专题07：不等式性质、基本不等式、一元二次不等式讲义【11大考点+11大题型】-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“知识梳理”为基础，通过表格对比呈现不等式性质（如可加性、可乘性的条件与结论），结合二次函数图象与一元二次不等式解集的对应关系图，系统构建不等式性质、基本不等式、一元二次不等式的知识脉络，突出各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳+强化精练”的分层设计，涵盖不等式性质应用、基本不等式实际问题（如创业投资收益最大化）等11类题型，通过变式题训练数学思维，如含参数不等式解法培养逻辑推理能力。强化精练分梯度设置，支持不同学生自主提升，助力教师实施精准教学。

专题07：：不等式性质、基本不等式、一元二次不等式 【知识梳理】 知识点01：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点02：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03：基本不等式≤ 1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点04：利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识点05：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点06：　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不等式的性质应用 【例1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1】．（25-26高一上·四川南充·月考）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：基本不等式类型 【例2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知正数a，b满足 ，则（   ） A．ab的最小值为1 B．ab的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式1】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知，函数，若恒成立，则（   ） A．ab的最小值为9 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式2】．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 题型三：基本不等式的恒成立求参数问题 【例3】．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：基本不等式的实际问题的应用 【例4】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【变式1】．（25-26高一上·浙江温州·期中）某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； (2)年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式2】．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 题型五：由一元二次不等式来确定参数的范围 【例5】．（25-26高一上·山东淄博·期中）不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 题型六：含参数的一元二次不等式的解法 【例6】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 【变式2】．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)当时，求的最小值； (3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 题型七：一元二次不等式在实数上恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·江苏南通·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川宜宾·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八：一元二次不等式在某区间恒成立问题 【例8】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九：一元二次不等式在某区间有解立问题 【例9】．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江西赣州·月考）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型十：一元二次方程式的实际应用 【例10】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【变式1】．（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【变式2】．（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 题型十一：一元二次不等式的综合问题 【例11】．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【变式2】．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式3】．（25-26高一上·山东日照·期中）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建莆田·月考）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 5．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 9．（25-26高一上·广东江门·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 三、填空题 13．（25-26高一上·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为 ． 14．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为 . 15．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的图象关于直线对称，的解集是，则 ． 16．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 18．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 19．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 20．（25-26高一上·陕西西安·期中）设函数（），. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 21．（25-26高一上·湖北武汉·月考）设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：：不等式性质、基本不等式、一元二次不等式 【知识梳理】 知识点01：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点02：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03：基本不等式≤ 1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点04：利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识点05：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点06：　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：不等式的性质应用 【例1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ACD，再根据不等式性质即可判断B. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，因为，两边同时乘以，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D错误； 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·四川南充·月考）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D 题型二：基本不等式类型 【例2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知正数a，b满足 ，则（   ） A．ab的最小值为1 B．ab的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】因为，所以由基本不等式 ， 当且仅当时等号成立，此时ab的最大值为1，故B正确； 由基本不等式， 当且仅当时，即时等号成立，的最小值为，故D正确； 故选：BD. 【变式1】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知，函数，若恒成立，则（   ） A．ab的最小值为9 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为​单调递增，​单调递增，​恒成立， 所以​与​零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：​， 可知​， 故​，所以​， 当且仅当​，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：​，可知​，即​，显然​， 所以​， 当且仅当​时等号成立，故B正确； 对于C选项：由​可知​，易知​，​， 故​， 所以​， 故​，当且仅当​，即​取等号， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知​，所以​，当且仅当​取最小值​，所以D正确. 故选：ABD. 【变式2】．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 【答案】BD 【分析】根据结合基本不等式即可判断A；利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断C；根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，，，且， 所以， 当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由，，且，得， 所以，则， 当时，取得最小值，为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 题型三：基本不等式的恒成立求参数问题 【例3】．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 【变式1】．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 【变式2】．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 题型四：基本不等式的实际问题的应用 【例4】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 【变式1】．（25-26高一上·浙江温州·期中）某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； (2)年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)， (2)6，最大利润为万元. 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）， （2）当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 【变式2】．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【详解】（1）时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. （2）. 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 题型五：由一元二次不等式来确定参数的范围 【例5】．（25-26高一上·山东淄博·期中）不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式的解集求得的关系式，进而求得的解集. 【详解】依题意，不等式的解集为， 所以，所以， 所以，即， ，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得关于的方程的两根为、且，利用韦达定理求出参数的值，再根据偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为、且， 所以，解得； 故， 令，即，解得， 所以的定义域为. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再应用一元二次不等式的解法求解集即可. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 故选：A 题型六：含参数的一元二次不等式的解法 【例6】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 【变式1】．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系即可求解； （2）由，，，，分类讨论即可. 【详解】（1）由的解集为， 可知，且的两根为， 所以，解得：； （2）对于， 当时，得，解得， 当时， （1）时，不等式的解集为或； （2），则，不等式的解集为； 时，不等式的解集为空集； 时，，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)当时，求的最小值； (3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值； （3）依题意可得对于恒成立，则，解得即可. 【详解】（1）不等式化简得：， ①当时，解得，即不等式的解集为， ②当时，解得或，即不等式的解集为， ③当时，解得或，即不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）函数的对称轴为， ①当，即时，在上为增函数， 所以； ②当，即时，在上为减函数， 所以； ③当，即时，． 综上所述，的最小值为. （3）依题意可得对于恒成立， 所以且， 即，解得或， 即的取值范围为． 题型七：一元二次不等式在实数上恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·江苏南通·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·四川宜宾·月考）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论二次项系数是否为零，再结合二次函数的性质可解. 【详解】当时，不等式为，解集不为； 当时，不等式为恒成立，解集为； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围为. 故选：B. 【变式2】．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 题型八：一元二次不等式在某区间恒成立问题 【例8】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，找到二次函数的对称轴，讨论对称轴在题中区间内，由对称轴求得函数最小值，由最小值建立不等式，解得实数的取值范围.讨论对称轴不在题中区间内，由单调性求得函数最小值，由最小值建立不等式，求得实数的取值范围,从而求得实数取值范围. 【详解】令， 则函数关于对称， 当时，即时， 则， 即，则，即 ∴. 当时，即时， 函数在上单调递增， 即恒成立， ∴. 综上所述. 故选：A. 【变式2】．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 题型九：一元二次不等式在某区间有解立问题 【例9】．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·江西赣州·月考）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 题型十：一元二次方程式的实际应用 【例10】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？ (2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200（万元）； (2) (3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元） 【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可； （2）对进行分类讨论写出的解析式； （3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较. 【详解】（1）（万元）. 所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元. （2）当时，， 当时，不妨设降价元，购进产品全部售出， 则，得到， 所以， 当时，， 所以 （3）由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是450（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是500（万元）， 当时，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是910（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）. 【变式1】．（24-25高一上·四川宜宾·期末）为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)从第3年该设备开始盈利 (3)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）利用总盈利减去总的维修费与购买生产设备的费用即可得答案； （2）结合（1），解一元二次不等式即可求得该设备从第几年开始盈利； （3）利用基本不等式以及二次函数分别求出两种方案盈利的最大值，并求出盈利最大时需要的年数，比较后可得结论． 【详解】（1） （2）令，得， ，故， 故从第3年该设备开始盈利； （3）按照方案①计算， 当且仅当时，即时等号成立． 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元 按照方案②计算，当时，． 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元． 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 【变式2】．（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 题型十一：一元二次不等式的综合问题 【例11】．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意及二次函数图象性质可知，方程的两根为1和2， 且函数的最小值不小于.故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ，，， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立，， 问题转化为：存在，使得成立，， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 【变式3】．（25-26高一上·山东日照·期中）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解. （2）（i）按与的大小分类求解不等式；（ii）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【详解】（1）依题意，是方程的两根，且，则， 所以. （2）（i）当时，， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （ii）恒成立， 而，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建莆田·月考）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可. 【详解】A．当时，，，因此不成立； B．取，此时，但因此不成立； C．若，且，则，即正确； D．若，，则，因此不成立． 故选：C． 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出范围，利用不等式恒成立求解. 【详解】由，解得，所以 而恒成立，即恒成立，所以． 故选： 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的代换求值即可. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 5．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出方程零点，根据参数范围，判断零点的范围，进而求出不等式的解集. 【详解】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 6．（2025高一上·江苏·专题练习）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题可得，由不等式的性质可得，.不等式可转化为，令，则原题意等价于对一切，恒成立.由二次函数的性质即可求解. 【详解】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图象开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于的方程对应的函数，根据二次函数的零点即可求解. 【详解】依题意，设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 所以，即，解得. 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解最值判断AB；由，利用基本不等式可判断C；由，结合基本不等式，可判断D. 【详解】因为为正数，且，，当且仅当时取等号，故A正确； ，当且仅当，即时取等号，故B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ， 当且仅当，即时取等号，故D错误． 故选：AC． 9．（25-26高一上·广东江门·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的性质和条件逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，A错误． 对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，B正确． 对于C，因为，所以， 因为，所以恒成立，C正确． 对于D，因，则，当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 10．（25-26高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D． 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为 ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对ABC进行逐一分析即可判断，利用二次函数性质判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 解得，当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取得等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为，故D正确； 故选：ACD 12．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知实数a，b满足且，则下列说法正确的有（    ） A．若，则对任意实数 B．若，则 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，错误. 故选：BC 三、填空题 13．（25-26高一上·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由基本不等式结合题意可得答案. 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 14．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可． 【详解】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为． 故答案为：． 15．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的图象关于直线对称，的解集是，则 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的对称性得的值，再根据一元二次不等式的解集得方程的根，从而可得的值. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，解得， 易知是方程的一个根，则有，解得, 所以， 由，得，即，解得， 所以. 故答案为：3. 16．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【答案】(1)7.5万元 (2)该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益 【分析】（1）直接代入函数解析式求函数值即可； （2）根据投资总额为5万元，将总收益表示为分段函数形式，再利用基本不等式以及一元二次函数求分段函数在不同区间上的最值，最后再比大小即可. 【详解】（1）由题可知，，，故获得的收益为万元； （2）设该个体户向B商品投入万元，则向A商品投入万元，设总收益为. ①当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，最大收益为万元； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取到最大值，即当时，最大收益为10万元. 因为，故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益. 18．（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 19．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】(1)； (2)年产量为42千件，最大年利润为115万元. 【分析】（1）根据题目条件，进而求出的表达式． （2）由（1）按与分段利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值，再比较大小即得． 【详解】（1）依题意，. （2）由（1） 当时，， 则当时，取得最大值60万元； 当时，， 当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元． 20．（25-26高一上·陕西西安·期中）设函数（），. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：； (3)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得， 所以的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）函数是二次函数，函数图象是抛物线， 开口向上，对称轴为直线； 当，即时，在上的最小值为； 当，即时，在上单调递增，最小值为； 当，即时，在上单调递减，最小值为； 综上，在上的最小值为， 21．（25-26高一上·湖北武汉·月考）设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】(1)，(2){1}(3)答案见解析 【详解】（1）由题意知，0和b是方程的根，且， 所以，解得， （2）由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得，则x的取值范围为{1} （3）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 1 学科网（北京）股份有限公司 $