专题08 指对幂函数 期末专题复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学指对幂函数复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，以表格对比幂函数定义域、值域等性质，用框架图呈现概念判定、图象分析等六大题型，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如题型一“身份识别”明确三类函数定义特征，题型四用“0和1桥梁”比较大小，培养数学思维与表达能力。例题涵盖基础到综合，变式突破适配不同学生，易错点总结助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题08 指对幂函数 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 概念判定、求值、求参 方法点拨： 三类函数的“身份识别： 幂函数：底数是自变量 x，指数α是常数；系数为1（如不是幂函数，是幂函数型函数）。 指数函数：底数 a是常数，指数是自变量 x；系数为1（如不是指数函数，而是指数型函数）。 对数函数：底数 a是常数，真数是自变量 x；系数为1（如 不是对数函数，是对数型函数） 例题解析： 例1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 例2.（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知对数函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 例3.（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 例4.（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 3.（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为 ，在的最大值是 ． 4.（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数 ． 题型二 指对幂函数的图象 方法点拨： 常见幂函数的图像及性质： 例题解析： 例1.（25-26高三上·上海·月考）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 例4.（20-21高一上·云南保山·月考）已知三个对数函数：y=logax，y=logbx，y=logcx，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 例5.（18-19高一上·江苏南通·期末）已知函数为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数中，分别具有性质、、、的函数序号依次为　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式突破： 1.（25-26高一上·上海普陀·期中）如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 2.（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 3.（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三 指对幂函数的性质 方法点拨： 常见幂函数性质： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 例题解析： 例1.（25-26高一上·天津·月考）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 例3.（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 例4.（25-26高二上·湖南·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例5.（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 2.（25-26高一上·云南昆明·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·天津蓟州·月考）已知函数，，则此函数的值域为 4.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·广东·月考）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 题型四 利用单调性比较大小 方法点拨： （1）幂函数的单调性：幂函数，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减 （2）关注“1”和“0”的桥梁作用，，， 例题解析： 例1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 例4.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例5.（25-26高三上·山西·月考）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 5（25-26高三上·广西南宁·月考）设，则的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 题型五 指对幂型函数的图象与性质 方法点拨： 从伸缩平移变换和复合函数双角度，完成指对幂函数到指对幂“型”函数的图像与性质的知识迁移 例题解析： 例1.（25-26高一·全国·假期作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·江苏泰州·月考）函数（且）的图象所过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·天津·月考）函数 的定义域是 . 例4.（25-26高一上·广东江门·月考）函数的值域为 ． 例5.（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 例6.（25-26高一上·江西·月考）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 例7.（25-26高一上·浙江·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 例8.（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数定义域为，则的取值范围为 . 例9.（25-26高三上·山西·月考）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 例10.（25-26高一上·山东枣庄·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例11.（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数. (1)若， （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 变式突破： 1.（25-26高一上·山西·月考）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 2.（25-26高一上·河南·月考）设函数，为实数，曲线的图象所过定点的坐标为 ． 3.（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 4.（25-26高一上·浙江·期中）函数的值域为 . 5.（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6.（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的最大值是 . 7.（25-26高一上·上海宝山·月考）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 8（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 9（25-26高一上·河南·月考）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 10（25-26高一上·湖南·月考）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为 ． 11.（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为 ． 12.（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知定义在上的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 题型六 反函数 方法点拨： 反函数：一般地，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。 函数与它的反函数图像关于直线对称 例题解析： 例1.（25-26高一上·广西·月考）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 例2.（20-21高一上·北京昌平·期中）函数的反函数的图象是（   ） A． B． C． D． 例3.（25-26高一上·广东·月考）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（2025高三·全国·专题练习）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·全国·课后作业）函数的反函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 4.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 5.（25-26高三上·安徽合肥·月考）若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 易错点 1.概念判定题：“形似实非”的函数识别陷阱 核心问题：混淆指数函数、对数函数、幂函数的定义形式，误判函数类型 2.定义域/值域题：“隐形限制”的忽略 核心问题：忽略对数真数＞0、幂函数分母/偶次根式的限制，导致定义域求错；或未结合单调性求值域。 3.单调性应用：“同增异减”的条件遗漏 核心问题：复合函数单调性分析时，忽略“定义域优先”或“内外层函数单调性同向/反向”的判断。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 指对幂函数 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 概念判定、求值、求参 方法点拨： 三类函数的“身份识别： 幂函数：底数是自变量 x，指数α是常数；系数为1（如不是幂函数，是幂函数型函数）。 指数函数：底数 a是常数，指数是自变量 x；系数为1（如不是指数函数，而是指数型函数）。 对数函数：底数 a是常数，真数是自变量 x；系数为1（如 不是对数函数，是对数型函数） 例题解析： 例1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 例2.（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知对数函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 例3.（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设幂函数，根据函数经过，求出的值，确定函数解析式，再代入，即可得解. 【详解】设幂函数，则，解得， 故，则，则. 故选：C. 例4.（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 变式突破： 1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 2.（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 【答案】ABD 【分析】利用待定系数法求出的解析式，根据幂函数的性质即可判断. 【详解】设，则，解得， 所以， 所以的定义域为，值域为， 是非奇非偶函数；的单调增区间为. 故选：ABD. 3.（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为 ，在的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 4.（25-26高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数 ． 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 题型二 指对幂函数的图象 方法点拨： 常见幂函数的图像及性质： 例题解析： 例1.（25-26高三上·上海·月考）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 例2.（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 例3.（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 例4.（20-21高一上·云南保山·月考）已知三个对数函数：y=logax，y=logbx，y=logcx，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 【答案】C 【分析】令时，分布求对应的实数根，根据图象确定的大小. 【详解】当时， 由图可知. 故选：C 例5.（18-19高一上·江苏南通·期末）已知函数为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数中，分别具有性质、、、的函数序号依次为　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据函数图象可得函数类型对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数，对应于幂函数中的一次函数，结合函数的性质得答案． 【详解】由图可知，对应于指数函数，对应于对数函数，对应于幂指数为正偶数的幂函数，对应于幂函数中的一次函数． 由，可得； 由且，可得； 由且，可得； 由，可得． 分别具有性质、、、 的函数序号依次为，，，． 故选D． 变式突破： 1.（25-26高一上·上海普陀·期中）如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 2.（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 3.（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】作直线，利用直线与指数函数的交点确定函数的对应关系. 【详解】如下图：    作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及， 可知对应，对应，对应. 故选：B 题型三 指对幂函数的性质 方法点拨： 常见幂函数性质： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 例题解析： 例1.（25-26高一上·天津·月考）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 例2.（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由于的定义域为，故ABC错误， 为上的单调递减函数，故，D正确， 故选：D 例3.（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 例4.（25-26高二上·湖南·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出函数的值域即集合及的定义域即集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 例5.（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意；所以，， 因为在上单调递增，， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故选：C. 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数图象性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 2.（25-26高一上·云南昆明·期中）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 3.（25-26高一上·天津蓟州·月考）已知函数，，则此函数的值域为 【答案】 【分析】令，由的单调性求解. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在单调递减，且时，；时，， 所以函数的值域为， 故答案为：. 4.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 5.（25-26高一上·广东·月考）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用单调性，求解不等式. 【详解】（1）由得或． 因为幂函数为奇函数， 所以． （2）由（1）知函数，所以在上单调递增， 由得，即 当时，，解得； 当时，解得； 当时，解得． 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型四 利用单调性比较大小 方法点拨： （1）幂函数的单调性：幂函数，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减 （2）关注“1”和“0”的桥梁作用，，， 例题解析： 例1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； 又， ∴，又均为正数， ∴，∴， ∴. 故选：A. 例2.（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 例3.（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 例4.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可. 【详解】指数函数在上单调递减，因为， 所以，即； 对数函数在上单调递减，因为， 所以，即， 指数函数在上单调递增，因为，所以，即. 综上，. 故选：D. 例5.（25-26高三上·山西·月考）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知等式将所求大小关系转化为函数图象的交点横坐标大小关系问题，通过数形结合求解. 【详解】因为， 所以均为正数，且. 所以分别为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，分别作出函数，，的图象，如图所示： 由图可知. 故选：A. 变式突破： 1.（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在上单调递增即可判断出答案. 【详解】 因为幂函数，在上单调递增，且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 2.（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A 3.（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用临界值结合对数的运算性质及对数函数性质判断即可. 【详解】由题意结合对数的运算性质得，， ， 因为函数在定义域内单调递增， 而，所以， 所以，即， 因为函数在定义域内单调递增， 而，所以，即， 所以. 故选：C 4（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数，的图像， 则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 观察图像得当时，， 当时，， 当时，， 所以ABC是可能的，D不可能. 故选：D 5（25-26高三上·广西南宁·月考）设，则的大小关系不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式大于零，然后分别取以为底的对数，画出相应对数函数的图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：设， 则， 令， 如图所示． 设与的交点横坐标为与的交点横坐标为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，的大小关系不可能为， 则正确选项为B， 故选：B． 题型五 指对幂型函数的图象与性质 方法点拨： 从伸缩平移变换和复合函数双角度，完成指对幂函数到指对幂“型”函数的图像与性质的知识迁移 例题解析： 例1.（25-26高一·全国·假期作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 例2.（25-26高一上·江苏泰州·月考）函数（且）的图象所过定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象性质求出所过定点坐标. 【详解】对任意且，当，即时，，此时， 所以函数（且）的图象所过定点的坐标为. 故选：A 例3.（25-26高一上·天津·月考）函数 的定义域是 . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 例4.（25-26高一上·广东江门·月考）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 例5.（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 例6.（25-26高一上·江西·月考）函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在其定义域内单调递增， 的单调递减区间为. 故选：C 例7.（25-26高一上·浙江·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数型复合函数的单调性可解. 【详解】∵函数的定义域为， 又因为外层函数在定义域上单调递减，二次函数在上递增，结合函数的定义域，得到函数的单调递减区间为. 故选：B. 例8.（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知函数定义域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由的定义域为知对所有成立，由二次函数性质可求得结果. 【详解】由题意得对所有成立： 若，成立； 若，则且判别式， 解得： 综上，. 故答案为：. 例9.（25-26高三上·山西·月考）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 例10.（25-26高一上·山东枣庄·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 例11.（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数. (1)若， （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）最小值为，对应；（ii）单调递减区间为； (2) 【分析】(1)通过换元将对数函数转化为二次函数，求二次函数的最值与单调区间，再还原为原函数的结果； (2)结合定义域确定换元后的区间，分情况讨论二次函数的最值差，进而求解参数范围。 【详解】（1），设， 则，的对称轴为. 当时， （i），其最小值为. 由，得. （ii）在时单调递增，的递减区间为， 对应，解得. （2）当时，，需满足， 分四类讨论对称轴位置： 情况1： 在上单调递增，，， 最值差为，由得，与矛盾，无解. 情况2： ，， 最值差为，即， 解得，结合区间得. 情况3： ，，最值差为， 解得，结合区间得. 情况4： 在上单调递减，，， 最值差为，得，与矛盾，无解. 综上所述，的取值范围为. 变式突破： 1.（25-26高一上·山西·月考）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 2.（25-26高一上·河南·月考）设函数，为实数，曲线的图象所过定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】无论a取任何实数，，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，令，可得， 所以的图象所过定点的坐标为. 故答案为： 3.（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 4.（25-26高一上·浙江·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 5.（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 6.（23-24高一上·广东佛山·月考）函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 7.（25-26高一上·上海宝山·月考）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断指数型函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数，得，解得， 所以的定义域为. 故选：D 9（25-26高一上·河南·月考）函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点这一性质，令函数的真数为1，求出此时的值，并求出取此值时的函数值，即可得函数的图象经过的定点坐标. 【详解】因为对数函数恒过定点， 所以对于函数，令，解得， 当时，， 所以函数的图象经过的定点坐标为. 故选：C 10（25-26高一上·湖南·月考）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 11.（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为 ． 【答案】 【分析】通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 12.（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知定义在上的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义，求出，得解； （2）利用对数运算可得，利用复合函数的单调性判断在上单调递增，结合偶函数性质将不等式转化为，运算求得答案； （3）根据题意，问题转化为，先求出的最小值，再分类讨论求出的最小值，运算得解. 【详解】（1）由题，得对任意成立，即， ， 所以，得， 所以. （2）因为， 令，则， 当时，则单调递增，且在单调递增， 所以单调递增，即在上单调递增， 由偶函数性质，在上单调递减， 所以等价于，所以， ，即，解得， 所以不等式的解集为. （3）对任意的，存在，使得，等价于， 由（2）在上单调递减，在上单调递增，则， 函数，开口向上，对称轴，， 当时，在上单调递增，所以， ，解得，又，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， ，解得或， 所以； 当时，在上单调递减所以， ，解得， 所以； 综上，实数的取值范围为. 题型六 反函数 方法点拨： 反函数：一般地，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。 函数与它的反函数图像关于直线对称 例题解析： 例1.（25-26高一上·广西·月考）已知函数与互为反函数，则（   ） A．-1 B．-2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据反函数得，代入自变量求函数值即可. 【详解】因为函数与互为反函数，所以，则. 故选：A 例2.（20-21高一上·北京昌平·期中）函数的反函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得函数的反函数，根据对数函数的图象，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 即函数的反函数， 结合对数函数的图象，结合选项，可得D项符合. 故选：D. 例3.（25-26高一上·广东·月考）与函数的图象关于直线对称的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，可得函数与的图象关于直线对称，然后根据对数的运算逐个选项判断即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 故只需判断哪个函数与表示同一个函数， 因为函数的定义域为， 选项A的定义域为，故排除A； 选项BCD的定义域均为， 根据对数的运算法则，， 且. 故选：BCD 变式突破： 1.（2025高三·全国·专题练习）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）函数的反函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对互化，可得，结合即可求解. 【详解】的反函数是，所以为减函数，排除A，B； 因为，排除D，只有C中图象符合题意， 故选：C． 3.（24-25高二上·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】A 【分析】把y看作常数，解方程求出，x，y互换，得到即可得解. 【详解】因为，所以，所以，即 x，y互换，得：，. 故选：A 4.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】首先求函数，再求，利用复合函数单调性的判断方法求函数的单调递增区间. 【详解】由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 5.（25-26高三上·安徽合肥·月考）若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据反函数的求法，求得函数的反函数为，列出方程，求得，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得，即， 所以函数的反函数为， 因为函数的图象关于直线对称，可得， 可得，所以， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 易错点 1.概念判定题：“形似实非”的函数识别陷阱 核心问题：混淆指数函数、对数函数、幂函数的定义形式，误判函数类型 2.定义域/值域题：“隐形限制”的忽略 核心问题：忽略对数真数＞0、幂函数分母/偶次根式的限制，导致定义域求错；或未结合单调性求值域。 3.单调性应用：“同增异减”的条件遗漏 核心问题：复合函数单调性分析时，忽略“定义域优先”或“内外层函数单调性同向/反向”的判断。 学科网（北京）股份有限公司 $