 C. 若二次函数，实数，则 D. 若函数，则函数， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据抽象函数求定义域法则和根号下被开方数非负，求出定义域；B选项，根据反函数定义得到，求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，换元法求解函数解析式. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 则解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，由是函数的反函数可知，， 所以，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，设，则，所以， 所以，，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 最大的整数解是4 D. 最小的整数解是 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解. 【详解】因为当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因为在单调递减，而单调递增， 所以在定义域内单调递减， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下： 令，则，即，根据的图象可知， 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 当且仅当时，有两个整数根或． 要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时，，则． 即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确． 解方程得或，解方程得， 此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由指数、对数的运算性质即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算性质得， 故答案为： 13. 设，是实数，集合，．若有且仅有两个元素，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】探讨三个幂函数的图象性质，结合集合B的意义及条件确定幂函数，进而求得的值. 【详解】幂函数定义域为，在上单调递减，且图象在第一、二象限，关于轴对称； 幂函数定义域为，且在上单调递增，图象过原点和第一象限； 幂函数定义域为，在上单调递增，且图象过原点和第一、三象限，关于原点对称， 又集合中有且仅有两个元素， 因此幂函数与的图象有两个交点， 而与或的图象均只有一个交点为，不符合题意， 与的图象有两个交点和，符合题意， 则当，的组合为和3时，满足有且仅有两个元素，所以. 故答案为： 14. 设函数的定义域为，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数定义域得到函数图像对称中心横坐标为0，再计算求解出（，，且）即可分析计算求解. 【详解】对于，有，解得，所以的定义域为， 设函数的图象的对称中心为，则， 因为对于，，且时， 有， 所以．所以函数的图象关于点对称， 所以， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，利用并集概念求出答案； （2）根据交集结果得到，从而分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 故． 【小问2详解】 ， 由（1）知． 若，则． 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得解得 综上，，即实数的取值范围为． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的解析式； （3）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）； （2）； （3） 函数在上单调递增． 证明如下：任取，且， 则 ． 由，得，又因为，，所以， 所以，即． 所以函数在上单调递增． 又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）时，，根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，得到答案； （3）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，先得到函数在上的单调性，从而得到函数在R上的单调性．. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，则，解得， 经检验，满足要求． 【小问2详解】 由（1）得，时，， 当时，则，， 又是奇函数，则， 故，故； 则 【小问3详解】 略 17. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. 【小问1详解】 由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， 【小问2详解】 由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 18. 已知幂函数在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①0；② 【解析】 【分析】（1）由幂函数的概念和单调性即可求解； （2）①由内向外代入解析式求解即可；②将问题转换成在上恒成立，分参求最值即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． 【小问2详解】 ①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 19. 已知函数在上的最大值与最小值之差为1． （1）求实数的值； （2）求的最小值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值. （2）先求出的表达式，再根据二次函数的性质求出的最小值，最后根据对数函数的单调性求出的最小值. （3）先对不等式右边化简，再根据对数函数的单调性列出关于的不等式，进而求解不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数，根据对数函数的性质，当时，函数在区间上单调递增．所以在区间上单调递增， 又因为函数在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得，则． 因为对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递增，所以， 即的最小值为． 【小问3详解】 由（1）知，， 又因为， 所以，即， 所以，令， 则，即， 解得；解得． 所以的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $