精品解析：江苏省梅村高级中学空港分校2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题

江苏省梅村高级中学（空港分校）2025-2026学年度第一学期12月阶段检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数定义域得集合，再求的补集，最后求的补集与的交集得结果. 【详解】因为， 所以, 因此图中阴影部分表示的集合为. 故选：C 2. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性、绝对值不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由， 由，显然由， 但由不一定能推出， 例如，显然成立，但是不成立， 因此“”是的充分不必要条件， 故选：A 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，再计算即可判断. 【详解】由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC； 又，故排除B， 故选：D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数、对数函数的性质，结合分段函数的单调性列不等式即可求得. 【详解】由图象的开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而函数在为增函数， 则由在上单调递增，可得，解得. 故选：B. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质结合举例说明，逐项判断即可. 【详解】对于A，取，满足，， 此时，故A错误； 对于B，取，满足，此时，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 所以，所以，又， 所以，故C正确， 对于D，取，满足， 此时，故D错误， 故选：C 6. 已知实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 7. 已知函数的零点为、函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合反函数的性质判断及利用零点存在性定理及不等式性质推理判断，逐项判断即可. 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，，    由反函数性质知，关于对称，则，，，CD错误；B正确， 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，A错误. 故选：B 8. 如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而可得，结合图象判断单调性，依次判断选项即可. 【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图， 由正方形的滚动轨迹知， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， …… 所以，即函数是以4为周期的周期函数. 所以，AB错误； , , 结合图象可知，∴，C错误； ， 则与单调性一致，函数在内单调递增， 则函数在上单调递增，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为4 B. 不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. “”为假命题的充要条件为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，结合对勾函数单调性可判断A，通过，分类讨论可判断B，利用抽象函数法则求定义域判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对于A，令，可得， 由对勾函数单调性可知在单调递增， 所以在上的最小值为，即的最小值为，故A错误； 对于B，当时，恒成立； 当时，要使不等式对一切实数x都成立，则， 解得，所以实数的取值范围是，故B正确； 对于C，函数的定义域为则， 所以函数的定义域为，故C正确， 对于D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系进行求解. 【详解】因为，左右同时平方得，， 由，得，故正确. 同时可知异号，且题中，所以可知，故错误. 对于选项，， 因为，，故， 所以，故正确. 对于选项，计算，需要联立，解得， 所以，故错误. 故选： 11. 若，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将变形可得A；借助基本不等式“”的活用结合基本不等式计算可得B；借助基本不等式计算可得C；借助基本不等式计算可得，再结合换元法与基本不等式计算可得D. 【详解】对于A项，若，，且，则， 所以，故A项正确； 对于B项，因为， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为，故B项错误； 对于C项，，，且，则， 即得，当且仅当，即，时取等号， 则， 当且仅当，即，时取等号，故C项正确； 对于D项，因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 令，则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算的性质，结合诱导公式和同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为， 所以定点A的坐标为， 因为点A在角的终边上，则， 所以， 故答案为： 13. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后结合不等式恒成立及二次函数的性质可求答案. 【详解】因为，函数是奇函数， 函数求导得，故函数在上单调递增， 因为，变形为， 根据单调性可得， 由二次函数性质可得，解得 故答案为：. 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，（），则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，利用数形结合思想、对数的运算性质、二次函数的对称性、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 因为函数有四个不同的零点， 所以有，， 且， 二次函数的对称轴为， 所以， 则有，因为，所以， ， 令， 对钩函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以， 所以， 即， 因此， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及对数的运算性质，即可求得答案； （2）根据指数幂的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1） ； （2）由于，则，而， 故，，，， 故. 16. 已知全集，集合，，． （1）求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，根据集合的交集、并集、补集运算，即可求得答案； （2）根据“”是“”的充分不必要条件，可得集合C是集合A的真子集，分类讨论的取值范围，确定集合，列出相应的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 解不等式，即，即， 故，解得， ，故或， 故，或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件， 故集合是集合的真子集， 当时，，，满足题意； 当时，，， 则需满足，且等号不能同时成立，解得，结合知； 当时，，， 则需满足，且等号不能同时成立，解得，结合知； 综合上述可知实数的取值范围为，即. 17. （1）若的解集为，求实数的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1），. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，，不等式即， 则解集为：； 若时，，不等式即，解集为：； 若时，不等式即，解集为：； 若时，，不等式即，解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 18. 高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． （1）用x表示图1中的面积； （2）吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得，，再结合面积公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 1）因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以，     在中，由勾股定理得， 即，解得，   所以，     所以的面积（单位：） 即 【小问2详解】 设一枚纽扣的镀金部分所需费用为元，则   , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立，   , 所以当时，一枚纽扣的镀金部分所需的最大费用为元. 19. 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有； 则称函数为“至贤函数”． 已知为幂函数且是偶函数，函数过点． （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“至贤函数”； （3）若函数为“至贤函数”，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）是，不是； （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义先确定的可取值，再根据奇偶性确定出的值，则可求；将点代入中，则可求，则可求； （2）根据“至贤函数”的定义进行判断即可； （3）根据“至贤函数”的定义将问题转化为“对于，都有”以及“对于恒成立”，由此求解出结果. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为,关于原点对称，且， 所以是奇函数，不符合条件， 当时，，定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，符合条件， 所以； 因为过点，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有， 所以，故满足②， 所以是“至贤函数”； 对于： 对于，都有，故满足①， 对于，都有 ， 因为，所以，所以， 所以，即，故不满足②， 所以不是“至贤函数”. 【小问3详解】 因为为“至贤函数”，所以对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 因为，所以，所以对于，都有，即， 而此时，所以，所以； 又因为为“至贤函数”，所以对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 即对于，都有， 上述不等式两边同乘可得， 即对于，都有， 因为，所以， 所以对于恒成立，即恒成立， 而时，， 所以，所以， 综上所述，m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学（空港分校）2025-2026学年度第一学期12月阶段检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，则 6. 已知实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点为、函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 在区间内单调递增 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小值为4 B. 不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. “”为假命题的充要条件为 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则的值为_______． 13. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是_______． 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，（），则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知全集，集合，，． （1）求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）若的解集为，求实数的值； （2）求关于x的不等式的解集． 18. 高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． （1）用x表示图1中的面积； （2）吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 19. 若函数满足： ①对于，都有； ②对于，都有； 则称函数为“至贤函数”． 已知为幂函数且是偶函数，函数过点． （1）试求，的解析式； （2）试判断函数与是否是“至贤函数”； （3）若函数为“至贤函数”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $