精品解析：河北省沧州市任丘市第三中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级学业水平综合评价（三） 数学（冀教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “书同文，车同轨”，秦始皇统一六国后，以秦国的“小篆”作标准统一全国文字，下列是“美丽茅箭”四个汉字对应的小篆体，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. 3.14 D. 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 化简正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则化简的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知与的互为相反数，则 __________． 14. 若实数、满足则的立方根是___________． 15. 如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是______． 16. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，点，分别在、上，，，与相交于点，求证：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 21. 阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分为________，小数部分为________； （2）已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 22. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 23. 如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）如图2，若，是的边上的高，，求的长． 24. 【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A. B. C. D. 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级学业水平综合评价（三） 数学（冀教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “书同文，车同轨”，秦始皇统一六国后，以秦国的“小篆”作标准统一全国文字，下列是“美丽茅箭”四个汉字对应的小篆体，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的文字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的文字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，判断每个选项是否是无理数，无理数即无限不循环小数． 【详解】A．，是有理数，不符合题意； B．，是有理数，不符合题意； C．3.14是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意． 故选D． 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别，解题的关键是化简二次根式． 先化简各项二次根式，再根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项符合题意； B. ，该选项不符合题意； C. ，该选项不符合题意； D. ，该选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 8. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是根据痕迹识别图形的性质 由图知，平分，垂直平分，运用角平分线的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由图知，平分，垂直平分， ，，， 在中，， ， ， 所以选项A、C、D正确，不符合题意， 故选：B． 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 10. 已知，，则化简的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 11. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 12. 如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键． 作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接，根据轴对称图形的性质得出，再由三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点E，作A点关于的对称点F，连接交于点M，交于点N，连接， ∵， ∴，此时周长最小， 由对称可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知与的互为相反数，则 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据相反数的定义可得，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当得时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 14. 若实数、满足则的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求立方根，准确记住二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件，即可解出x值，进而求出y值，接着求得立方根即可． 【详解】解：∵实数x、y满足， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】解：当时，（秒； 当时，（秒； ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，点，分别在、上，，，与相交于点，求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 证明，再证明，即可求解． 【详解】略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先把括号内通分，再进行同分母减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，再约分，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先计算平方差，二次根式的除法，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 【答案】 证明：是的角平分线， ． 在和中， ， ∴， ∴，， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，由角平分线的定义可得，再证明得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分为________，小数部分为________； （2）已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为； （2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； 【小问2详解】 解：依题意，∵， ∴， ∴， 即， ∵是是整数部分， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 即． 22. 像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 23. 如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． （1）求证：； （2）如图2，若，是的边上的高，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 在与中， ∴ ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得； （2）先证明平分，再根据角平分线的性质求出，然后根据，得出，从而可根据三线合一得出平分，进而可说明，从而可得，均为等腰直角三角形，于是有，从而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为． 由（1）知，， ∵， ∴， ∴平分． ∵，，， ∴． 由（1）知，， ∴， ∵， ∴平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 24. 【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A. B. C. D. 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B； （2）； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）略 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $