精品解析：江西省抚州市临川区江西省临川第一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年临川一中九年级（上）第二次月考数学试卷 卷面分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．由题意可知函数的图象在一、三象限，由三点的横坐标可知点，在第三象限，在第一象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数中时， 则反比例函数图象在一、三象限， ，， 则， 故选：D． 2. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断由小正方体堆砌的几何体中小正方体的个数，先确定位置，再根据俯视图和左视图，确定个数即可． 【详解】解：观察物体的俯视图和左视图可知：该几何体有两层，下面一层最少要有4个小正方体，上面一层最少要有1个小正方体，其主视图如下： 故组成该几何体所需小正方体的个数最少是； 故选：B． 3. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程是一元二次方程结合方程有2个不相等的实数根，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故选D． 4. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，由平行线分线段成比例逐一分析之． 【详解】∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC， ∴，故A正确； ∵DE∥AF ∴，故B正确； ∵DF∥AC， ∴ 又四边形AFDE是平行四边形 ∴AF=DE ∴，故D正确； ∵DF∥AC， ∴，故C错误； 故选:C． 【点睛】本题考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行四边形性质是解题的关键． 5. 如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点 在 轴上，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，根据A、C的坐标可知AC⊥y轴，在根据菱形的性质可证BD⊥x轴，则B点坐标可求． 【详解】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，如图， ∵A(0,2)、C(8,2)， ∴A、C两点在y=2的直线上，且AC=8，OA=2， ∴AC⊥y轴， ∵在菱形ABCD中，有AC⊥BD，且AC、BD互相平分， ∴轴，BN=ND=，AN=NC==4， ∴轴， ∵轴，AC⊥y轴， ∴∠AOD=∠AND=∠NAO=∠ODN=90°， ∴四边形ANDO是矩形， ∴OA=DN=2，OD=AN=4， ∴BD=2DN=4， ∴B点坐标为(4,4)， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角坐标系中的坐标与图形等知识， 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段 、 上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，先求出点的坐标为，再根据可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得，从而可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，， ， ， ，， ∴，， ，解得， ， ， ， 的面积为3， ，即， 整理得：， 将点代入得：， 整理得：， 将代入得：，解得， 则， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点的坐标是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由，得到，代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8. 若一元二次方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， ∴． 故答案为： 9. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案. 【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右， ∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键. 10. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________ 【答案】 【解析】 【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于 ，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可． 【详解】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长， 为第一级台阶的高，延长交于 ，，，，易得为矩形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键． 11. 如图，和都是等腰直角三角形，，点 在内，，连接交于点交于点 ，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，将片按如图所示的方式折叠，使点落在边 上，记为点，折痕为，已知，，若以为等腰三角形，那么的长度是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明是直角三角形，设，则，再分当时，可得出方程直接求出 ；当时，作，然后证明∽，根据相似三角形的对应边成比例得出答案；当时，作，证明∽，可表示 ，，进而表示，根据求出答案. 【详解】∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 设，则， 当时，时等腰三角形， 即， 解得， ∴； 当时，是等腰三角形， 过点作，交于点H， ∴． ∵，， ∴∽， ∴， 即， 解得， ∴； 当时，是等腰三角形，， 过点作，交于点D， ∵，， ∴∽， ∴， 即， ∴，， ∴. 根据勾股定理，得， 即， 解得或（舍去）. 所以的长度是或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质和判定，注意分情况讨论不能丢解. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．） 13. （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1），；（2）0 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的应用． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）代入各个特殊值，再根据实数的混合运算法则求出即可． 【详解】解：（1） ，； （2）原式 ． 14. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的表达式； （2）当气球内气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于（1），设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； 对于（2），将代入关系式，求出解，再判断即可． 【小问1详解】 解：设气压P与气球体积V之间的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，气球将爆炸， ∴，即， 解得：． 故为了安全起见，气体的体积应不小于． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点关于原点 的对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点 的对称点． 【答案】（1） 解：连接，并延长交反比例函数的图象于，如图所示， 点即为所求； （2） 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，无刻度的直尺作图，全等三角形的判定及性质，理解反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，是解决问题的关键． （1）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，即可求解； （2）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，连接，，并延长交反比例函数的图象于，，连接，并延长交轴于，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，并延长交反比例函数的图象于， 连接，，并延长交反比例函数的图象于，， 连接，并延长交轴于， ∵反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 16. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析；(2) 当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF； （2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形． 【详解】解：（1）如图所示， ∵CE平分∠BCA， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO； （2）当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵OA=OC，EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF是∠BCA的外角平分线， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠5=∠2+∠4， 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义． 17. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场中秋、国庆双节期间进行促销活动，前七天的总营业额为400万元，第八天的营业额是前七天总营业额的8%． （1）求该商场中秋、国庆双节八天的总营业额． （2）该商场7月份的营业额为300万元，8、9月份营业额的月增长率相同，中秋、国庆双节八天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商场8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据该商店去年“十一黄金周”这八天的总营业额=前七天的总营业额+第八天的营业额，即可求出结论； （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，则 （万元）， ∴该商店去年“十一黄金周”这八天的总营业额为万元； 【小问2详解】 解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得： ， 解得：或（舍去）； ∴该商店，月份营业额的月增长率为． 19. 为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形种植南瓜．设的长为x，四边形的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的面积存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确表示出二次函数的解析式，是解题的关键. （1）分割法求出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，米， ∴； 【小问2详解】 解：存在， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值为； 故四边形的面积存在最小值，最小值为． 20. （1）如图1，在四边形中，，，P是上一点，若，则______． 拓展探究 （2）如图2，在四边形中，P是上一点，当时，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由，，可知，证明，则，进而结论得证； （2）利用（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，设直线 的解析式为，连接． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标； 【答案】（1）， （2）和 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与四边形的综合，掌握反比例函数的图形和性质是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，然后得的中点的坐标，再代入反比例函数解析式，可求出k，然后再求E的坐标； （2）由图象可知和时，反比例函数的图象在上方，由此可得答案； （3）根据点的坐标的特点得的面积，设，由的面积，可得答案； 【小问1详解】 ∵四边形为矩形，点， ∴， ∵的中点D， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 当时，， ∴点E的坐标； 【小问2详解】 ∵与交于点D、E两点， ∴和时，反比例函数的图象在上方， 即解集为和； 【小问3详解】 ∵，， ∴的面积为， 设， 则的面积， ∴， ∴或（舍去）． 22. 如图（1），是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图（2）所示，已知两支脚架， 在水平地面上，， 为 上固定的连接点，靠背可绕点 旋转一定的角度，． 　　 （1）求点 到水平地面的距离； （2）当时，求点 到水平地面的距离； （3）在（2）中的状态下，绕点 将靠背向后调整到位置，若点 在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点 旋转的度数．（参考数据：，结果保留位小数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为 ，过点 作，垂足为 ，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点 作，交于点，过点 作，垂足为 ，利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答； （3）过点作，垂足为 ，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而求出，最后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为 ，过点 作，垂足为 ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 点 到水平地面的距离约为； 【小问2详解】 解：过点 作，交于点，过点 作，垂足为 ， ， ， ∵， ， ， ， 在中，， ， 点 到水平地面的距离， 点 到水平地面的距离约为； 【小问3详解】 解：过点作，垂足为 ， 由题意得：， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 靠背绕点 旋转的度数约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ； （填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接 ，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段 的垂直平分线分别交 与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则 的长为 ． （直接写出结果） 【答案】（1）④； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段 的垂直平分线分别交 与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）或或或． 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：①证明，而，当时，可得，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件，③如图，当时，④如图，当时（与③中 的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）略 （3）略 （4）①如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件， 由①同理可得：， 过 作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③如图，当时， ∴，， 由②同理可得：， ∴， ④如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上： 的值为：或或或． 【点睛】本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年临川一中九年级（上）第二次月考数学试卷 卷面分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，四边形是菱形，顶点 ， 的坐标分别是，，点 在 轴上，则顶点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在y，x轴上，轴．点M、N分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且，的面积为3，则k的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则__________． 8. 若一元二次方程的两根分别为，，则的值为________． 9. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为__________. 10. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________ 11. 如图，和都是等腰直角三角形，，点 在内，，连接 交 于点交 于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 12. 如图，将片按如图所示的方式折叠，使点 落在边上，记为点，折痕为，已知，，若以为等腰三角形，那么的长度是___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．） 13. （1）解方程：． （2）计算： 14. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的表达式； （2）当气球内气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？ 15. 如图，点 在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点 关于原点的对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 16. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 17. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场中秋、国庆双节期间进行促销活动，前七天的总营业额为400万元，第八天的营业额是前七天总营业额的8%． （1）求该商场中秋、国庆双节八天的总营业额． （2）该商场7月份的营业额为300万元，8、9月份营业额的月增长率相同，中秋、国庆双节八天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商场8、9月份营业额的月增长率． 19. 为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形种植南瓜．设 的长为x，四边形的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 20. （1）如图1，在四边形中，，，P是 上一点，若，则______． 拓展探究 （2）如图2，在四边形中，P是 上一点，当时，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过 的中点D，且与交于点E，设直线的解析式为，连接． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标； 22. 如图（1），是一个可调节靠椅，其抽象示意图如图（2）所示，已知两支脚架，在水平地面上，，为上固定的连接点，靠背可绕点旋转一定的角度，． 　　 （1）求点到水平地面的距离； （2）当时，求点 到水平地面的距离； （3）在（2）中的状态下，绕点将靠背向后调整到位置，若点 在水平方向上移动的距离为，求靠背绕点旋转的度数．（参考数据：，结果保留 位小数） 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ； （填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且 平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接， ．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $