期末复习04一元二次方程期末冲刺必备讲义（1）(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系及易错点，以表格形式呈现解法步骤对比，用思维导图串联知识点内在联系，突出直接开平方法、配方法等重点及符号处理等难点。 讲义亮点在于题型分类精讲，11类常考题型均配典例与跟踪专练，如换元法解方程培养运算能力，根的判别式求参数范围强化推理意识。易错点强调解法选择策略，支持分层提升，助力教师实施精准教学。

期末复习04一元二次方程期末冲刺必备讲义（1） 期末必备 知识点梳理 1.一元二次方程核心概念与定义 2.一元二次方程核心解法与步骤 3根的判别式 4.根与系数的关系 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的判定方法 3.由一元二次方程的解确定参数值 4.解一元二次方程:直接开平法 5.解一元二次方程:配方法 6.配方法的应用 7.用根的判别式判断一元二次方程根的情况 8.由一元二次方程根的情况求参范围 9.解一元二次方程:因式分解法 10.解一元二次方程:换元法 11.一元二次方程的根与系数的关系 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) 【知识点01.一元二次方程核心概念与定义】 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：ax² + bx + c = 0 (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0)。 各项名称： ax²是二次项，a是二次项系数。 bx是一次项，b是一次项系数。 c是常数项。 2.一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 一元二次方程可能有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，也可能没有实数根。 【知识点02.一元二次方程核心解法与步骤】 解一元二次方程的基本思路是 “降次”，即将其转化为一元一次方程来求解。 一.直接开平方法 适用形式：方程能化为x² = p或(mx + n)² = p(其中 p ≥ 0) 的形式。 基本思想：如果一个数的平方等于 p，那么这个数就是 p 的平方根。 步骤： 将方程整理成x² = p的形式。 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根，x = ±。 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根，x₁ = x₂ = 0。 当 p < 0 时，方程没有实数根。 二.配方法 适用形式：所有一元二次方程，尤其适用于不能直接因式分解的方程。 基本思想：通过配方，将方程左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用直接开平方法求解。 步骤： 1.化 1：把二次项系数化为 1。 2.移项：把常数项移到方程的右边。 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 4.变形：将方程左边写成完全平方的形式。 5.开方：利用直接开平方法求解。 三.公式法 适用形式：所有一元二次方程。 基本思想：由配方法推导得出求根公式，直接代入计算。 求根公式：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 其根为：x 步骤： 1.将方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0。 2.确定系数 a, b, c 的值。 3.计算判别式Δ = b² - 4ac的值。 4.根据判别式的值判断根的情况，并代入公式求解。 *当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。 *当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。 *当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 四.因式分解法 适用形式：方程右边为 0，左边能分解成两个一次因式的乘积。 基本思想：若两个数的乘积为 0，则至少其中一个数为 0。 步骤： 1.移项：将方程右边化为 0。 2.分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3.转化：令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程。 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 常用方法： 提公因式法 公式法（平方差公式、完全平方公式） 十字相乘法 【知识点03.根的判别式Δ】 定义：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，我们把Δ = b² - 4ac叫做根的判别式。 作用：不解方程，判断方程实数根的情况。 结论： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。 当Δ < 0时，方程没有实数根。 【知识点04.根与系数的关系】 对于一个关于 x 的一元二次方程：ax² + bx + c = 0 (其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0) 如果这个方程有两个实数根，我们通常记为x₁和x₂。 根与系数的关系揭示了这两个根的和、积与方程系数 a、b、c 之间的直接联系。 1.两根之和 (x₁ + x₂)： x₁ + x₂ = - 文字表述：两根之和等于一次项系数 b 的相反数除以二次项系数 a。 2.两根之积 (x₁・x₂)： x₁ · x₂ = 文字表述：两根之积等于常数项 c除以二次项系数 a。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.忽略条件：使用公式法和判别式时，务必先确认方程是一元二次方程，即二次项系数 a ≠ 0。 2.配方错误：配方时，只在方程一边加上一次项系数一半的平方，忘记在另一边也加上。 3.开方遗漏：使用直接开平方法时，不要忘记结果的 “±” 号。 4.因式分解不彻底：因式分解法中，确保方程右边为 0 后再进行分解，且分解要彻底。 5.判别式应用：在使用根与系数的关系时，前提是方程有实数根，即 Δ ≥ 0。 6.符号问题：在根与系数的关系中，x₁+ x₂= -，注意负号。 7.方法选择：根据方程的特点选择最简便的解法。 缺一次项（b=0）：优先考虑直接开平方法。 缺常数项（c=0）：优先考虑因式分解法（提公因式）。 能轻易因式分解：优先考虑因式分解法。 二次项系数为 1，一次项系数为偶数：先考虑配方法。 所有情况通用：公式法。1. 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 【跟踪专练1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 【题型2.一元二次方程的判定方法】 【典例】已知为一元二次方程的根，那么的值是 ． 【答案】17 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， 即， ∴． 故答案为：17． 【跟踪专练1】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 【跟踪专练2】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【题型3.由一元二次方程的解确定参数值】 【典例】已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（ ） A．6 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练1】已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 2010 【分析】本题考查了方程根的定义，代数式求值，熟练掌握方程根的定义以及整体代入的思想是解题的关键．根据方程根的定义，可得，然后把代数式化为，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为： 2010． 【跟踪专练2】设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 【题型4.解一元二次方程:直接开平方法】 【典例】方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和求解一元二次方程，先根据一元二次方程的定义求出参数 m 的值，再代入方程求利用开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 当 时，原方程为： 化简得：， 即：， 解得 ． 故答案为． 【题型5.解一元二次方程:配方法】 【典例】把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 【跟踪专练1】.将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程化为完全平方形式，从而确定和的值，再计算它们的和．取一次项系数一半的平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可配方成， 又∵一元二次方程可配方成的形式， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．将化为一般式，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程是由方程配方后得到的， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【题型6.配方法的应用】 【典例】若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练1】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 【跟踪专练2】已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 【题型7.用根判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】关于的方程根的情况是(        ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．通过计算判别式的值得出，判别式时，方程有两个不相等的实数根即可求解． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 故选：A． 【跟踪专练1】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据规定得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【题型8.由一元二次方程根的情况求参数范围】 【典例】已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．当一元二次方程根的判别式小于零时，方程没有实数根，据此解答即可． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ∴， 即， 解得 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式需大于等于零，且二次项系数不为零；根据直线经过第一、二、三象限的条件，可知．综合这些条件求出整数的值，并计算它们的和． 【详解】解：方程 为一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 且； 直线经过第一、二、三象限， ， 解得：， 且， 又为整数， 为 ，，， 它们的和为 ． 故答案为： 【题型9.解一元二次方程:因式分解法】 【典例】一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过因式分解法求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 故选：C. 【跟踪专练1】三角形两边长为、，第三边是方程的解，则三角形的周长为 ． 【答案】 10厘米/ 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形三边之间的关系，通过因式分解法求解一元二次方程，得到两个可能的根，再根据三角形三边关系排除不符合条件的根，确定第三边长度，最后计算周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得：， 可得：或， 解得：或， 当第三边为时，三边为 、、， ，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为时，三边为 、、， 满足三角形三边关系， 三角形的周长为． 故答案为：． 【跟踪专练2】若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查由一元二次方程根的定义求参数，涉及解一元一次方程、解一元二次方程，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数，再将值代入一元二次方程求解即可得到另一个根． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得， ∴关于的一元二次方程为， 则， 解得或， 则方程的另一个根是， 故选：C． 【题型10.解一元二次方程:换元法】 【典例】若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查运用换元法解一元二次方程，通过设元法，令，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解并根据非负性确定合理值． 【详解】解：设，则原方程化为，即． 解该方程，判别式， 所以， 得,． 由于，故舍去， 因此． 故答案为：2． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值． 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知换元法是解题的关键． 利用换元法对所给方程进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式确定答案即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 解得或， 当时， ， 则， 故此情况不符合题意； 当时， ， 则， 故此情况符合题意． 故答案为：． 【题型11.一元二次方程的根与系数】 【典例】已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵p，q是方程的实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用根与系数的关系得到两根之和，并将代入方程化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 由根与系数的关系，， ∴． 即． 故答案为：1． 【跟踪专练2】若，，则以、为根的一元二次方程是（　　） A． B．, C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过和与平方和求积，再构造方程． 利用已知条件，通过代数变换求出两根之积，进而写出方程． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 则以、为根的一元二次方程为， 即． 故选：B． 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 2．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 3．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 4．新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可． 本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：由新定义得 ， 整理，得， 故． 由方程有实数根， 则判别式， 解得． 故答案为：． 5．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知“凤凰”方程有两个相等的实数根，则下列结论：①②，③，④，⑤当时，方程有两个不相等的实数根．正确的有 （填序号） 【答案】①⑤ 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据“凤凰”方程有两个相等的实数根，可得，再结合得到，从而推出，再判断方程的根的判别式即可解答，熟知根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， 即， ， ，故①正确； ， 或， 当时，与矛盾， 不成立 ，，故②③④错误； ， ， ∴， ， ，即， 故当时，方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的有①⑤， 故答案为：①⑤． 7．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵两实数根，， ∴，， 由 ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式 ， 即 ， 故 不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 8．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 9．实数a，b，c满足，．当时， ；实数a的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查配方法的应用，等式的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键； 把代入，可得：，然后把，代入，求得，把代入，得到，然后即可求解； 【详解】解：把代入， 即， ∴， 把，代入，即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：4；； 10．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 11．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 【答案】 或 【分析】如图 1 中，在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可． 【详解】解：如图1中，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 如图2中，当C，F，G三点共线时，连接， 过点D作于点J，交的延长线于点K，设交于点O，则， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， 或（舍）， ， ， ， ， ， ， 如图3，当C，G，F三点共线时， 同理可得，， 则， 综上所述，的长为或， 故答案为：，或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的思考问题． 12．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 13．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)当 时，；当 时，见解析 【分析】（1）用配方法求解； （2）用公式法求解； （3）用公式法求解； （4）分、两种情况讨论，分别求解，当时，再根据的符号求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边同时加上，得， 即， 开平方，得， 解得：，； （2）， ，，， ， 所以， 即，； （3）， ，，， ， 所以， 即，； （4）， 当 时，原方程可化为， 所以； 当 时， ，，， 令， 解得：，， 若，则或， 此时方程有实数根为 若，则， 此时方程没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程——配方法，根据判别式判断一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 15．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 16．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程转化为完全平方形式后开平方求解，即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值 解：； 无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2 【尝试应用】（1）比较代数式与的大小，并说明理由； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作菱形，菱形，点P、C、E在一条直线上，，M、N分别是对角线、的中点，当点P在线段上移动时，求点M、N之间的最短距离 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了配方法、二次根式有意义的条件、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法和配方法解题即可； （2）判断根号内的式子为非负数即可； （3）连接、，由菱形的性质可推出，，，，以及，设，则，结合勾股定理表示出，再用配方法求出其最值． 【详解】解：（1） ， ∴； （2）， ∴无论取何实数，二次根式都有意义； （3）连接、， ∵四边形，四边形是菱形，， ∴，， ∵，分别是对角线，的中点，和都为等腰三角形， ∴，，，， ， ∴， 设，则， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴时，有最小值，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04一元二次方程期末冲刺必备讲义（1） 期末必备 知识点梳理 1.一元二次方程核心概念与定义 2.一元二次方程核心解法与步骤 3根的判别式 4.根与系数的关系 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的判定方法 3.由一元二次方程的解确定参数值 4.解一元二次方程:直接开平法 5.解一元二次方程:配方法 6.配方法的应用 7.用根的判别式判断一元二次方程根的情况 8.由一元二次方程根的情况求参范围 9.解一元二次方程:因式分解法 10.解一元二次方程:换元法 11.一元二次方程的根与系数的关系 期末备考 压轴通关 压轴题(17题) 【知识点01.一元二次方程核心概念与定义】 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 一般形式：ax² + bx + c = 0 (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0)。 各项名称： ax²是二次项，a是二次项系数。 bx是一次项，b是一次项系数。 c是常数项。 2.一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 一元二次方程可能有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，也可能没有实数根。 【知识点02.一元二次方程核心解法与步骤】 解一元二次方程的基本思路是 “降次”，即将其转化为一元一次方程来求解。 一.直接开平方法 适用形式：方程能化为x² = p或(mx + n)² = p(其中 p ≥ 0) 的形式。 基本思想：如果一个数的平方等于 p，那么这个数就是 p 的平方根。 步骤： 将方程整理成x² = p的形式。 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根，x = ±。 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根，x₁ = x₂ = 0。 当 p < 0 时，方程没有实数根。 二.配方法 适用形式：所有一元二次方程，尤其适用于不能直接因式分解的方程。 基本思想：通过配方，将方程左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用直接开平方法求解。 步骤： 1.化 1：把二次项系数化为 1。 2.移项：把常数项移到方程的右边。 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 4.变形：将方程左边写成完全平方的形式。 5.开方：利用直接开平方法求解。 三.公式法 适用形式：所有一元二次方程。 基本思想：由配方法推导得出求根公式，直接代入计算。 求根公式：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 其根为：x 步骤： 1.将方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0。 2.确定系数 a, b, c 的值。 3.计算判别式Δ = b² - 4ac的值。 4.根据判别式的值判断根的情况，并代入公式求解。 *当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。 *当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。 *当 Δ < 0 时，方程没有实数根。 四.因式分解法 适用形式：方程右边为 0，左边能分解成两个一次因式的乘积。 基本思想：若两个数的乘积为 0，则至少其中一个数为 0。 步骤： 1.移项：将方程右边化为 0。 2.分解：将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3.转化：令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程。 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 常用方法： 提公因式法 公式法（平方差公式、完全平方公式） 十字相乘法 【知识点03.根的判别式Δ】 定义：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，我们把Δ = b² - 4ac叫做根的判别式。 作用：不解方程，判断方程实数根的情况。 结论： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。 当Δ < 0时，方程没有实数根。 【知识点04.根与系数的关系】 对于一个关于 x 的一元二次方程：ax² + bx + c = 0 (其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0) 如果这个方程有两个实数根，我们通常记为x₁和x₂。 根与系数的关系揭示了这两个根的和、积与方程系数 a、b、c 之间的直接联系。 1.两根之和 (x₁ + x₂)： x₁ + x₂ = - 文字表述：两根之和等于一次项系数 b 的相反数除以二次项系数 a。 2.两根之积 (x₁・x₂)： x₁ · x₂ = 文字表述：两根之积等于常数项 c除以二次项系数 a。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.忽略条件：使用公式法和判别式时，务必先确认方程是一元二次方程，即二次项系数 a ≠ 0。 2.配方错误：配方时，只在方程一边加上一次项系数一半的平方，忘记在另一边也加上。 3.开方遗漏：使用直接开平方法时，不要忘记结果的 “±” 号。 4.因式分解不彻底：因式分解法中，确保方程右边为 0 后再进行分解，且分解要彻底。 5.判别式应用：在使用根与系数的关系时，前提是方程有实数根，即 Δ ≥ 0。 6.符号问题：在根与系数的关系中，x₁+ x₂= -，注意负号。 7.方法选择：根据方程的特点选择最简便的解法。 缺一次项（b=0）：优先考虑直接开平方法。 缺常数项（c=0）：优先考虑因式分解法（提公因式）。 能轻易因式分解：优先考虑因式分解法。 二次项系数为 1，一次项系数为偶数：先考虑配方法。 所有情况通用：公式法。1. 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【跟踪专练1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么 ． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型2.一元二次方程的判定方法】 【典例】已知为一元二次方程的根，那么的值是 ． 【跟踪专练1】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【题型3.由一元二次方程的解确定参数值】 【典例】已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（ ） A．6 B． C．16 D． 【跟踪专练1】已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【跟踪专练2】设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【题型4.解一元二次方程:直接开平方法】 【典例】方程的根是 ． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程的解为 ． 【题型5.解一元二次方程:配方法】 【典例】把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【跟踪专练2】若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【题型6.配方法的应用】 【典例】若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为 ． 【跟踪专练1】用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 【题型7.用根判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】关于的方程根的情况是(        ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有无数个实数根 【跟踪专练1】定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【题型8.由一元二次方程根的情况求参数范围】 【典例】已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【跟踪专练1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 【题型9.解一元二次方程:因式分解法】 【典例】一元二次方程的根为（   ） A．0 B．9 C．0或 D．0或9 【跟踪专练1】三角形两边长为、，第三边是方程的解，则三角形的周长为 ． 【跟踪专练2】若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A．5 B．3 C．1 D． 【题型10.解一元二次方程:换元法】 【典例】若，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 【跟踪专练2】方程，则 ． 【题型11.一元二次方程的根与系数】 【典例】已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B．6 C． D．4 【跟踪专练1】若a，b是一元二次方程的两根，则 ． 【跟踪专练2】若，，则以、为根的一元二次方程是（　　） A． B．, C． D． 1．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 2．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 3．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 5．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知“凤凰”方程有两个相等的实数根，则下列结论：①②，③，④，⑤当时，方程有两个不相等的实数根．正确的有 （填序号） 7．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 8．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 9．实数a，b，c满足，．当时， ；实数a的取值范围是 ． 10．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是 ． 11．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 12．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 13．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 14．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 15．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 16．用配方法解方程：． 17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值 解：； 无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2 【尝试应用】（1）比较代数式与的大小，并说明理由； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作菱形，菱形，点P、C、E在一条直线上，，M、N分别是对角线、的中点，当点P在线段上移动时，求点M、N之间的最短距离 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $