期末复习02矩形的性质与判定期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学矩形性质与判定期末复习讲义，通过知识框架图和对比表格系统梳理知识体系，涵盖矩形定义、性质、判定及解题方法，性质从边、角、对角线、对称性分层呈现，判定明确定义法与定理应用，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，10类常考题型覆盖性质应用（如折叠综合问题）、判定证明等，典例结合跟踪专练，培养几何直观与推理意识，15道压轴题助力分层提升，解题方法总结指导思维路径，既支持学生自主复习，也为教师精准教学提供实用资源。

期末复习02矩形的性质与判定期末冲刺必备讲义 期未复习内容概率 期末必备 1.矩形的定义 2.矩形的性质 知识点梳理 3.矩形的判定 4.解题方法总结 1.矩形的核心性质梳理 2.矩形性质的角度计算应用 常考题型 3.矩形性质在线段长度求解中 4.利用矩形性质计算图形面积 精讲精炼 的应用 5.矩形性质的证明类题型解析 6.矩形与折叠结合的综合问题 7.直角三角形斜边中线性质 8.矩形判定定理的深度理解 9.四边形为矩形的证明方法 10.矩形的性质与判定的线段长度综合 求解. 期末备考 压轴题(15题 压轴通关 2 期末必备知识点梳理 【知识点01.矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 关键词：“一个角是直角”+“平行四边形”。 几何语言：，'四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90 ∴.四边形ABCD是矩形。 【知识点O2.矩形的性质】 矩形具有平行四边形的所有性质，并且还有它自身独特的性质。 性质类 几何语言（以矩形ABCD为 具体内容 别 例) AB /CD,AD /BC;AB CD, 边 对边平行且相等 AD=BC 试卷第1页，共3页 性质类 几何语言（以矩形ABCD为 具体内容 别 例) 角 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线对角线相等且互相平分 AC =BD;0A =OC,OB OD 既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 2 对称性 对称中心是对角线 条对称轴 重要推论： 【知识点O3.矩形的判定】 1.判定一个四边形是矩形，通常有以下几种方法： 判定方 具体内容 几何语言（以四边形ABCD为例） 法 有一个角是直角的平行四 ,四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90 定义法 边形是矩形。 四边形ABCD是矩形。 判定定对角线相等的平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD 理1 是矩形。 四边形ABCD是矩形。 判定定 有三个角是直角的四边形 ∠A=∠B=∠C=90°.四边形ABCD是 理2 是矩形。 判定思路总结： 【知识点04.解题方法总结】 1.遇到矩形，优先考虑其性质： 四个角都是直角、对角线相等且互相平分。 2.遇到直角三角形，联想矩形性质： 斜边上的中线等于斜边的一半。 2.判定矩形的方法选择： *若已知是平行四边形，优先考虑证明一个角是直角或对角线相等。 *若已知是一般四边形，优先考虑证明三个角是直角。 4.注意数形结合：利用矩形的对称性和直角，结合勾股定理、全等三角形、相似 三角形等知识解决问题。 3 常考题型精讲精练 试卷第1页，共3页 【题型1.矩形的核心性质梳理】 【典例】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 () A.AB=BC B.∠BAC=∠ACB C.AC⊥BD D.AC=BD 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，DF⊥AE,请添加一个条 件」 使△ABE≌△DFA.(只填写一个即可) A D B 【跟踪专练2】在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线 AC与BD需要满足的条件是() A.垂直 B.相等 C.垂直且相等 D.互相平分 【题型2.矩形性质的角度计算应用】 【典例】如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,过点A作BD的垂线，垂足为E.已 知LEAD=3LBAE,则∠CAE的度数为 D B 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,∠1=25°，则∠EAC的度数为() A.15° B.20° C.25° D.30° 【跟踪专练2】如图，将矩形ABCD绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形A'BC'D', 试卷第1页，共3页 若LA'BC=132°，则LABC'的度数是 D 【题型3.矩形性质在线段长度求解中的运用】 【典例】已知，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AE,则AE的 长为() A.5 B.2V10 C.32 D.13 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,AD=2,点P,Q分别是AB,AC的 中点，连接PQ,DO,则四边形ADQP的周长是_ B 【跟踪专练2】如图，己知矩形ABCD面积为50cm,HB=2cm,BG=4cm,AE=2cm, FC=5cm,则阴影部分的面积() H B A.23cm B.22cm2 C.21cm2 D.20cm2 【题型4，利用矩形性质计算图形面积】 【典例】用长度是40cm的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为 cm2. 【跟踪专练1】如图，矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD边上，AE∥CF,点 G在DC边上，连结GA,GE,GF.若知道矩形ABCD的面积，则一定能求出() 试卷第1页，共3页 B A.△GAE与△GDF的面积之和 B.△GCE与△GDF的面积之和 C.四边形AECF与△GDF的面积之和D.△GAE的面积 【跟踪专练2】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AD于点 E,连接BE,若OE=2,BE=5,则矩形ABCD的面积为」 E D 【题型5.矩形性质的证明类题型解析】 【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以下说法不一定正确的是(). D B A.∠ABC=90°B.AC=BD C.∠OAB=∠OBAD.OA=AD 【跟踪专练1】如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F,且满足 DF=AB,对于下面四个结论：①△ABE≌ADFA;②△DEF的面积与△BEF的面积相等： ③∠DEF=∠DEC;④AE=BC,所有正确的结论是（只写序号）. D B 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,如果∠A0D=120°， AB=2,那么BD的长为() 试卷第1页，共3页 D A.2 B.4 C.5 D.25 【题型6.矩形与折叠结合的综合问题】 【典例】如图，长方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，连接DF,EF,将∠C沿 DF折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处.若 ∠BFE=20°，则∠CFD的度数是 B 【跟踪专练1】如图，长方形纸片ABCD中，BC=2,DC=1,将它沿对角线AC折叠，使点 D落在点E处，则BF为() 3 A. 4 B.2 C.1 D.3 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O(0,0),点 A4,0,点B(4,3),点C(0,3),点P是AB上的点，将aP0A沿OP所在的直线折叠，若点 A的对应点A刚好落在OB上，则点P的坐标为 y 【题型7.直角三角形斜边中线性质】 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.若CD=6,则AB 的长为() 试卷第1页，共3页 A D B A.3 B.2 C.12 D.6 【跟踪专练I】如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、 E,∠ACD=2∠CBE,则∠A的度数为· B E 【跟踪专练2】如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，过点C作 CE⊥BD于点E.若∠A=a,则∠DCE的度数是() A D E ◇ B C B.90°-2a C.90°-a D.45°-a 【题型8.矩形判定定理的深度理解】 【典例用一把刻度尺来判断一个平行四边形零件是矩形的方法是测量两条对角线是否相等， 这样做的依据是 【跟踪专练1】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直， 只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了.这种检测方法用到的数学依据是() 试卷第1页，共3页 A.两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,点P从点A出发，向点 D以1cm/s的速度匀速运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B、C两点之间往返匀速 运动，两点同时出发，点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）·设运动时间为s ，这段时间内，当的值为时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是矩形. A>P D Q 【题型9.四边形为矩形的证明方法】 【典例】如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度， 下列四边形不一定为矩形的是() D B D 140°40 D Bl∠40°40C 【跟踪专练1】如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC,EG⊥CD,垂足 分别是F,G,若CG=4,CF=3,则AE的长为一 D G B 【跟踪专练2】如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点，若 四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是() 试卷第1页，共3页 H G A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC 【题型10.矩形性质与判定的线段长度综合求解】 【典例】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MW垂直，垂足为点C,且OC=4Ocm, 则A端离地面的最大高度为」 cm. B M 【跟踪专练1】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5,AC=12,P为边BC上一动点， PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为() A C A.2 5 C.30 3 D. 【跟踪专练2】在ABC中，点D、F分别为边AC、AB的中点，FG⊥BC于点G, ED⊥AC交FG于点E,DE=DC,若BG=3,GC=7,则EF= D F B G 期未备考压轴通关 1.如图，在。ABCD中，点E,F分别是AB,DC的中点.只需添加一个条件即可证明四 边形AECF是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可) 试卷第1页，共3页 D 2.善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个 小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线1将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 则符合条件的直线1有() A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 3.如图，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形ABCD的位置，此时AC'的中点恰好与D点 重合，AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为() B A.3 B.1.5 C.25 D.5 4.如图，矩形ABCD中，AB=4√，BC=4,AC与BD相交于O,P为CD边上任意一点， 将线段OP绕点O顺时针旋转90°后得到线段0Q,则线段BQ的最小值为() A.45-4 B.25 C.2W2-2 D.2V5-2 5.如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB,点P从矩形ABCD的边BC上一点出发，沿直线 试卷第1页，共3页 期末复习02矩形的性质与判定期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 3.矩形的判定 4.解题方法总结 常考题型 精讲精炼 1.矩形的核心性质梳理 2.矩形性质的角度计算应用 3.矩形性质在线段长度求解中的应用 4.利用矩形性质计算图形面积 5.矩形性质的证明类题型解析 6.矩形与折叠结合的综合问题 7.直角三角形斜边中线性质 8.矩形判定定理的深度理解 9.四边形为矩形的证明方法 10.矩形的性质与判定的线段长度综合求解. 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 关键词：“一个角是直角” + “平行四边形”。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 ∠A = 90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 【知识点02.矩形的性质】 矩形具有平行四边形的所有性质，并且还有它自身独特的性质。 性质类别 具体内容 几何语言 (以矩形 ABCD 为例) 边 对边平行且相等 AB // CD，AD // BC；AB = CD，AD = BC 角 四个角都是直角 ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° 对角线 对角线相等且互相平分 AC = BD；OA = OC，OB = OD 对称性 既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 2 条对称轴 对称中心是对角线 重要推论： 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 【知识点03.矩形的判定】 1.判定一个四边形是矩形，通常有以下几种方法： 判定方法 具体内容 几何语言 (以四边形 ABCD 为例) 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 ∠A = 90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC = BD ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 判定定理 2 有三个角是直角的四边形是矩形。 ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90° ∴ 四边形 ABCD 是 判定思路总结： 1.若已知条件是 “平行四边形”，则需证明一个角是直角或对角线相等。 2.若已知条件是 “四边形”，则需证明三个角是直角，或先证明它是平行四边形再用上述方法。 【知识点04.解题方法总结】 1.遇到矩形，优先考虑其性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分。 2.遇到直角三角形，联想矩形性质：斜边上的中线等于斜边的一半。 2.判定矩形的方法选择： *若已知是平行四边形，优先考虑证明一个角是直角或对角线相等。 *若已知是一般四边形，优先考虑证明三个角是直角。 4.注意数形结合：利用矩形的对称性和直角，结合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识解决问题。 【题型1.矩形的核心性质梳理】 【典例】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练2】在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与需要满足的条件是（     ） A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【题型2.矩形性质的角度计算应用】 【典例】如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，由矩形的性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． .【跟踪专练2】如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3.矩形性质在线段长度求解中的运用】 【典例】已知，在矩形中，，，点E是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，已知，点P，Q分别是，的中点，连接，DQ，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理，根据矩形的性质得，结合题意得为的中位线，则、和 ，即可求得周长． 【详解】解：∵矩形中，， ， ∵点P，Q分别是，的中点， ∴为的中位线，，，， 四边形的周长， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 【题型4,利用矩形性质计算图形面积】 【典例】用长度是的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为 ． 【答案】 【分析】此考查了矩形的性质，根据矩形的性质进行求解即可． 【详解】解：因为矩形周长为，所以邻边和为，若使面积最大，则只需两边长相等，即都为， 所以最大面积为． 故答案为，． 【跟踪专练1】如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．设 ，，则，证明四边形是平行四边形，可得 ，再根据三角形的面积公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴可设 ，，则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴  ， ∴ 与 的面积之和为 ； 与 的面积之和为 ； 四边形 与 的面积之和为 ； 的面积为 ； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作于点，连接，若，则矩形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 根据矩形性质可得，由，可得，所以是的中位线，得到，再根据勾股定理可得的长，即可得到，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：24． 【题型5.矩形性质的证明类题型解析】 【典例】如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 【跟踪专练1】如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是 （只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，如果，，那么的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，再证明，则可证明是等边三角形，得到，则，再由矩形的对角线相等即可解答． 【详解】解：∵矩形的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在矩形中，． 故选：B． 【题型6.矩形与折叠结合的综合问题】 【典例】如图，长方形中，点分别在边上，连接，将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，能综合运用折叠性质进行推理和计算是解此题的关键． 由题意得，，因为平角，故，因为，则，即可作答． 【详解】解：由折叠得到：，， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形翻折的性质以及勾股定理，熟练掌握其性质是做题的关键．利用翻折的性质，结合勾股定理进行解答即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 在中，， 因为点恰好落在上，所以， 所以， 设，则， 在中，， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【题型7.直角三角形斜边中线性质】 【典例】如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 【题型8.矩形判定定理的深度理解】 【典例】用一把刻度尺来判断一个平行四边形零件是矩形的方法是测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的定义和判定，掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解答题的关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：先测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 【题型9.四边形为矩形的证明方法】 【典例】如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A． B． .C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题； 【详解】解：如图，延长交于点， 在正方形中， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 同理得：四边形是矩形， 四边形是矩形； ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， 在中， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用本题重点考查​中点四边形的性质和中位线定理​，​熟练运用中位线定理推导边之间的平行关系，并利用垂直条件判断矩形是解题的关键​． 由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形， ∵点分别是的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， 故选：A． 【题型10.矩形性质与判定的线段长度综合求解】 【典例】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】当跷跷板的一端着地时，A端离地面的高度最大， 如图，过点A作，过点O作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段最短等知识点，根据题意求出的最小值是解答本题的关键．连接，先证明四边形是矩形，由勾股定理求出长，则的最小值即为的最小值，当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当时，的值最小， ∴此时， ∴的最小值为， 故选：D． 【跟踪专练2】在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，过点D作于H，得到，证明，推出四边形为矩形，进而得到，，再证明，得到． 【详解】解：连接，过点D作于H， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 1．如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 2．善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键．根据矩形的性质画出符合要求的直线l即可解决问题． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形， 、分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过点、时，必定平分该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D ． 3．如图，将长方形绕点旋转至长方形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，先证明是等边三角形，则，再由勾股定理，可得 ，， 由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出的长，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，， ，， 将矩形绕点旋转得到矩形， ，，，， 的中点恰好与点重合， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 4．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 5．如图1，在矩形中，，点P从矩形的边上一点出发，沿直线运动到矩形内一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的面积为（    ） A． B．27 C．36 D．54 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，动点的函数图象，根据函数图象可知，当时，，即点在的中垂线上运动，当时，点运动到点的位置，作的中垂线，设当时，点运动到点的位置，连接，易得，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据，求出的长，再利用面积公式求面积即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故，即点在的中垂线上运动， 当时，点运动到点的位置， 作的中垂线，设当时，点运动到点的位置，连接，则：， ∴， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； 故选D． 6．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，在上截取，连接，易得四边形为平行四边形，进而得到，根据为定值，得到当最小时，四边形的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，得到，即当三点共线时，最小，四边形的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴，的长为定值， 在上截取，连接，则：，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形的周长，且的长为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵ ∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，； ∴； 故答案为：． 8．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理可得，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， ∵折叠矩形的一边，使点落在边上的点处， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得：或0（不符合题意舍去）． ∴． 故答案为：． 9．如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 11．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点． (1)求的大小； (2)如图，点在第二象限，，，直线，分别与线段相交于点，点．当点P运动时，四边形的面积为定值2．试判断以线段，，为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)以线段，，为边的三角形为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用一次函数的性质求出，再利用等边对等角即可求解； （2）易证四边形是矩形，根据四边形的面积为定值2，得到，利用一次函数的性质求出E、F的坐标，根据勾股定理求出线段、、，然后根据勾股定理逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线， ∴当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：以线段，，为边的三角形为直角三角形，理由如下： 由题意得，轴，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为定值2， ∴， ∴， 代入到，得， 代入到，得，解得， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴以线段，，为边的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边对等角，矩形的性质与判定，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等； （2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定，中位线的性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 13．如图1， 在 中，， 将绕点O顺时针旋转某个角度(旋转角小于90°)， 得到，，与交于点P． (1)求证：； (2)如图2，若点C恰好在上，连接．试探究四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点H为的中点， 连接．若点C恰好在上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)7 【分析】（1）连接，通过题目中的条件证和全等，即可得到线段相等． （2）连接，通过角度转化，先证，结合，证四边形是平行四边形，找到之间等量的关系，结合，证四边形是平行四边形，最后再根据证矩形． （3）延长和交于点F，先证四边形是平行四边形，得到的长度，再证求出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知， ， 又， ， 在和中， ， ． （2）如图，连接， 由（1）可知， ， 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （3）如图，延长和交于点F，和交于点E， 由题意可知， ， H是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的中线等知识点，掌握相应的知识并熟练添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图 1，在四边形中，，． 动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当的面积大于3时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随的增大而增大 (3) 【分析】（1）根据题意，当点在上运动时，解析式为，当点在上运动时，过点作于根据长方形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据函数图象得到函数的性质； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，当点在上运动时，解析式为， 当点在上运动时，过点作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 在中，， ∴， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积， ， ； （2）解：如图所示； 当时，随的增大而增大； （3）解：当的面积大于3时，由图象得：； 【点睛】本题考查动点函数问题，三角形的面积，一次函数的图象和性质，利用函数图象解.不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 15．如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形面积计算； （1）由翻折的性质得，，，从而得到四边形为正方形，最后在中勾股定理即可求解； （2）分两种情况：①当，设，利用在中建立方程求解；②当，设，过D点作，证明得到建立方程求解； （3）连接，若的延长线正好经过点D，设，则，，在中建立方程可求出，从求出的面积，再利用与的比例关系即可求出的面积. 【详解】（1）解：∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，. （2）解：若是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①当，如图所示，设， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ②当，如图所示，设，过D点作， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴. 综上：或. （3）解：连接，若的延长线正好经过点D，如图所示， 由翻折可知： ，，， ∵的延长线正好经过点D， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∵, ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $