期末复习09反比例函数期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学反比例函数期末复习讲义通过知识框架与对比表格系统构建知识体系，涵盖概念、图象性质、k的几何意义、综合应用等核心内容，用表格对比k值正负对图象位置和增减性的影响，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础的定义判断、解析式求解到综合的k几何意义应用、与一次函数交点问题，每个题型配典例与专练，培养抽象能力和几何直观。融入实际应用题如路程问题，发展模型意识，助力不同层次学生提升，教师可实施精准分层教学。

期末复习09反比例函数期末冲刺必备讲义 1.理解反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式。 2.掌握反比例函数的图像与性质，并能熟练运用其解决问题。 3.理解反比例函数中比例系数 k 的几何意义。 4.能够运用反比例函数的知识解决与几何图形、一次函数相结合的综合问题。 期末必备 知识点梳理 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的图象与性质 3.反比例函数中比例系数k的几何意义 4.反比例函数与一次函数的综合应用 5.反比例函数的实际应用 6.总结与复习建议 常考题型 精讲精炼 1.依据反比例函数定义判断函数类型 2.结合反比例函数的定义求参数 3.反比例函数的解析式求解 4.反比例函数图象的判断与绘制 5.根据双曲线所在的象限,求参数范围 6.反比例函数增减性的分析判断 . 7.依据反比例函数的增减性求解对应参数 8.反比例函数中函数值或自变量的大小比较 9已知比例系数计算特殊图形的面积 10.根据图形面积求比例关系 11.反比例函数解析式的求解 12.反比例函数在实际问题中的应用 13.反比例函数与几何图形的综合问题 14.一次函数与反比例函数图象综合判断 15.一次函数与反比例函数的交点问题 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.反比例函数的概念】 1. 定义 一般地，如果两个变量x和y之间的关系可以表示成y = k/x(其中k为常数，且k ≠ 0) 的形式，那么称y是x的反比例函数。 自变量：x 因变量：y 比例系数：k(一个不为零的常数) 2. 等价形式 反比例函数的表达式可以有以下几种等价形式，解题时可以灵活运用： (1)y = k/x(最标准形式) (2)xy = k(乘积形式，非常重要，体现了 “积为定值” 的核心思想) (3)y = k(幂函数形式，其中x的指数为 -1) 3. 自变量的取值范围 由于分母不能为零，所以自变量x的取值范围是x ≠ 0。 4. 函数值的取值范围 当k ≠ 0时，y也不能为零，所以函数值y的取值范围是y ≠ 0。 5. 确定反比例函数的解析式 确定一个反比例函数，只需要确定比例系数k。通常有两种方法： *待定系数法： (1)设函数解析式为y = k/x。 (2)将已知的一组x和y的对应值代入解析式，得到一个关于k的方程。 (3)解这个方程，求出k的值。 (4)将k的值代回所设的解析式中。 *直接利用xy = k： 如果已知函数图象上一点的坐标为(x₀, y₀)，则k = x₀.y₀。 【知识点02.反比例函数的图象与性质】 反比例函数y = k/x(k ≠ 0) 的图象是由两条曲线组成的，叫做双曲线。 1. 图象的形状与位置 k 的符号 k > 0 k < 0 图象位置 两个分支分别在第一、三象限 两个分支分别在第二、四象限 图象形状 以原点为对称中心的中心对称的双曲线 以原点为对称中心的中心对称的双曲线 2. 图象的对称性 *中心对称：图象关于原点 (0, 0)中心对称。 若点(a, b)在双曲线上，则点(-a, -b)也一定在双曲线上。 *轴对称：图象关于直线y = x y = -x对称。 若点(a, b)在双曲线上，则点(b, a)和(-b, -a)也一定在双曲线上。 3. 图象的趋势（与坐标轴的关系） 双曲线的两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。 *x轴和y轴是双曲线的渐近线。 4. 函数的增减性（单调性） 增减性是指函数值y随自变量x的增大而变化的情况。注意：反比例函数的增减性必须在每个象限内讨论。 k 的符号 k > 0 k < 0 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 说明 例如，在第一象限，当x₁ < x₂时，y₁ > y₂。 例如，在第二象限，当x₁ < x₂时，y₁ < y₂。 易错点 不能说 “当 k > 0 时，y随x的增大而减小”。因为如果x从负数变到正数，y的值会从负数跳到正数，是增大的。 不能说 “当 k < 0 时，y随x的增大而增大”。因为如果x从负数变到正数，y的值会从正数跳到负数，是减小的。 【知识点03.反比例函数中比例系数k的几何意义】 这是反比例函数中一个非常重要且常考的知识点。 基本模型 过反比例函数y = k/x(k ≠ 0)图象上任意一点P(x, y)，作PM ⊥ x轴于点M，作PN ⊥ y轴于点N，则： *四边形OMPN是一个矩形。 *这个矩形的面积S = |x|×|y| = |xy|。 *因为xy = k，所以矩形OMPN的面积S = |k|。 【知识点04.反比例函数与一次函数的综合应用】 这是期末考试中的重点和难点，通常会结合图象进行考察。 1. 交点问题 求反比例函数y = 和一次函数y = k₂x + b的交点坐标， 就是解方程组： 有两个交点：方程组有两个不同的实数解。 有一个交点：方程组有两个相同的实数解（即一次函数是反比例函数的切线）。 没有交点：方程组没有实数解。 2. 利用图象比较函数值大小 给定一个x的取值范围，比较k₁/x和k₂x + b的大小，就是看在这个范围内，哪个函数的图象在上方。 3. 几何图形面积问题 结合一次函数和反比例函数的图象，以及坐标轴，可以构成各种几何图形（如三角形、四边形），求其面积。解决这类问题的关键是： 求出所有关键点的坐标。 将不规则图形的面积转化为几个规则图形（如三角形、矩形）面积的和或差。 【知识点05.反比例函数的实际应用】 反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，例如： 1.路程问题：当路程s一定时，速度v与时间t成反比例关系，即v = s/t。 2.压强问题：当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例关系，即p = F/S。 3.工作量问题：当工作总量W一定时，工作效率n与工作时间t成反比例关系，即n = W/t。 4.杠杆原理：当阻力和阻力臂一定时，动力F₁与动力臂L₁成反比例关系，即F₁ = (F₂L₂)/L₁。 解题步骤： 1.审清题意：找出题目中的常量和变量，确定哪两个量是成反比例关系的。 2.设出函数：设反比例函数的解析式为y = k/x(或根据题意设为xy = k)。 3.确定 k 值：利用题目中给出的一组对应值，求出比例系数k。 4.解决问题：将求得的解析式应用于解决题目提出的实际问题，如求值、分析变化趋势等。 5.检验作答：检验结果是否符合实际意义，并写出完整的答案。 总结与复习建议 1.深刻理解概念：牢固掌握反比例函数的定义、表达式和自变量的取值范围。 2.熟练掌握图象与性质：能快速画出草图，并根据 k 的符号判断图象所在的象限和函数的增减性。特别注意增减性的前提条件是 “在每个象限内”。 3.灵活运用 k 的几何意义：这是解决面积问题的利器，要能从复杂的图形中识别出基本模型。 4.加强综合题训练：多做一些反比例函数与一次函数、几何图形相结合的综合题，提高分析问题和解决问题的能力。 5.注重实际应用：理解反比例函数在实际生活中的意义，学会建立数学模型解决实际问题。 【题型1.依据反比例函数定义判断函数类型】 【典例】下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，形如（ 为常数，且）的函数是反比例函数，据此判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是反比例函数，该选项不合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 、是反比例函数，该选项符合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 故选：． 【跟踪专练1】下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是 填所有正确的序号． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】用，表示两个相关联的量，下列关系中，和成反比例关系的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的定义，涉及的知识点是“反比例关系的判定：两个相关联的量，若满足（为定值，），则和成反比例关系”．解题方法是根据反比例关系的定义，逐一分析选项中x与y的关系式，判断是否符合定值的形式；解题关键是区分反比例关系与正比例关系、一次关系的表达式特征．易错点是混淆反比例关系（乘积为定值）与正比例关系（比值为定值）的形式．解题思路为：对每个选项，分析与的关系式，判断是否满足“乘积为定值”，进而确定成反比例关系的选项． 【详解】解：∵反比例关系的定义是（为非零常数）， 选项A：表示和定，不是反比例； 选项B：满足反比例定义； 选项C：表示差定，不是反比例； 选项D：可化为，表示正比例关系． 故选：B． 【题型2.结合反比例函数定义求参数】 【典例】反比例函数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数解析式的一般步骤是解题的关键．根据反比例函数的定义，函数中的为比例系数，据此求解． 【详解】解：反比例函数可化为， 因此比例系数． 故答案为． 【跟踪专练1】若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 【题型3.反比例函数的解析式求解】 【典例】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 【跟踪专练1】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，……．如此继续下去， ． 【答案】 【分析】分别计算出，，，，可得到每三个一循环，即可求出． 【详解】解：由题意，得，，…，每三个数为一组循环． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查探索规律，根据已知找出数字之间的联系是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 【题型4.反比例函数图象的判断与绘制】 【典例】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线、勾股定理、直角三角形的性质及反比例函数图像等知识点，根据题意求得与解析式是解答本题的关键．根据勾股定理可得出与解析式，注意的取值范围即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵ ∴ 即， 解得 ∵点在直线上方运动 ∴， ∴ ∴与之间的函数关系为， 故选：B． 【跟踪专练2】函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 -4 或 【分析】利用左加右减的平移规律即可得到结论，根据图象即可求得． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则； 画出函数图象： 观察图象，不等式的解集为或． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【题型5.根据双曲线所在象限求参数范围】 【典例】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象，当时图象分布在第二、四象限．本题中，函数为，因此，然后解不等式即可． 【详解】解：∵图象分布在第二、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 【跟踪专练1】若反比例函数在一、三象限，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，解一元二次方程，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． 根据反比例函数的定义和性质得到且，再解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得或（舍） 故答案为：． 【跟踪专练2】已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在图象所在的每个象限内随的增大而减小；③若点、点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题关键．根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可以看到，函数图象位于第一、三象限， ∴根据反比例函数图象的性质，可得，因此结论①是正确的； ②由结论①可知， ∴在图象所在的每个象限内，随的增大而减小，结论②是正确的； ③因为点、点都在反比例函数的图象上，且， 又∵在第一象限内随的增大而减小，(由结论②可知) ∴当的值越小，对应的值越大，即，结论③是正确的； ④已知点在反比例函数的图象上， 得：， 两边同时乘以，得到， ∵点也在反比例函数的图象上， 得：， 把代入右边，可得， ∴左边等于右边， ∴说明点也在该反比例函数的图象上，所以结论④是正确的； 故选：A． 【题型6.反比例函数增减性的分析判断】 【典例】请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】对于反比例函数（），下列说法中错误的是（    ） A．当时，图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上（） 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数 的性质，包括图象分布、增减性、与坐标轴的交点以及点与图象的关系．根据反比例函数的性质判断各选项的正误，即可解题． 【详解】解：∵反比例函数（）， A、当时，图象分布在一、三象限；当时，图象分布在二、四象限， ∴选项A正确，不符合题意； B、当 时，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当时，在每一象限内y 随x的增大而增大；且由于函数图象不连续，整体上y 随x的增大而减小或增大均不成立， ∴选项B错误，符合题意； C、由于且， ∴图象与坐标轴无交点， ∴选项C正确，不符合题意； D、若点在图象上，则，即；点代入函数， ，成立， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：反比例函数， ， 图象分布在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上，若， ，， ． 故答案为：． 【题型7.依据反比例函数的增减性求解对应参数】 【典例】反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查反比例函数图象的性质．根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到，解可得k的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：C． 【跟踪专练1】函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义及性质，由反比例函数的定义计算可得或，再结合反比例函数的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：或， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 【题型8.反比例函数中函数值或自变量的大小比较】 【典例】若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数点的特征，求反比例函数的函数值．代入各点横坐标计算纵坐标后比较大小即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 由于， 因此． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．当时， D．图象经过点 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数，， ∴当时，随着的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 、∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，原选项错误，不符合题意； 、∵反比例函数， ∴当时，或，原选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴图象经过点，原选项正确，符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． 由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况． 【详解】解：∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． ∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． 又∵， ∴． 当时，，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，即， ∵，分母为负， ∴， 解得． 综上，a的取值范围为或． 故答案为或． 【题型9.已知比例系数计算特殊图形的面积】 【典例】如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 【跟踪专练1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键． 连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可． 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 【题型10.根据图形面积求比例关系】 【典例】反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键； 分别过点作轴于点，轴于点，轴于点，根据相似及反比例函数的性质可求． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，三角形中位线定理，与中线有关的三角形的面积的计算，连接、，先求出，证明是的中位线，得出，从而可得，再由反比例函数的的几何意义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为3， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（，）的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【题型11.反比例函数解析式的求解】 【典例】如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数解析式的求法，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，是做题的关键．将已知点的坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 反比例函数 () 的图象经过点， ∴ 当时，， 代入函数解析式得，， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 【详解】解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【跟踪专练2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 【题型12.反比例函数在实际问题中的应用】 【典例】某电路的电源电压Ｕ（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压Ｕ恒定不变，则电阻R和电流I这两个量成 关系． 【答案】反比例 【分析】此题考查了反比例关系， 根据欧姆定律，电源电压恒定下，电阻与电流的乘积为定值，故成反比例关系． 【详解】∵，且电源电压Ｕ恒定不变， ∴电流与电阻的乘积为常数， ∴电阻R和电流I这两个量成反比例关系． 故答案为：反比例． 【跟踪专练1】某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图象的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可． 【详解】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A是正确的，不符合题意； B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，解得：， 故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B是正确的，不符合题意； C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或，解得或， 则，选项C是正确的，不符合题意； D、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D是不正确，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 【题型13.反比例函数与几何图形的综合问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解决此题的关键是要能够根据两点的坐标求得两点之间的长度，再求出的值即可． 【详解】解：设， 是函数的图象上的一点，是函数的图象上的一点， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，连接，过点作交反比例函数的图像于点，连接交反比例函数的图像于点，若为中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合、勾股定理、中点坐标等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设，由中点坐标可得，又点D在反比例函数图像上可得，即，整理得：，则；由勾股定理可得再根据勾股定理列关于c的方程可求得c，进而求得k的值． 【详解】解：设， ∵点，的坐标分别是，，为中点， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【题型14.一次函数与反比例函数图象的综合判断】 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，，②当时，，逐项分析判断即可． 【详解】解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E． （1） ； （2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为 【答案】 【分析】本题主要老相反比例函数与几何综合，矩形的性质，求直线解析式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据矩形的性质求出点的坐标，由中点坐标公式求出点的坐标，进而可求出的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，根据和点坐标可求出直线 的函数解析式，再联立方程组，解方程组得出点的坐标，求出，可得结论． 【详解】(1)∵四边形是矩形， ∴，E 为 的中点. ∵， ∴， ∴， 由中点坐标公式得， ； （2）设直线的解析式为， 把，代入直线解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴设直线 的函数解析式为 ∵该直线过点，. 解得， ∴直线的函数解析式为 由（1）可知，反比例函数的解析式为 ； ∵ F为这两个图象的交点， ∴解方程组得：， ， ∴ 点 F 的 坐 标 为 或 ， ∴当点 F 的坐标为 时， ； 当点 F 的坐标为 时， 综上所述， 的值为 【题型15.一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是找到两个临界点． 如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， 当直线在双曲线下面时，利用勾股定理求出，然后求出，代入求出，当直线在双曲线上面时，同理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， ∵直线和直线垂直 ∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连” 由图象得，是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ 联立得， 解得或 ∴ ∴ ∴将代入直线得， 解得； 如图所示，当直线在双曲线上面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”， 同理可得， ∴将代入直线得， 解得； ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，与y轴交于点B，且与反比例函数的图象只有一个公共点C．若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根的判别式，勾股定理．解题的关键是由由勾股定理得出相应的等量关系． 由直线与反比例函数图象只有一个公共点C，联立成方程的根的判别式为0，求出的值，得点，.设点A的坐标为，再根据得，根据勾股定理得方程，解出的值，再求出k的值即可． 【详解】由直线与反比例函数图象只有一个公共点C， 得仅有一个解， 整理，得，， 解得（负值已舍去）， ∴直线 ∴点，. 设点A的坐标为 ∵， ∴ ∴ 解得（负值已舍去）， ∴点 ∴. 1．小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，一次函数图象，反比例函数图象等知识．熟练掌握函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键． 由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，A中，由，可知当时，随着的增大而减小，进而可判断A的正误；B中为与的和，如图，由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；C中当时，，的图象经过点，进而可判断C的正误；D中当，无意义，进而可判断D的正误． 【详解】解：由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小， A中，由，可知当时，随着的增大而减小，故不符合要求； B中为与的和，如图， 由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，故符合要求； C中当时，，的图象经过点，故不符合要求； D中当，无意义，故不符合要求； 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 3．若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则，，由小到大的顺序是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，利用函数的性质比较函数值的大小，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．根据反比例函数的性质，结合自变量取值范围判断函数值的符号，并利用函数的单调性比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵反比例函数， 当时，， 当时，， ∴，，，故最小， 对于，函数是单调递增的，即 随的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． ①解方程即可判断； ②解方程可知，，由题意可知，或，然后依次将其分别代入 可判断； ③由题意可知，，由可转化车，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 【详解】解： 解得， ①错误； 解，可知，，由题意可知，或 当时，，将其代入 可知 当时，，将其代入 可知 可知②正确； 点在反比例函数的图象上 将其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 故③正确． 所以正确的个数为2个 故选：C． 5．已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质．结论①和②通过代数计算验证；结论③和④通过分析函数在给定范围内的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴，． ①：若，则， ∴， ∴不一定成立，例如，，故①错误． ②：若，则， ∴，故②正确． ③：当时， 则且分母增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故③错误． ④：当时， 则且分母绝对值增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故④正确． 综上，②④正确． 故选C． 6．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 7．如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 8．如图：在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数图象上，若，，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定等知识．作轴于点C，作轴于点D．根据反比例函数几何意义得到，．证明，得到，即可得到，从而求出． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点D． ∵点A在函数的图象上，点B在函数图象上， ∴，． ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1 9．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，一元二次方程的解法，先得到，可得，则在的图象上，且在的内部，再进一步解答即可． 【详解】解：∵线段上取一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的图象上，且在的内部， 令， 解得：，，经检验符合题意； 如图，记反比例函数与一次函数的交点为，， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰，，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数的图象与交于点C，连接，若，面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求解反比例函数关系式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数关系式等知识的综合运用，求解点坐标是解题的关键．分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E，证明，可得，利用等腰直角三角形的性质设，则，结合三角形的面积可求得a值，即可求得的长及A，B两点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式，即可求出点C坐标，再将点C代入反比例函数关系式可求得k值． 【详解】解：分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E， ． ， ． ． ， ． ． ． 在等腰，， ． 轴， ． 设，则， ，， ． 解得，（舍去） ，． ． ，． 设直线的解析式为， 则， 解得． ． 当时，． 解得，即． ． 将代入中， ． 故答案为：． 11．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”．理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）解一元二次方程后，根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）通过转化一元二次方程，求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 12．已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先计算括号里的分式减法运算，再将除法转化为乘法，将分式分子分母因式分解后约分即可得到答案； （2）由题意，将点代入反比例函数得到，整体代入即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式化简，代数式求值，涉及分式混合运算、因式分解、反比例函数图象与性质、整体代入求代数式的值等知识，熟练掌握分式混合运算法则、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 13．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 【答案】（）；（）一、三；（）；实际应用： 【分析】（）根据分母不等于即可求解； （）根据题意即可判断求解； （）仿照深入思考解答即可求解； 实际应用：设，由等高三角形可得，即可得，得到，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了配方法在最值问题中的应用，函数的基本知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：（）函数的自变量的取值范围是， 故答案为：； （）∵当时，，当时，， ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （）当时， ， ∴当时，即时，有最大值是， 故答案为：； 实际应用：设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，有最小值是， ∴四边形面积的最小值为． 14．如图，点B在反比例函数的图象上，与点A、O、C构成矩形，在平面直角坐标系中分别画出一个三角形或四边形，使其面积与原矩形面积相等，所画图形必须以B为顶点，且其余顶点都须落在坐标轴上或反比例函数的图象上．（如有必要，可以写上简要说明，全等视为同一种情况） 【答案】见解析 【分析】本题考查网格作图、反比例函数的几何意义、点的坐标规律，根据反比例函数的几何意义得，再分别根据反比例函数的图象与性质和点的坐标规律进行作图即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 设，则， 如图1，，理由如下： 连接并延长，交双曲线于点，连接， ∵点B、点关于原点O对称， ∴； 如图2，，理由如下： 连接并延长，交双曲线于点，连接， ∵点B、点关于原点O对称， ∴， 如图3，， 连接并延长，交双曲线于点，连接、， ∵点B、点关于原点O对称， ∴． 15．已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 或 (3)直线不过定点，理由见解析 【分析】（1）反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于这里，所以将点、分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形是菱形时，则邻边，设，令，利用两点距离公式建立方程，即可求得P点的坐标； （3）设，，且，利用勾股定理建立方程，得到，直线与抛物线联立方程，解得直线，，不确定（但由决定的)或，即可得出直线不过定点． 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． （2）解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以， （3）设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点． 【点睛】本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中几何与代数的结合以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习09反比例函数期末冲刺必备讲义 1.理解反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式。 2.掌握反比例函数的图像与性质，并能熟练运用其解决问题。 3.理解反比例函数中比例系数 k 的几何意义。 4.能够运用反比例函数的知识解决与几何图形、一次函数相结合的综合问题。 期末必备 知识点梳理 1.反比例函数的概念 2.反比例函数的图象与性质 3.反比例函数中比例系数k的几何意义 4.反比例函数与一次函数的综合应用 5.反比例函数的实际应用 6.总结与复习建议 常考题型 精讲精炼 1.依据反比例函数定义判断函数类型 2.结合反比例函数的定义求参数 3.反比例函数的解析式求解 4.反比例函数图象的判断与绘制 5.根据双曲线所在的象限,求参数范围 6.反比例函数增减性的分析判断 . 7.依据反比例函数的增减性求解对应参数 8.反比例函数中函数值或自变量的大小比较 9已知比例系数计算特殊图形的面积 10.根据图形面积求比例关系 11.反比例函数解析式的求解 12.反比例函数在实际问题中的应用 13.反比例函数与几何图形的综合问题 14.一次函数与反比例函数图象综合判断 15.一次函数与反比例函数的交点问题 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.反比例函数的概念】 1. 定义 一般地，如果两个变量x和y之间的关系可以表示成y = k/x(其中k为常数，且k ≠ 0) 的形式，那么称y是x的反比例函数。 自变量：x 因变量：y 比例系数：k(一个不为零的常数) 2. 等价形式 反比例函数的表达式可以有以下几种等价形式，解题时可以灵活运用： (1)y = k/x(最标准形式) (2)xy = k(乘积形式，非常重要，体现了 “积为定值” 的核心思想) (3)y = k(幂函数形式，其中x的指数为 -1) 3. 自变量的取值范围 由于分母不能为零，所以自变量x的取值范围是x ≠ 0。 4. 函数值的取值范围 当k ≠ 0时，y也不能为零，所以函数值y的取值范围是y ≠ 0。 5. 确定反比例函数的解析式 确定一个反比例函数，只需要确定比例系数k。通常有两种方法： *待定系数法： (1)设函数解析式为y = k/x。 (2)将已知的一组x和y的对应值代入解析式，得到一个关于k的方程。 (3)解这个方程，求出k的值。 (4)将k的值代回所设的解析式中。 *直接利用xy = k： 如果已知函数图象上一点的坐标为(x₀, y₀)，则k = x₀.y₀。 【知识点02.反比例函数的图象与性质】 反比例函数y = k/x(k ≠ 0) 的图象是由两条曲线组成的，叫做双曲线。 1. 图象的形状与位置 k 的符号 k > 0 k < 0 图象位置 两个分支分别在第一、三象限 两个分支分别在第二、四象限 图象形状 以原点为对称中心的中心对称的双曲线 以原点为对称中心的中心对称的双曲线 2. 图象的对称性 *中心对称：图象关于原点 (0, 0)中心对称。 若点(a, b)在双曲线上，则点(-a, -b)也一定在双曲线上。 *轴对称：图象关于直线y = x y = -x对称。 若点(a, b)在双曲线上，则点(b, a)和(-b, -a)也一定在双曲线上。 3. 图象的趋势（与坐标轴的关系） 双曲线的两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。 *x轴和y轴是双曲线的渐近线。 4. 函数的增减性（单调性） 增减性是指函数值y随自变量x的增大而变化的情况。注意：反比例函数的增减性必须在每个象限内讨论。 k 的符号 k > 0 k < 0 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 说明 例如，在第一象限，当x₁ < x₂时，y₁ > y₂。 例如，在第二象限，当x₁ < x₂时，y₁ < y₂。 易错点 不能说 “当 k > 0 时，y随x的增大而减小”。因为如果x从负数变到正数，y的值会从负数跳到正数，是增大的。 不能说 “当 k < 0 时，y随x的增大而增大”。因为如果x从负数变到正数，y的值会从正数跳到负数，是减小的。 【知识点03.反比例函数中比例系数k的几何意义】 这是反比例函数中一个非常重要且常考的知识点。 基本模型 过反比例函数y = k/x(k ≠ 0)图象上任意一点P(x, y)，作PM ⊥ x轴于点M，作PN ⊥ y轴于点N，则： *四边形OMPN是一个矩形。 *这个矩形的面积S = |x|×|y| = |xy|。 *因为xy = k，所以矩形OMPN的面积S = |k|。 【知识点04.反比例函数与一次函数的综合应用】 这是期末考试中的重点和难点，通常会结合图象进行考察。 1. 交点问题 求反比例函数y = 和一次函数y = k₂x + b的交点坐标， 就是解方程组： 有两个交点：方程组有两个不同的实数解。 有一个交点：方程组有两个相同的实数解（即一次函数是反比例函数的切线）。 没有交点：方程组没有实数解。 2. 利用图象比较函数值大小 给定一个x的取值范围，比较k₁/x和k₂x + b的大小，就是看在这个范围内，哪个函数的图象在上方。 3. 几何图形面积问题 结合一次函数和反比例函数的图象，以及坐标轴，可以构成各种几何图形（如三角形、四边形），求其面积。解决这类问题的关键是： 求出所有关键点的坐标。 将不规则图形的面积转化为几个规则图形（如三角形、矩形）面积的和或差。 【知识点05.反比例函数的实际应用】 反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，例如： 1.路程问题：当路程s一定时，速度v与时间t成反比例关系，即v = s/t。 2.压强问题：当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例关系，即p = F/S。 3.工作量问题：当工作总量W一定时，工作效率n与工作时间t成反比例关系，即n = W/t。 4.杠杆原理：当阻力和阻力臂一定时，动力F₁与动力臂L₁成反比例关系，即F₁ = (F₂L₂)/L₁。 解题步骤： 1.审清题意：找出题目中的常量和变量，确定哪两个量是成反比例关系的。 2.设出函数：设反比例函数的解析式为y = k/x(或根据题意设为xy = k)。 3.确定 k 值：利用题目中给出的一组对应值，求出比例系数k。 4.解决问题：将求得的解析式应用于解决题目提出的实际问题，如求值、分析变化趋势等。 5.检验作答：检验结果是否符合实际意义，并写出完整的答案。 总结与复习建议 1.深刻理解概念：牢固掌握反比例函数的定义、表达式和自变量的取值范围。 2.熟练掌握图象与性质：能快速画出草图，并根据 k 的符号判断图象所在的象限和函数的增减性。特别注意增减性的前提条件是 “在每个象限内”。 3.灵活运用 k 的几何意义：这是解决面积问题的利器，要能从复杂的图形中识别出基本模型。 4.加强综合题训练：多做一些反比例函数与一次函数、几何图形相结合的综合题，提高分析问题和解决问题的能力。 5.注重实际应用：理解反比例函数在实际生活中的意义，学会建立数学模型解决实际问题。 【题型1.依据反比例函数定义判断函数类型】 【典例】下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是 填所有正确的序号． 【跟踪专练2】用，表示两个相关联的量，下列关系中，和成反比例关系的是（） A． B． C． D． 【题型2.结合反比例函数定义求参数】 【典例】反比例函数的值是 ． 【跟踪专练1】若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 【题型3.反比例函数的解析式求解】 【典例】下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，……．如此继续下去， ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4.反比例函数图象的判断与绘制】 【典例】如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则 ，此时不等式的解集为 ． 【题型5.根据双曲线所在象限求参数范围】 【典例】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若反比例函数在一、三象限，则k的值为 ． 【跟踪专练2】已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在图象所在的每个象限内随的增大而减小；③若点、点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型6.反比例函数增减性的分析判断】 【典例】请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 【跟踪专练1】对于反比例函数（），下列说法中错误的是（    ） A．当时，图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上（） 【跟踪专练2】若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 【题型7.依据反比例函数的增减性求解对应参数】 【典例】反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【跟踪专练2】已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【题型8.反比例函数中函数值或自变量的大小比较】 【典例】若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 ． 【跟踪专练1】已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．当时， D．图象经过点 【跟踪专练2】已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【题型9.已知比例系数计算特殊图形的面积】 【典例】如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【跟踪专练1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则 ． 【跟踪专练2】如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 【题型10.根据图形面积求比例关系】 【典例】反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 【跟踪专练2】如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【题型11.反比例函数解析式的求解】 【典例】如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 【跟踪专练2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 【题型12.反比例函数在实际问题中的应用】 【典例】某电路的电源电压Ｕ（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压Ｕ恒定不变，则电阻R和电流I这两个量成 关系． 【跟踪专练1】某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【跟踪专练2】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【题型13.反比例函数与几何图形的综合问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪专练1】如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，连接，过点作交反比例函数的图像于点，连接交反比例函数的图像于点，若为中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型14.一次函数与反比例函数图象的综合判断】 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【跟踪专练1】一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E． （1） ； （2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为 【题型15.一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 【跟踪专练2】如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，与y轴交于点B，且与反比例函数的图象只有一个公共点C．若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 1．小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 3．若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则，，由小到大的顺序是 ． 4.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 7．如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 8．如图：在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数图象上，若，，则k的值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．在线段上取一点，此时点恰好落在内部（不包含边界），则的取值范围是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰，，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数的图象与交于点C，连接，若，面积为8，则k的值为 ． 11．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 12．已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 13．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （）初步思考：自变量的取值范围是______； （）探索发现：当时，，当时，．由此我们可猜想，该函数图象在第______象限； （）深入思考：当时，，于是，当时，即时，有最小值是． 请仿照上述过程，猜想：当时，的最大值是 ． 【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值． 14．如图，点B在反比例函数的图象上，与点A、O、C构成矩形，在平面直角坐标系中分别画出一个三角形或四边形，使其面积与原矩形面积相等，所画图形必须以B为顶点，且其余顶点都须落在坐标轴上或反比例函数的图象上．（如有必要，可以写上简要说明，全等视为同一种情况） 15．已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； (3)点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $