4.4利用三角形全等测距离 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

利用三角形全等测距离 一、单选题 1．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 3．要测量河两岸相的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使与在一条直线上（如图所示），可以测得的长就是的长（即测得河宽），可由得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 4．为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离． 小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离． 小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（    ） A．小明和小红 B．小明和小丽 C．小红和小丽 D．三个人的方案都可以 5．如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 10．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在和中，已知，请你添加一个条件 ，使． 12．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长,这样做的依据是 .    13．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 14．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 15．如图，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，E为线段的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 16．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 三、解答题 17．如图，已知中，于点D，，连接DE，AB平分，交DE于点F． (1)请写出图中三对全等的三角形； (2)选取其中一对加以证明． 18．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 19．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 20．如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用三角形全等测距离 一、单选题 1．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 3．要测量河两岸相的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使与在一条直线上（如图所示），可以测得的长就是的长（即测得河宽），可由得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 4．为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离． 小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离． 小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（    ） A．小明和小红 B．小明和小丽 C．小红和小丽 D．三个人的方案都可以 5．如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　） A． B． C．若，则 D． 10．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在和中，已知，请你添加一个条件 ，使． 12．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长,这样做的依据是 .    13．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 14．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 15．如图，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，E为线段的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 16．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 三、解答题 17．如图，已知中，于点D，，连接DE，AB平分，交DE于点F． (1)请写出图中三对全等的三角形； (2)选取其中一对加以证明． 18．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 19．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 20．如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B B B D B B 1．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．逐一分析即可． 【详解】解：选项A：面积相等的两个三角形不一定全等．例如，底和高分别为4和3的三角形与底和高分别为6和2的三角形面积均为6，但形状不同，不全等．因此A是假命题； 选项B：全等三角形能够完全重合，所有对应边和对应角均相等，面积必然相等．B是真命题； 选项C：全等三角形的对应边长度相等，周长由各边之和决定，因此周长相等．C是真命题； 选项D：两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等．D是真命题； 故选：A． 3．B 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：∵证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， ∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形全等的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意判断对应三角形是否全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故小明的方案可行； ∵，， ∴， ∴，故小红的方案可行； ∵，， ∴， ∴，故小丽的方案可行； 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质，即可推出，可得，，即可推出，然后可得，即可推出． 【详解】解：，， 和为等边三角形， ， ， 则在和中，， ，故①符合题意； ， 则在和中，， ，故②符合题意； ， 则在和中，， ，故③符合题意； 但不一定成立，故④不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7．B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 9．B 【分析】A、根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、用反证法即可判断；C、延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；D、作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断 【详解】解：A、在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故正确，不符合题意； B、若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故错误，符合题意； C、如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确，不符合题意； D、如图，作的平分线交于点G， 由选项A得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键． 10．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：．理由是： ∵在和中， ， ∴， 故答案为：． 12． DE ASA证明△ABC≌△EDC，全等三角形对应边相等 【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE． 【详解】根据题意可知： ∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD， 即 ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE． 故答案为：DE． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法． 13．0，2，6，8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等 故答案为：0，2，6，8． 14．6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 【详解】解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 15．2或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用；解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则， ， ∵，点E为线段的中点， ∴， ∴①当 ， 时， 与全等， 此时， ，解得 ， ∴， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时， ，解得 ， ∴点Q的运动速度为 厘米/秒； 综上所述，点Q的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：2或. 16．或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 17．(1)、、、、（写出三对即可） (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识﹒ （1）根据全等三角形的判定定理结合已知条件即可得到五对全等三角形； （2）证明﹒根据“”即可证明﹒ 【详解】（1）解：全等的三角形有、、、、（写出三对即可）； （2）解：证明﹒ ∵， ∴， 在和中， ， ∴﹒ 18．教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 19．（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 20．(1)6 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点； （1）先求出点从点出发到达点时所用的时间为秒，再根据点运动的路程即可得出点的速度； （2）依题意得，，则，，再根据，则有以下两种情况：①当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值；②当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：（秒）， 点从点出发到达点时所用的时间为3秒， ，， ， 点运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； ②当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $