专题07 指数与对数 期末专题复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以思维导图系统构建指数与对数单元知识体系，梳理分数指数幂意义、对数与指数关系等基础内容，通过方法点拨呈现运算性质与重要关系，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层例题与变式突破设计，如互化题型结合云南、上海等地考题，化简求值题培养运算能力与推理意识，助力不同学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题07指数、对数 肌基础知识与题型（思维导图） n次方根一根式 a, n为奇数 (a)n=a- Van 指数 la,n为偶数 am=a一a-n=品 运算 法则一 0am.a=am+n一@(ab)n=an.b一目(am)n=amn 定义（指对互化一a2=N台x=logaN 对数 0 logaM+logaN=logaMN一如，1093+log92×log43+ln3+ln号=3+1+ln1=4 法则 0 logamty=品logab一自alogaM=M一0 logab-=8换底公式) 基础题型 题型一互化 方法点拨： 1.分数指数幂的意义： a"=nam(a-0,m,nEN",Hn1) 1 a n=- =1"am(a-0.mnEN",Hn-1) an 2.对数与指数的关系： 若a>0,且a时1，则ar=N台logN=x 例题解析： 例一 分数指数幂与根式的互化 互化 例二 指数式与对数式的互化 例三 例1.(25-26高一上云南红河月考)已知a>0,则a√a的分数指数幂的形式为() A B. C.d D.cd 例2.(25-26高一上上海期中)若1ogx,则x马 例3.(2025海南.一模)若a=10g2√3，则4°-4= 变式突破： 1.(25-26高三上浙江开学考试)已知2=12,1og3=y,则x+y=（） A.0 B.2 C.-1 D.1 2.（25-26高一上·新疆喀什.月考)用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数)； (1)ab5;(2)m (3)(m-n)(m>n)(4)a.a:(5)avava. 题型二化简、求值 方法点拨： 实数指数暴的运算性质 1.a'as=as(a-0,r,sER). 2.(a=a(a>0,r,seR). 3.(aby"=a'b"(a-0,b-0,rER). 重要关系： of=gt1a>且gt=+t2 对数运算性质 如果a>0,且a时1，M0,>0,那么： (1log (M-N)=log M++log N;(2)log MN=l0g M-log N;(3)log M"=nlog M(nER). (4)log.b=logcblogca(a>0,且a时1；c>0,且c+1；b>0).(⑤)l0gb"=mnlog.b(a>0,且a时1，b>0): 例题解析： 例一不含参 根式运算 例上含参 例三目 不含参 例四 含参 指数幂的运算 例五 平方关系求值 化简、求值 例六 条件求值 对数运算 例七 例八 字母表示对数 例九指数 实际应用 例十对数 例1.(25-26高一上·四川绵阳期中)计算： π-4)+（元=(） A.2π-4 B.2 C.4 D.2π+4 例2.(25-26高一上浙江湖州-月考)若a<),则化简、2a-1的结果是（) A.2a-1 B.1-2a C.v1-2a D.-1-2a 例325范在一上安设期048((9 例4.(25-26高一上云南楚雄期中)已知b>0,16°=b2=64,则2a-b的值是() A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 例5.（25-26高一上云南红河月考)己知a>0,且a+a1=5,则a2+a2= 例6.(25-26高一上·吉林长春·月考)求下列各式的值： 四g-2可+e+eo: (21g8+1g125-logs4+log23-log,2. 例7.(25-26高一上天津月考)若实数a、b满足3”=4=36，则2+1= ab= 例8.(25-26高一上湖南娄底·月考)已知2”=3，b=10g,5,则10gs15= (用a,b表示)· 例9.(25-26高一上·重庆九龙坡期中)某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数 据发现，在相同条件下，这种植物每周以%的增长率生长若经过8周后，该植物的长度是原来的4倍， 3 则再经过4周，该植物的长度大约是原来的() A.8倍 B.25倍 c.45倍 D.85倍 9 3 9 9 例10.(25-26高一上·四川月考)国际象棋棋盘有8×8共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法， 故称其理论状态空间的上限M约为350，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点. 每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限N为3，则下 列各数中与兴最接近的是（)（参考数据：0g30309） A.10 B.34 C.3510 D.354 变式突破： 1.（25-26高一上·浙江金华期中)化简： (1)求值： 得-名++ 2)已知x2+x立=3’求x2+x2+3的值。 2.（25-26高一上福建厦门期中)计算下列各式的值： 22og,2-1og,2+log,8-25e (3)l0g327+lg25+lg4-7g2. 3.（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷)（(1)计算： 103+log (log216)-log 1+Ine2- 83 +0.1253. 27 (2)若a+a1=6,求下列式子的值： (i)a2+a2; (ID ai-a3. 4.(2025高一上湖北武汉.专题练习)己知a=1og23,b=l0g,2,则1og642=一 25-26高三上湖南月考)已知2=12=3，则，一 6.(25-26高一上河南月考)1o(7+4W5)= 7.(25-26高三上·北京西城月考)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不 断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其 增长符合模型：N(t)=Ne”,其中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量. 当t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4)=200,则N(10)=() A.1000 B.800 C.600 D.400 8.(25-26高二上云南昆明月考)生物丰富度指数d=S-'是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别 InN 表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生 物种类数S没有变化，生物个体总数由N,变为N2,生物丰富度指数由3提高到4.则() A.4N2=3N1B.3N2=4N C.N:=N D.N=N3 专题07 指数、对数 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 互化 方法点拨： 1.分数指数幂的意义: ＝(a>0,m,n∈N*,且n>1) ＝(a>0,m,n∈N*,且n>1) 2. 对数与指数的关系： 若a>0,且a≠1,则ax＝N⇔logaN＝x 例题解析： 例1.（25-26高一上·云南红河·月考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 例2.（25-26高一上·上海·期中）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 例3.（2025·海南·一模）若，则 . 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据对数式与指数式的转化及指数幂的运算性质求解. 【详解】由得，则， 所以. 故答案为：. 变式突破： 1.（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 2.（25-26高一上·新疆喀什·月考）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 题型二 化简、求值 方法点拨： 实数指数幂的运算性质 1．aras＝ar＋s(a>0,r,s∈R)． 2．(ar)s＝ars(a>0,r,s∈R)． 3．(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r∈R)． 重要关系： ,② 对数运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． （4）logab＝(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0)．(5)＝logab(a>0,且a≠1,b>0)； 例题解析： 例1.（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【知识点】根式的化简求值 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 例2.（25-26高一上·浙江湖州·月考）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 例3.（25-26高一上·安徽·期中） . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得： . 故答案为： 例4.（25-26高一上·云南楚雄·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数运算可求，故可求的值. 【详解】由，得，即， 由，得，所以. 故选：A. 例5.（25-26高一上·云南红河·月考）已知，且，则 . 【答案】23 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用完全平方公式对进行平方，然后通过变形求出的值. 【详解】因为，所以， 即， 所以 故答案为：23 例6.（25-26高一上·吉林长春·月考）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可； （2）由对数的运算性质化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 例7.（25-26高一上·天津·月考）若实数、满足，则 . 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】先将化为对数式，再利用换底公式和对数的运算性质求值. 【详解】因为，所以. 所以. 所以. 故答案为：. 例8.（25-26高一上·湖南娄底·月考）已知，则 （用表示）． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用指对数转化，再应用换底公式以及对数的运算性质求解． 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：． 例9.（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即， ∴，解得， 再过4周后该植物的长度为. 因此，再经过4周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：D 例10.（25-26高一上·四川·月考）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限M约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限N为，则下列各数中与最接近的是（   ）（参考数据：） A．10 B．34 C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】应用已知指数式结合指对数转化，再应用对数运算律计算求解． 【详解】根据题意， 则 所以，即最接近， 故选：C． 变式突破： 1.（25-26高一上·浙江金华·期中）化简： (1)求值：×＋＋ (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算 【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解； （2）利用指数的性质、运算法则和完全平方公式求解即可. 【详解】（1）原式＝ . （2）对两边平方得，所以，     再对两边平方得，所以，     所以，. 2.（25-26高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据对数的运算性质求解出结果； （3）根据对数的运算性质求解出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 3.（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷）（1）计算：． （2）若，求下列式子的值： （i）； （ii）． 【答案】（1）6，（2）（i）34，（ii） 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】（1）由指数运算和对数运算法则直接计算得到结果； （2）利用所求与已知式的关系，将已知式取平方解答（i），将未知式平方再开方即可解答（ii）． 【详解】（1）原式 ． （2）（i）因为， 则； （ii）因为， 所以． 4.（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】整理可得，利用换底公式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，，则， 所以. 故答案为：. 5.（25-26高三上·湖南·月考）已知，则 . 【答案】1 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】结合题意先求出和，再利用换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】由知，，，同理可得. 得到. 故答案为：1 6.（25-26高一上·河南·月考） ． 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意. 故答案为： 7.（25-26高三上·北京西城·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 8.（25-26高二上·云南昆明·月考）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由3提高到4．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由题意得，两式相除，结合对数的运算即可求解. 【详解】由已知，两式相除可得，， 即， 故选:D． 学科网（北京）股份有限公司 $