精品解析：湖南省永州市第十六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季永州市第十六中第二次课后服务检测九年级 数学试卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 所有的矩形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 各有一个角是的两个等腰三角形相似 D. 所有的正方形都相似 6. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 56（1﹣2x）＝31.5 B. 56（1﹣x）2＝31.5 C. 31.5（1+x）2＝56 D. 31.5（1+2x）＝56 7. 一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm ，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知为锐角，若，则______． 12. 将一元二次方程化成的形式，则b的值为___________． 13. 若，且，的周长为， 则的周长为______． 14. 茶果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为_________千克． 15. 如图，在平行四边形中，过点B的直线与及的延长线分别相交于E，F，G．若，则等于________． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 _____． 三、解答题（72分） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD， （1）求证：△ABC∽△ACD （2）若AD=2，AB=5.求AC的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程总两个不相等的实数根，求m的取值范围？ （2）若方程有一根是2，求方程的另外一根和m的值． 20. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 21. 为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）请将两个统计图补充完整； （3）若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人. 22. 如图，有一塑像在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求塑像的高度．（精确到．参考数据：，，，） 23. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． （1）求时，的面积． （2）移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季永州市第十六中第二次课后服务检测九年级 数学试卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设反比例函数（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（2，3），则k=6． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：一个未知数、最高次项为2次、整式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可作答． 【详解】解：选项A中方程次数为1，不是二次，故不符合题意； 选项B满足定义，一个未知数、最高次项为2次、整式方程，故符合题意； 选项C中含有两个未知数，不是一元，故不符合题意； 选项D中分母含未知数，不是整式，故不符合题意； 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵x2+x-k=0有两个实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0， 解得：k≥-， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 4. 反比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 所有的矩形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 各有一个角是的两个等腰三角形相似 D. 所有的正方形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判定，关键看对应角是否相等、对应边是否成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似图形的定义，判断各命题的真假． 【详解】解：选项A，矩形的角都相等，但边不一定成比例，故 A是假命题； 选项B，等边三角形的角都相等，且边成比例，故B是真命题； 选项C，有一个角是的等腰三角形，顶角为，底角为，角对应相等，故C是真命题； 选项D， 正方形的角都相等，且边成比例，故D是真命题， 故选：A． 6. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. 56（1﹣2x）＝31.5 B. 56（1﹣x）2＝31.5 C. 31.5（1+x）2＝56 D. 31.5（1+2x）＝56 【答案】B 【解析】 【分析】根据降价后的价格＝降价前的价格×（1−降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1−x），第二次后的价格是56（1−x）2，据此即可列出方程． 【详解】解：由经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元得：56（1−x）2＝31.5， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可． 7. 一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平均数的公式可得的值，再根据平均数的公式即可得． 【详解】解：一组数据4、5、6、、的平均数为5， ， 解得， 则、的平均数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了求平均数，熟记平均数的计算公式是解题关键． 8. 如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm ，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】连接PD、DN，三角形ABC的面积等于△BPD的面积+△CDN的面积+△APD的面积+△ADN的面积，列出关于正方形边长的方程即可求出． 【详解】解：设正方形的边长为x，PN交AD于E，如图，连接PD、DN． （BD+CD）x+AD（PE+NE）=， 解得x=4． 故选B． 考点：三角形的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 10. 如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）     A. 3秒或4.8秒 B. 3秒 C. 4.5秒 D. 4.5秒或4.8秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知为锐角，若，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值． 根据为锐角，且，即可求出的度数． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故答案为：45． 12. 将一元二次方程化成的形式，则b的值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先移项，再在方程的两边都加上 配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， 移项得： ， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键. 13. 若，且，的周长为， 则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和的周长，计算的周长． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，   ∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即，   已知，， 设，则， 解得． 故答案为：16． 14. 茶果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为_________千克． 【答案】20200 【解析】 【分析】5棵果树的平均产量=（98+102+97+103+105）÷5=101（千克）； 估计这200棵果树的总产量为101×200=20200（千克）. 故答案为D. 【详解】根据求平均数的方法求解5棵树的平均数，然后乘以200即为总重量. 【点睛】本题考查了算术平均数和用样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数和用样本估计总体的定义及其应用. 15. 如图，在平行四边形中，过点B的直线与及的延长线分别相交于E，F，G．若，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，根据平行四边形可判定，，利用其对应边成比例推出，可求出，然后用减去即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴A3所在的正方形的边长为1， ∴A3（1，1）， 设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1）， ∴m（m+1）＝1， 解得m＝（负数舍去）， ∴A2的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键． 三、解答题（72分） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD， （1）求证：△ABC∽△ACD （2）若AD=2，AB=5.求AC的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明, （2）由上一问列出比例式,代入求值即可. 【详解】证明： （1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD （2）解：△ABC∽△ACD ∴ ∵AD=2, AB=5 ∴ ∴AC= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键. 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程总两个不相等的实数根，求m的取值范围？ （2）若方程有一根是2，求方程的另外一根和m的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可． （2）设另一个根的值为a，根据根与系数的关系求出另外一根a和m． 【小问1详解】 关于x的方程有两个不相等的实数根． ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； 【小问2详解】 设另一个根的值为a，根据根与系数的关系得：， 解得， ， ，即方程的另一个根为，m的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根 ， 当=0时，方程有两个相等的实数根，当＜0时，方程没有实数根，当≥0时，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，根与系数的关系：，． 20. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【答案】（1）y=x+1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； 【小问2详解】 解：如图， 设反比例函数解析式为y=， 把A（2，3）代入，得3=， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y=， 当x=6时，则y==1， ∴B（6，1）， ∴AB=， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴ACx轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 21. 为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）请将两个统计图补充完整； （3）若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人. 【答案】(1)200； （2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人， ∴喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80， ②喜欢A项运动的人所占的百分比为：80÷200×100%=40%； 喜欢D项运动的人所占的百分比为：30÷200×100%=15%； 根据上述所得数据补充完两幅图形如下： （3）240人． 【解析】 【分析】（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人；由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%；由10÷5%即可求得总人数为200人； （2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人，由此可得喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，由此在图1中补出表示A的条形即可；②由80÷200×100%可得喜欢A项运动的人所占的百分比；由30÷200×100%可得喜欢D项运动的人所占的百分比；把所得百分比填入图2中相应的位置即可； （3）由1200×20%可得全校喜欢“排球”运动的人数. 【详解】解：（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人，由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%， ∴这次抽查的总人数为：10÷5%=200（人）； （2）略 （3）从抽样调查中可知，喜欢排球的人约占20%，可以估计全校学生中喜欢排球的学生约占20%，人数约为：1200×20%=240（人）. 答：全校学生中，喜欢排球的人数约为240人． 22. 如图，有一塑像在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求塑像的高度．（精确到．参考数据：，，，） 【答案】塑像的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系． 在中，利用正切函数的定义求得的长，继而求得的长，在中，同样利用正切函数的定义求得的长，从而求得结果． 【详解】在中， ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 答：塑像的高度约为 23. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再由，得出，最后根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明． （2）由（1）的结论可得出，由是矩形，得出，由是的中点得出，由勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，关键是证明三角形相似． 24. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，移动时间为． （1）求时，的面积． （2）移动过程中，是否存在这样的t使得的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）移动过程中，是否存在t值使得以点E，O，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）36 （2）不存在，理由见解析 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况． （1）由于轴，则时，，关键是求证明，则，从而求出的长度，得出的面积； （2）假设存在这样的，使得的面积等于40，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论； （3）如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：；． 【小问1详解】 ， 又， ， ， 当时，，，，， ， ； 【小问2详解】 不存在． 理由：， ， ， 整理，得， ， 方程没有实数根． 不存在使得的面积等于40的值； 【小问3详解】 当时，∽， ，即， 解得； 当时，∽， ，即， 解得． 当或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $