精品解析：海南海口市海南中学2026-2027学年第一学期高二年级10月测试数学试卷

高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线一般式转化为斜截式得到斜率，再结合倾斜角的取值范围和斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】首先将直线的一般式方程化为斜截式： 移项得，两边同时除以，整理得，因此该直线的斜率. 设直线的倾斜角为，根据直线倾斜角的定义，，且斜率与倾斜角满足关系，代入得. 结合的取值范围，解得. 【点睛】 2. 已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】点到抛物线焦点的距离为4，，. 3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，， 所以. 所以实数k的取值范围为. 4. 已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【详解】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ） A. 4米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案. 【详解】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 6. 若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 8. 双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知点在以为直径的圆上，则而， 故， 由双曲线的定义可得. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（ ） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心C到直线距离为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先把圆的方程化简为标准方程，再应用点到直线距离公式结合几何法求出弦长即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，半径，A选项错误，B选项正确； 所以圆心到直线的距离，C选项错误； 弦的长，D选项正确； 故选：BD． 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立得，解得：，． 由，得，故A错误； 由于，则，故C错误； 同理，故B正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷（共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，点B在直线上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】点，点B在直线上， 则的最小值为点到直线的距离， 即. 13. 如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 14. 设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的曲线标准方程． （1）经过点，两点的椭圆； （2）与椭圆共焦点且过点的双曲线； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用待定系数法求参数值，即可得； （2）根据椭圆方程确定焦点坐标，再由双曲线的性质及所过点求参数值，即可得. 【小问1详解】 设椭圆方程为（，且）， 由，解得，， 即椭圆方程为； 【小问2详解】 椭圆的焦点坐标为，设所求方程为， 由，解得，，即所求方程为. 16. 已知抛物线：经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，即可求出结果； （2）根据点斜式求出直线的方程，设，，将其与抛物线方程联立，求出，由两点间的距离公式求出，再根据面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 将代入得，解得， 故抛物线方程为，且焦点为． 【小问2详解】 直线的斜率为且过，所以直线：，即， 代入得，设，， 由韦达定理得，，所以， ，， 又，即、位于轴两侧， 故． 17. 已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． （1）求点的轨迹的方程． （2）过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【小问1详解】 设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 略 18. 如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：设直线为，设 由，消去得， ，则， 所以， 则，整理得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不合题意，舍去， 当时，直线方程为，过定点，命题得证. （ii）存在，，理由如下： 设，因为，则， 又，得到， 所以，又， 则，同理可得， 因为，， 又由（i）知，，所以 ， 得到， 所以， 则， 整理得，解得或， 又，则，代入，得到，此时，故存在满足题意. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，进而可解得或，即可求解；（ii）根据条件得，，结合条件可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2） （3） 由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为，且经过点， 可得椭圆的方程为， 由（2）知，， 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消得， 则恒成立， 则， 线段得中点为，即， 又， 则线段的中垂线的方程为， 即， 同理线段的中垂线的方程为， 设的外接圆的圆心的坐标为， 则是方程的两根， 所以， 又， 所以，整理得， 则，即， 所以直线与的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可； （2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可； （3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论. 【小问1详解】 设， 由“倒影距离”的定义可知，， ， 由题意，即， 所以“倒影椭圆”C的方程为； 【小问2详解】 由， 得， 当时，， 当时，由对称性知，， 其图象如图所示， 故“倒影椭圆”C的面积； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（ ） A. 4米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（ ） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心C到直线距离为 D. 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 第Ⅱ卷（共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，点B在直线上，则的最小值是______． 13. 如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 14. 设，分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求满足下列条件的曲线标准方程． （1）经过点，两点的椭圆； （2）与椭圆共焦点且过点的双曲线； 16. 已知抛物线：经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积. 17. 已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． （1）求点的轨迹的方程． （2）过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 18. 如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $