精品解析：江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学试卷

江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷 数学 注意事项 考生在答題前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷包含选择题（第1题~第28题，共28小题84分）､解答题（第29题~第30题，共2题16分）.考生答题全部答在答题卡上，答在本战卷上无效.本次考试时间为75分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回. 2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上. 3.请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名､准考证号是否与本人的相符合. 4，答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用书写黑色字远的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 参考公式： 柱体的体积公式：，其中是底面积，是高. 一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数几何意义可得答案. 【详解】在复平面对应的点为，该点在四象限. 故选：D 3. 已知的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数定义求解. 【详解】根据题意，， . 故选：A. 4. 已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式计算. 【详解】根据题意，圆柱的体积为. 故选：D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】由等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 7. 已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的概念运算得解. 【详解】该同学周一至周五的平均日睡眠时间为. 故选：B. 8. 函数（ ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A. 9. 甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.85 D. 0.98 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 10. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 11. 函数的最小正周期是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期. 【详解】因为，所以的最小正周期为. 故选：D. 12. 已知函数，则( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求,再求即得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 13. 棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棣莫弗公式化简求解. 【详解】由棣莫弗公式，. 故选：D. 14. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在幂函数上求参，再求函数值即可. 【详解】因为函数的图象经过点，则，计算得， 所以函数为，则. 故选：B. 15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（ ） A. 45 B. 54 C. 72 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 16. 将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变换求解. 【详解】将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为. 故选：C. 17. 已知向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】由题，， 又，所以. 故选：C. 18. 盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 19. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 详解】因，则， 则. 故选：A 20. 若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（ ） A B. 20 C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 21. 在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 22. 在中，为边的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图及向量加减法可得答案. 【详解】由图可得，. 故选：A 23. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式运算求解. 【详解】由，即，解得. 故选：C. 24. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 25. 为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ） A. 11 B. 22 C. 34 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得， 解得， 所以用电量落在区间内的户数为. 故选：B. 26 已知直线平面，则（ ） A. 与内所有直线都平行 B. 内不存在直线与垂直 C. 过的平面与必平行 D. 内有无数条直线与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 27. 已知甲船位于灯塔A北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 28. 已知函数，若实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，由图可得，，再利用均值不等式即可求解. 【详解】函数的图象如图， 因为，， 由图可知，， ，即， 解得，且， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 29. 如图，已知正方体.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【小问1详解】 由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； 【小问2详解】 由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 30. 定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. （1）已知，求的长度； （2）已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）9 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）求出二次函数的值域，根据区间长度的定义得解； （2）根据题意，写出分段函数，分别求出每段的值域，按照与的大小讨论，求出的值域，并根据求解验证. 【小问1详解】 因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为，的长度为. 【小问2详解】 根据题意，， 即，， 当时，， 当时，， 若，则的值域，则， 或，又，不合题意； 若，则的值域，则， 即，解得或（舍去）， 当时，满足，合题意. 所以存在实数，使得的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷 数学 注意事项 考生在答題前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷包含选择题（第1题~第28题，共28小题84分）､解答题（第29题~第30题，共2题16分）.考生答题全部答在答题卡上，答在本战卷上无效.本次考试时间为75分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并放在桌面，等待监考员收回. 2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在本试卷及答题卡上. 3.请认真核对监考员在答题卡右上角所粘贴条形码上的姓名､准考证号是否与本人的相符合. 4，答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用书写黑色字远的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效. 参考公式： 柱体的体积公式：，其中是底面积，是高. 一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：）依次为，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：）为（ ） A. 8.6 B. 8.7 C. 8.8 D. 8.9 8. 函数（ ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 9. 甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.85 D. 0.98 10. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 11. 函数的最小正周期是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12. 已知函数，则( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 13. 棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（ ） A. 45 B. 54 C. 72 D. 90 16. 将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 17. 已知向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 18. 盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 19. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 20. 若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（ ） A. B. 20 C. D. 40 21. 在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 22. 在中，为边的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 23. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 24. 设，则（ ） A B. C. D. 25. 为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（ ） A. 11 B. 22 C. 34 D. 44 26. 已知直线平面，则（ ） A 与内所有直线都平行 B. 内不存在直线与垂直 C. 过的平面与必平行 D. 内有无数条直线与垂直 27. 已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 28. 已知函数，若实数满足，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 29. 如图，已知正方体.求证： （1）平面； （2）平面 30. 定义：区间的长度均等于.设函数的值域为区间. （1）已知，求的长度； （2）已知.是否存在实数，使得的长度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$