江西省南昌市2025-2026学年上学期九年级数学统考试题

2025-2026学年上学期九年级阶段性学习质量检测·数学 说明：1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡上相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在丰富多彩的平面图形中，对称性体现了数学的美感．下列曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个以为中心的圆形花圃中，花圃的半径为6米．小明选定了一个点，经过测量，点到圆心的距离是4米，则点与这个圆形花圃的位置关系是（ ） A. 点在花圃内 B. 点在花圃边界上 C. 点在花圃外 D. 无法确定 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 在平面直角坐标系中，有一个电子游戏场景，机器人在点处，游戏设定机器人绕原点逆时针旋转后到达新位置点．已知在该游戏编程中，坐标系的坐标与机器人的移动位置对应，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________． 8. 如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，点为线段的中点，点为拱门的最高点，且线段经过拱门所在圆的圆心．若线段的长度为，线段的长度为，则拱门所在圆的半径长度为____________． 9. 在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 10. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若，是方程的两根，则的值为____________． 11. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____________． 12. 如图，已知的半径是1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 15. 如图（1）（2），在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，以为直径作半圆，圆心为．请仅用无刻度的直尺，完成以下作图： （1）在如图（1）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分； （2）在如图（2）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分． 16. 阳春三月，南昌市的桃花又开了，小赣乘坐地铁到人民公园看桃花，计划在人民公园地铁站下车，如图是人民公园地铁站的平面图，其中有、、、四个出入口，小赣任选一个出口出站，赏花结束后，任选一个入口入站乘车． （1）小赣从出站到入站共有多少种可能的结果？请用树状图或列表说明； （2）求出小赣从福州路同一侧出入站的概率． 17. 如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个根． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若以，为对角线的菱形边长是，试求的值？ 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查抽取的总人数是多少？ （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______________°； （3）补全条形统计图； （4）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢魔方游戏的学生人数； （5）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中a为常数，且3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，点位于半圆上，平分，，垂足为，与相交于，连接． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若cm，cm，求线段的长； （3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于和抛物线，我们称是抛物线的关联点，抛物线是点的关联抛物线．已知点，，． （1）点的关联抛物线的解析式为____________； （2）求过，两点的抛物线的关联点坐标； （3）设点在直线上运动，点的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某物理实验室设计了一个抛物线形凹面反射镜，其截面如图1所示．一束实验激光沿直线射出，与轴交于点．反射镜面的曲线为二次函数的图象，它经过坐标原点（镜面中心）和点（激光入射点），镜面最低点为，以点为圆心、的长为半径，在镜面上方划定一个圆形安全区域． （1）试用含的代数式表示； （2）为进行对称校准，将关于x轴对称得到，若恰好与直线（连接点和镜面最低点的校准线）相切，切点为点，求（安全区域）的半径及二次函数（反射镜面）的解析式； （3）当镜面曲率参数时，如图2，检测点是边界上的一个动点（不与、重合），已知激光束的直线轨迹与镜面曲线交于另一点（不与、重合），请问：是否存在点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年上学期九年级阶段性学习质量检测·数学 说明：1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡上相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】2024 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】或或 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 【13题答案】 【答案】（1）， （2）， 【14题答案】 【答案】（1）6 （2） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 解：画树状图如下： 小赣从出站到入站共有16种可能的结果． （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：平分，平分， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）5 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）200人 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）600 （5） 【20题答案】 【答案】（1）y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1） 直线与相切，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与相切； （2）线段的长为 （3）图中阴影部分的面积为 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3） 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $