1.1三角形内角和定理 第2课时 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及推论，以“三角形花坛外围转角”生活情境导入，衔接三角形内角和定理，通过观察辨析、问题链搭建学习支架，引导学生从具体到抽象理解外角概念与特征。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过外角特征观察、性质严谨证明发展推理意识，例题练习含一题多解（外角性质证明）、生活应用（工件检测），小结系统梳理知识。助力学生提升探究与应用能力，为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

1.1 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 第一章 三角形的证明 北师大版 八年级下册 问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 1 2 3 情境导入 知识讲解 知识点1 外角的概念 观察：∠1 的两条边与△ABC的两条边有什么关系？ C B A D 1 观察：∠1 的顶点与△ABC的顶点有什么关系？ ①顶点是三角形的顶点； ②一条边是三角形内角的一边； ③另一条边是该内角另一条边的 反向延长线. C B A D 1 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角. ∠1 是△ABC的一个外角 问题1 延长AC 到E ，∠2是△ABC的一个外角吗？ ∠3是△ABC的一个外角吗？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. 它们互为对顶角，∠1 =∠2； C B A D ∠2是△ABC的一个外角， ∠3不是△ABC的一个外角. 问题2 三角形每个顶点处有几个外角？它们有怎样的关系？ 1 2 3 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 A C B D ∠1=∠A+∠B 你能证明此结论吗？ 观察：∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？ ∠1与∠2互补 1 2   ∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B ∠1+∠2=180°(平角的定义). 知识点2 三角形外角的性质 已知：△ABC. 求证：∠ACD=∠A+∠B， ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理） ∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质）， ∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义） ∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质） ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 定理：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. A B C 符号语言： 三角形内角和定理有关外角的两个推论： ∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1=∠B+∠C 符号语言： ∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C 1 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角 ∠EAC。 求证：AD//BC。 证明：∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C， ∴∠C=∠EAC. ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC=∠EAC. ∴∠DAC=∠C. ∴ AD//BC. 还有其他证法吗？ 例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C. 求证:∠BPC＞∠A. 证明:如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角 大于和它不相邻的任何一个内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义), ∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质） A B C P D 还有其他证法吗？ 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 1. 如图，△ACD的外角是（　C　） A. ∠EAD B. ∠BAC C. ∠ACB D. ∠CAE C 随堂练习 2. 如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角 形为（　A　） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 A 3. 如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠ACD＝ （　B　） A. 110° B. 100° C. 55° D. 45° B 4. 如图，直线AB∥CD，∠B＝70°，∠D＝30°，则∠E ＝ ⁠. 40°　 5. 【一题多解】用两种方法证明“三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和”. 如图，∠DAB是△ABC的一个外角. 求证：∠DAB＝∠B＋∠C. 证法1：∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180° （　 ⁠ 　）， ∠BAC＋∠DAB＝180°（　 　）， ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠DAB（　 ⁠　）， ∴∠DAB＝∠B＋∠C（　 　）. 三角形内角和定 理　 平角的定义　 等量代 换　 等式的基本性质1　 解：证法2：如图，过点A作AE∥BC. ∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠C，∠B＝∠EAB， ∴∠DAB＝∠BAE＋∠DAE＝∠B＋∠C. 请把证法1的依据补充完整，并用不同的方法进行证明. 6. 某种工件的示意图如图所示，它要求∠BDC＝140°.乐乐 通过测量，得到∠A＝90°，∠B＝22°，∠C＝26°，因此 乐乐断定此工件不合格.这是为什么呢？请说明理由. 解：如图，连接AD并延长. 因为∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B， 所以∠BDC＝∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B ＝（∠3＋∠4）＋∠B＋∠C ＝90°＋22°＋26°＝138°. 因为138°≠140°，所以此工件不合格. 7. 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　B　） A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1 B 8. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，点E在CA的延 长线上，点F在AB上，则∠1 ∠2.（填“＞”“＜”或 “＝”） ＜　 9. （2025·南昌模拟）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆 放，∠α的度数为（　C　） A. 65° B. 67.5° C. 75° D. 80° C 10. 【新情境·生活情境】一个可调躺椅的示意图如图所示， AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠D的度数保持不 变.为了舒适，需调整∠E，使∠EFD＝130°，则图中∠E应 （　A　） A A. 增加10° B. 减少10° C. 增加20° D. 减少20° 11. 如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分 ∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE. （1）求∠BDC的度数； 解：（1）因为∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， 所以∠A＝ ×180°＝45°， ∠ABC＝ ×180°＝60°， ∠ACB＝ ×180°＝75°. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝ ∠ABC＝30°， 所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＝45°＋30°＝75°. （2）求证：∠BEC＞∠A. 解：（2）证明：因为∠BDC为△ABD的外角， 所以∠BDC＞∠A. 同理可得，∠BEC＞∠BDC， 所以∠BEC＞∠A. 11. 如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分 ∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE. 12. 如图，A，B分别是∠MON的两边OM，ON上的动点（均 不与点O重合）. （1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA， ∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ ⁠°. 61　 12. 如图，A，B分别是∠MON的两边OM，ON上的动点（均 不与点O重合）. （2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线 交于点D，则∠ADB＝ °.（用含n的式子表 示） （90＋ n）　 （3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时， BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交 于点F. 随着点A，B的运动，∠F的度数会改变吗？如果不 会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）； 如果会，请说明理由. 12. 如图，A，B分别是∠MON的两边OM，ON上的动点（均 不与点O重合）. 解：（3）∠F的度数不会改变. ∵BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA＝ ∠NBA，∠BAF＝ ∠BAO， ∴∠F＝∠EBA－∠BAF＝ （∠NBA－∠BAO） ＝ ∠MON＝ α. $