精品解析：广东省茂名市第十六中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

茂名市第十六中学2025级高一12月月考 数学科试题 命题人：廖少卫 审题人：李森明 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义化简集合，再由交集的定义计算可得. 【详解】由，可得，所以， 又， 所以. 故选：C 2. 不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式转化为,再解一元二次不等式组可得. 【详解】由原不等式得,所以 ,解得， 即原不等式的解集为. 故选B. 【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式的解法,属于基础题. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理求解即得. 【详解】函数，都是上的增函数， 则函数是上的增函数， 而，，所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：C. 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的性质，借助“”与“”，即可判断大小关系. 【详解】因为，， 所以 故选:A 6. 函数，且恒过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数函数图象恒过的点列式求解. 【详解】由函数的图象恒过点，得，解得， 所以. 故选：A 7. 下面与角终边相同的角是（ ） A 25° B. C. D. 225° 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则函数在上为增函数，所以，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知是第三象限角，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断AB；根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断CD. 【详解】已知是第三象限角，∴. 对于AB，由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误； 对于CD，由，角的终边在第二象限或第四象限，不一定成立，C错误；成立， D正确. 故选：AD． 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）图象过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的单调递增区间是 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数函数的定点可判断A；根据复合函数的定义域可判断B；根据指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；根据二次函数恒成立问题及分类讨论思想可判断D． 【详解】解：A．令，可得，， 所以函数且的图象过定点，故A正确； B．的定义域为，则函数中，，解得：，故函数的定义域为，故B正确； C．函数的对称轴为：，开口向下，故函数在,上单调递增，在,上单调递减， 函数在上单调递减，所以还是的单调递增区间是，故C正确； D．当时，不等式对一切实数恒成立，当时， 则，解得，综上，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，用，表示代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 函数单调递增区间为________________；值域为_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，令，再根据二次函数与对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为解得，所以的定义域为，令，则在上递减， 而在定义域上单调递减，所以由复合函数的单调性知道函数单调递增区间为； 因为，所以，即值域为． 故答案为：， 14. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方关系求出，再利用诱导公式求解. 【详解】根据题意，，则， 又，所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算、换底公式化简可得所求代数式的值； （2）利用对数、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）； （2） . 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【小问1详解】 根据任意角三角函数的定义可得 【小问2详解】 由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. 【小问3详解】 由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 17. 已知，且，若函数在区间上最大值与最小值之差为1． （1）求的值； （2）若，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 【答案】（1）都不是“速增函数” （2） （3）命题正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“速增函数”定义进行判断即可. （2）根据“速增函数”的定义列出不等式，然后进行因式分解，根据指数函数的单调性求出解集即可. （3）由“速增函数”的定义先判断函数的单调性，然后根据定义域范围和单调性求出，进而可判断命题的正确性. 【小问1详解】 对于任意整数，有， ，此时， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 对于任意正数，有， ， ，因为， 所以，即， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 【小问2详解】 因为函数为“速增函数”， 则对于任意正数满足， 即，因为，所以， 即对一切正数都成立，所以. 且. 化简得. 化简得，又， 所以，又， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 命题正确，理由如下： 由“速增函数”的定义，对任意，有 ，所以上单调递增， 对，有， 则，， 且，所以，即. 因此，命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市第十六中学2025级高一12月月考 数学科试题 命题人：廖少卫 审题人：李森明 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6 函数，且恒过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 下面与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. C. D. 225° 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知是第三象限角，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象过定点 B. 已知函数定义域为，则函数的定义域为 C. 函数单调递增区间是 D. 不等式对一切实数恒成立，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，用，表示代数式________． 13. 函数单调递增区间为________________；值域为_______________． 14. 已知，且，则______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算： 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）求的值； （2）若，求函数的最小值． 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 19. 若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数“速增函数”． （1）试判断函数与否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $