精品解析：云南省文山壮族苗族自治州富宁县新纪元云贵发展中心2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋期新纪元云贵中心第三次月考 数学（高一） 命题范围：必修一第一章至第四章 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再求解与的交集. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即： 故选 3. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，根据指数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，，，即， 所以. 故选：B. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意知，解得且， 即的定义域为. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于或，结合图象求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为 C. 函数在上单调递减 D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中定义，结合分式不等式的解法、数形结合思想、一次函数与反比例函数的单调性逐一判断即可. 【详解】由，或， 由，或， 所以， 因此选项A正确； 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 所以函数的最小值为，选项B正确； 当时，显然单调递增，选项C不正确； 函数图象如下图所示： 因为关于x的方程恰有两个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有两个不同的交点， 因此有或，因此选项D正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想、转化法判断方程解的问题是解题的关键 二、多选题（每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用全称命题的否定要求易得；对于B，求出集合，即可判断；对于C，由时满足条件排除选项；对于D，利用充要条件的判定方法易得. 【详解】对于A，根据全称命题的否定要求，可得命题“，”的否定是“，”，即A错误； 对于B，因且且，可知集合A的真子集个数是，故B正确； 对于C，当时，方程即，只有1个实根为，满足条件，故C错误； 对于D，由，若，则，即“充分性”不成立；又由可得且，即由能推出，故“必要性”成立. 故“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最大值为 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】作出函数图像判断A，举反例判断B，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C，指数函数的性质判断D即可. 【详解】结合函数的图象可知，， 由，得不出，故A错误， 令，此时，但是，故B错误. 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确. 因为，所以，故， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解，再验证奇偶性即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 所以，解得，此时，定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数， 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件列方程组求出参数，然后令解方程即可. 【详解】由题知，解得，所以， 由得， 因为，所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚.） 15. 计算下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则与分数指数幂和根式的互化计算即得； （2）利用对数的运算性质与对数式和指数式的互化计算即得； （3）根据对数的运算性质，结合，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算． （2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围． 【详解】解：（1），，， . （2）当时，，即成立； 当时，成立. 综上所述，． 【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点． 17. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为． （1）写出与的函数关系式，并求出它的定义域； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用几何法，根据圆和等腰梯形的性质，列出周长表达式； （2）利用周长关系式，结合二次函数性质求出周长最大值，进而得出相关参数求出面积，令，结合图形形状讨论求出解析式； （3）根据的解析式和已知值，列方程求，进而求出． 【小问1详解】 如图，过作于，圆心为，连接，设，则， 由，得， 整理得，， ， ，，即，解得． 与的函数关系式为，． 【小问2详解】 ，， 当时，取得最大值，此时，，，， 故等腰梯形的底角为，面积为， 令，当时，； 当时，； 当时，； ． 【小问3详解】 ， 令，则时，，解得（舍去）； 当时，，解得满足条件； 当时，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，，故． 18. 函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性且用单调性的定义证明，求出函数的值域； （3）若存在实数m，n使得函数在区间上的值域是，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数在上为减函数，证明如下. 任取，满足，由 ， 因，则，，则，故函数在上为减函数. 又，由可得，即得， 故函数的值域为. （3） 【解析】 【分析】（1）先判断该函数为上的奇函数，由求出的值并验证即可； （2）根据函数的单调性定义，利用作差法证明函数的单调性，再由指数函数性质和不等式的性质求其值域； （3）根据函数的单调性及值域先推出，可得为方程的两个不等实根，通过换元将其转化为方程有两个不等的正根，结合二次函数的图象列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 函数的图象关于坐标原点对称，即函数为上的奇函数， 由，解得，此时. 由，符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得函数在区间上为减函数， 由题意可得，即为方程的两个不等实根. 设，则，可得方程有两个不等的正根， 故得，解得， 即实数k的取值范围为. 19. 已知函数是偶函数.当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值、最小值，并将最大值用分段函数表示，其中. 【答案】（1） （2） （3） 当，； 当时，，； 当时，，； 综上，函数在区间上的最大值为. 【解析】 【分析】（1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求得函数在上的解析式； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，解不等式即得实数a的取值范围； （3）由（1）可知，函数，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可得解. 【小问1详解】 设，则，可得， 又由为偶函数，则， 故. 【小问2详解】 由，作出函数的图象. 由上图可知，函数的单调递增区间为，单调减区间为. 因在区间上单调，且， 则或，即或，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 因，则， 由于，当时，，作出在上的草图，如下图所示， 由图可知，，； 当时，，作出在上的草图，如下图所示： 由图可知，，； 当时，，作出在上的草图，如下图所示， 由图可知，，； 综上所述，函数在区间上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期新纪元云贵中心第三次月考 数学（高一） 命题范围：必修一第一章至第四章 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 3. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为 C. 函数在上单调递减 D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 二、多选题（每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的最大值为 1 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则__________. 13. 函数的单调递增区间是________. 14. 已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚.） 15. 计算下列各式的值： （1） （2） （3） 16. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 17. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为，梯形的周长为． （1）写出与的函数关系式，并求出它的定义域； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线：与下底交于.记梯形位于直线左侧的图形的面积为，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 18. 函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性且用单调性的定义证明，求出函数的值域； （3）若存在实数m，n使得函数在区间上的值域是，求实数k的取值范围. 19. 已知函数是偶函数.当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值、最小值，并将最大值用分段函数表示，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $