1.3 直角三角形 第2课时课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）判定定理。通过“两边及一组等边对角相等的两个三角形不全等”的作图反例导入，引导学生思考直角情形，衔接一般三角形全等判定，搭建从一般到特殊的学习支架。 其亮点是融合动手操作与逻辑推理，如“做一做”让学生作图剪裁验证定理，培养几何直观和空间观念。例题结合滑梯等生活情境，体现应用意识，助力学生用数学思维推理证明。课堂小结清晰梳理HL定理，既帮助学生系统掌握知识，也为教师提供丰富实例与分层练习，提升教学效率。

1.3 直角三角形 第2课时　直角三角形全等的判定 第一章 三角形的证明 北师大版 八年级下册 情境导入 想一想，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？动手画一画. C D B A 如右图所示，在△ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等. 如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 知识讲解 知识点 直角三角形全等的判定定理 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 做一做 已知：如下图，线段a，c（a<c），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c. （1）作∠MCN=∠α=90°. M C N （2）在射线CM上截取CB =a. M C N B （3）以点 B为圆心，线段 c的长为半径作弧，交射线CN于点A. M C N B A M C N B A （4）连接AB，得到Rt△ABC. 剪下来，比一比，你与同桌两人作出的直角三角形全等吗？你能试着证明一下吗？由此你得出了什么结论？ 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. C B A A' B' C' 证明：在△ABC 中， ∵ ∠C= 90 ° ， ∴ BC2=AB2-AC2（勾股定理）. 同理， B′C′2= A′B′2- A′C′2. ∵ AB=A′B′，AC=A′C′， ∴ BC=B′C′. ∴ △ABC≌△A′B′C′ （SSS）. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 直角三角形全等的判定定理 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示. 例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ 解：根据题意可知 ∠BAC =∠EDF = 90°, BC =EF，AC =DF. ∴Rt△BAC≌ Rt△EDF（HL）. ∴∠B =∠DEF（全等三角形的对应角相等） . ∵∠DEF +∠F =90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠B +∠F =90°. 1. （2024·沈阳浑南区期中）如图，已知AB⊥BD， CD⊥BD，AD＝BC. 判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是 （　D　） A. AAS B. SAS C. ASA D. HL D 随堂练习 2. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，若要根据“HL” 证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是 （　D　） D A. AE＝DF B. ∠A＝∠D C. ∠B＝∠C D. AB＝DC 3. 如图，在△ABC和△DAE中，∠C＝∠DEA＝90°，AB＝ DA，BC＝AE. 若BC＝3，DE＝7，则CE的长为 ⁠. 4　 4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝ DE，点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝FC. 求证： Rt△ABC≌Rt△DFE. 证明：∵BE＝FC， ∴BE＋EC＝FC＋EC，即BC＝FE. 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）. 5. （教材P51复习题T16变式）如图，∠BAC＝90°，∠CDB ＝90°，AC，BD相交于点O. （1）已知AB＝DC，AC＝DB，利用 ⁠可以判定 △ABC≌△DCB； （2）已知AB＝DC，OA＝OD，利用 ⁠可以判定 △ABO≌△DCO； SSS　 SAS　 （3）已知AC＝BD，利用 可以判定△ABC≌△DCB； （4）已知AO＝DO，利用 ⁠可以判定 △ABO≌△DCO； （5）已知AB＝DC，利用 可以判定△ABO≌△DCO. （答案不唯一，合理即可） HL　 ASA　 AAS　 （答案不唯一，合理即可） 6. （教材P30例题变式）如图，有两个长度相等的滑梯（即BC ＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等.有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＋∠DFE＝90°； ③∠ABC＝∠DEF. 其中正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 C 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， 则下列直角三角形中，与Rt△ABC全等的是（　A　） A 8. （教材P31习题T5变式）用三角尺按下面的方法画角平分 线：如图，在∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射 线OP，则OP平分∠AOB. 其中证明△OMP与△ONP全等的 依据是（　D　） D A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 9. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和 点Q分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运 动到AP＝ 时，△ABC与△APQ全等. 5或10　 10. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF. （1）求证：BE＝BF； 解：（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE＝BF. 10. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF. （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数. 解：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－22°＝23°. 由（1），知Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝23°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝23°＋45°＝68°. 11. （教材P32习题T10变式）在如图所示的三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°.按如下步骤，可以把这个直角三 角形纸片分成三个全等的小直角三角形纸片（图中虚线表示折 痕）：①折叠三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上， 点C落在斜边点E处；②将折叠后的纸片再沿DE折叠. （1）由步骤①可以得到哪些等量关系？ 解：（1）由折叠，得AE＝AC，ED＝CD， ∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC， ∠AED＝∠C＝90°. 11. （教材P32习题T10变式）在如图所示的三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°.按如下步骤，可以把这个直角三 角形纸片分成三个全等的小直角三角形纸片（图中虚线表示折 痕）：①折叠三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上， 点C落在斜边点E处；②将折叠后的纸片再沿DE折叠. （2）【一题多解】求证：△AED≌△BED（至少写出两种证 法）. 解：（2）证明：证法1：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°－∠B＝60°， ∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°， ∴∠EAD＝∠B. ∵点E在AB上，且∠AED＝∠C＝90°， ∴∠AED＝∠BED＝90°. 在△AED和△BED中， ∴△AED≌△BED（AAS）. 证法2：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°－∠B＝60°， ∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°， ∴∠EAD＝∠B，∴DA＝DB. ∵点E在AB上，且∠AED＝∠C＝90°， ∴∠AED＝∠BED＝90°. 在Rt△AED和Rt△BED中， ∴Rt△AED≌Rt△BED（HL）. 证法3：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴AB＝2AC. ∵AC＝AE，∴AB＝2AE，∴AE＝ AB＝BE. ∵点E在AB上，且∠AED＝∠C＝90°， ∴∠AED＝∠BED＝90°. 在△AED和△BED中， ∴△AED≌△BED（SAS）. 11. （教材P32习题T10变式）在如图所示的三角形纸片ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°.按如下步骤，可以把这个直角三 角形纸片分成三个全等的小直角三角形纸片（图中虚线表示折 痕）：①折叠三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上， 点C落在斜边点E处；②将折叠后的纸片再沿DE折叠. （3）按照这种方法，能否将任意一个直角三角形分成三个全 等的小三角形？请说明理由. 解：（3）按照这种方法，不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形. 理由：当∠B≠30°时，∠B≠ ∠BAC. ∵∠EAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠EAD≠∠B， ∴△AED与△BED不全等， ∴按照这种方法，不能将任意一个直角三角 形分成三个全等的小三角形. 课堂小结 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 直角三角形全等的判定定理 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示. $