精品解析：河北省邯郸市磁县第一中学等校2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

2025-2026学年第一学期高一年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从图中可知，阴影部分为集合中的元素去掉中的元素. 【详解】，，，选项C正确. 故选：C. 2. 下面与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数m的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合幂函数的定义与性质，得到，即可求解. 【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增， 可得，解得. 故选：B. 4. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 7. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为角的终边上有一点，则， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】探讨给定函数的性质，将函数零点问题转化为直线与函数图象的交点问题，作出图形数形结合求出范围. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 由，得或；由，得或或， 函数恰有3个零点， 即直线与的图象有3个交点，且交点的横坐标为， 在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象得，， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据余弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】A错，，则，则在上不单调． B错，当时，． C对，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数． D对，的值域为，所以的值域为． 故选：CD. 10. 已知x，y均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最大值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC：根据题意利用基本不等式求最值，即可判断结果；对于D：整理可得，结合选项A分析判断. 【详解】因为x，y均为正数，且， 对于选项AB：因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确，B错误； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 函数在区间上单调递增 C. 若，且且，则 D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接代入验证即可；对于B：先运用分离常数法，再利用分式函数的单调性逐步进行判断；对于C：利用选项A中的结论以及是偶函数进行求解即可；对于D：运用特殊值法求解即可. 【详解】对于A：，，故A正确； 对于B：，当时，当增大，也增大，则分母减小且，故分数增大，故在上单调递增，故B正确； 对于C：由，可知是偶函数. 由选项A可知，，故，即， 又因为是偶函数，故，故C正确； 对于D：设，取，，，此时，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【答案】必要非充分 【解析】 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，所以是的必要非充分. 故答案为：必要非充分. 13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 14. 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为______()． 【答案】31 【解析】 【分析】根据给定信息列出不等式，利用对数函数单调性求解即得. 【详解】设检测前需要扩增的次数为，则扩增后DNA片段量为， 由，得，则，即， 而，因此， 所以检测前需要扩增的次数至少为31. 故答案为：31 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知命题p：，，命题q：，使得 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，即可求解； （2）根据题意，结合基本不等式，求得的最小值为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由命题为真命题， 即不等式在上恒成立，即在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为命题，使得为真命题，所以， 由（1）知，命题为真命题时，得， 当命题为真命题，为假命题时，可得； 当命题为真命题，为假命题时，可得， 所以实数的取值范围为. 16. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）化简不等式为，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 解：由不等式，可得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的最值及取得最值时的x的值． 【答案】（1）； （2）时，；或时，. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质，使用整体代入法求解可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由，解得， 所以的单调减区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以，所以 当，即时，取得最小值，即； 当或，即或时，取得最大值， 即. 18. 已知． （1）当时，求函数的定义域及不等式的解集； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，再求出定义域；求出的表达式，解对数不等式即可； （2）求出，由函数只有一个零点，得到只有一解，由得到，代入，得到，从而得到关于的方程只有一个正根，讨论和两种情况求解即可. 【小问1详解】 ，，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. 【小问2详解】 ， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 19. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求和的解析式. （2）求证. （3）求函数，的最小值. 【答案】（1）， （2）证明: ， 再计算：由，可得， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性求解即可； （2）代入运算即可证明； （3），令，则，令，对进行分类讨论求解． 【小问1详解】 定义在上的奇函数和偶函数， 则，， ∵①， ∴，即②， 联立①②解得：，． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， 令，可知时单调递增，则，， 令， 当，即时，在时单调递增，则； 当，即时， 在时单调递减，在时单调递增， 则； 当，即时，在时单调递减， 则； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一年级第二次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 下面与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数m的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 11 8. 已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的表述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，函数取得最大值2 C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 10. 已知x，y均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最大值为2 11. 已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 函数在区间上单调递增 C. 若，且且，则 D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 14. 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为______()． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知命题p：，，命题q：，使得 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 16. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的最值及取得最值时的x的值． 18. 已知． （1）当时，求函数的定义域及不等式的解集； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 19. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求和的解析式. （2）求证. （3）求函数，的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $