期末大题专练之一元二次方程的应用：商品销售问题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

期末大题专练之一元二次方程的应用：商品销售问题 1．水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是____千克（用含x的代数式表示）． (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？ 2．若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 3．水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 4．文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 5．第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件． (1)请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？ (2)第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？ 6．年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段；在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为元．调查发现，当每台的销售价为元时，平均每天能售出台；而当每台扫地机器人的销售价每降低元时，平均每天就能多售出台．设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为________台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 7．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； (2)小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 8．2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为1000元．调查发现，当每台的销售价为1500元时，平均每天能售出20台；而当每台扫地机器人的销售价每降低100元时，平均每天就能多售出10台．若设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为_____台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到12000元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 9．苏超比赛泰州足球队在不被看好的情况下，一路过关斩将入决赛并问鼎冠军，充分彰显了泰州人民的“三个不相信”精神，也带来了泰州旅游知名度的攀升．某纪念品店每天可以销售某纪念品40个，每个盈利45元，若每个降价1元，则每天可多售出4个，如果每天要盈利3000元，又要使游客感到实惠，则每个应降价多少元？ 10．某商场“宝乐”牌童装的进价为120元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件．为了庆祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施、经调查，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出1件． (1)若这种童装以180元/件出售：那么每天销售这种童装可盈利多少元？ (2)销售这种童装每天可盈利1750元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由． 11．为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． (1)填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ (2)如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 12．某商场售卖A，B两款儿童玩具，已知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的倍，用元购买A款玩具的数量比用元购买B款玩具的数量少5个． (1)求每个B款玩具的售价为多少元； (2)经统计，商场每月卖出A款玩具个，每个A款玩具的利润为元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每个A款玩具的售价每降低2元，那么平均每月可多售出个，商场要想每月销售A款玩具的利润达到元，每个A款玩具应降价多少元？ 13．淘宝网站上一家化妆品网店一款面膜每盒进价为80元，销售价为120元时，每周可售出200盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒面膜降价5元，那么平均每周可多售出30盒，设每盒面膜降价x元． (1)每周销售量增加______盒，每盒面膜盈利______元；（用含x的代数式表示） (2)商家能达到平均每周盈利8200元吗？请说明你的理由． 14．某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (1)以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． (2)请写出一种完整的解答过程． 15．洛川苹果肉质细嫩紧致，汁多松脆，酸甜可口，一家水果店以每斤元的价格购进洛川苹果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤．通过市场调研发现，洛川苹果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．设洛川苹果每斤的售价降低元． (1)该水果店每天洛川苹果的销售量是_____斤；（用含的代数式表示） (2)若该水果店销售洛川苹果想要每天盈利元，且每天至少售出斤，则该水果店应将洛川苹果每斤的售价降低多少元？ 16．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价元． (1)平均每天的销售量为 本；（用含的代数式表示） (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册的售价为多少元？ 17．某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 18．手工编织挂件作为一种传统工艺产品，因其独特的艺术价值和情感价值，在市场中备受欢迎．张阿姨在摊位上售卖手工编织挂件．每个手工编织挂件的成本为10元．她调查发现，当每个手工编织挂件售价为16元时，每天可以售出40个，如果每个手工编织挂件每降价元，那么平均每天可以多售出2件． (1)当每个手工编织挂件降价多少元时，张阿姨每天可获得192元利润？ (2)张阿姨每天的销售利润能达到260元吗？请说明你的理由． 19．某商场品牌童装每件进价60元，售价100元，平均每天可售出20件，为了迎接“元旦”商场采取了促销活动，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查，若每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，要使某商场每天盈利1200元， (1)降价后童装每件利润多少元； (2)降价后每天售出多少件? (3)每件童装应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末大题专练之一元二次方程的应用：商品销售问题2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 1．(1)； (2)张阿姨需将单价降至3元． 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，找出等量关系列出方程是解题的关键． （1）由于这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克，即可得到单价每降低1元，每天可多售出200千克，当单价降低x元时，每天可多售出千克，即可求解； （2）根据每千克水果的利润乘以销售量等于总盈利列出方程，求解并根据条件取舍即可解答． 【详解】（1）解：将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是（千克）． 故答案为：． （2）解：设这种水果的单价降价x元．则 ， 解得，． 当时，每天的销售量为（千克）； 当时，每天的销售量为（千克）． 保证每天至少售出260千克， ∴，此时单价为（元）． 答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至3元． 2．每个头盔的定价应为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 3．(1)千克 (2)元 (3)5元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； （2）以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； （3）设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 4．6元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过设上涨金额为未知数，根据利润和销售量的关系列出方程，求解后根据题意选择上涨金额较小的解，以尽可能让顾客得到实惠． 【详解】解：设该品牌头盔每个的售价应上涨元． 由题意，得， 化简方程． 解得或． ∵要尽可能让顾客得到实惠，即上涨金额较小， ∴取． 答：该品牌头盔每个的售价应上涨6元． 5．(1) (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，根据第一季度卖出256件和第三季度卖出400件，列出方程即可解答； （2）设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，然后根据利润（售价进价）卖出件数，列出方程即可解答． 【详解】（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为． （2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 答：每件公仔应降价10元． 6．(1) (2)每台扫地机器人的销售价应降低元或元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据销售利润销售量每台利润列方程． (1)根据每台的销售价为元时，平均每天能售出台；而当每台扫地机器人的销售价每降低元时，平均每天就能多售出台，列出表示销售量的代数式； (2)根据销售利润销售量每台利润，可列方程，解方程即可求出应降低的价格． 【详解】（1）解：由题意得，销售价每降低1元，销量增加 台， 当销售价降低元时，销量增加 台， 故平均每天的销售量为 台， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每台扫地机器人的销售价应降低元或元． 7．(1)32 (2)每件T恤衫的销售价应该定为80元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价金额计算销售量的增加量，从而求得总销售量； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【详解】（1）解：降价6元， 每天多卖12件， 每天的销售量为件， 故答案为：32； （2）解：设每件T恤衫降价元， 由题意可得：， 解得：或， 又∵尽可能让利于顾客， ， ∴每件T恤衫的销售价应该定为80元． 8．(1) (2)降低100元或200元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：销售价降低元，则销量提高台， 即平均每天的销售量为台， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：，． 答：每台扫地机器人的销售价应降低100元或200元． 9．每个应降价20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设每件降价为x元，则该纪念品店销售了这种商品个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每件降价为x元，则该纪念品店销售了这种商品个， 根据题意得：， 解得：，， 因为要使游客感到实惠， 所以． 答：如果每天要盈利3000元，又要使游客感到实惠，则每个应降价价20元． 10．(1)1800元 (2)可以，每件销售价格为190元或170元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装的利润，列式即可； （2）设降价元，根据每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装的利润，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：每天销售这种童装可盈利元； （2）解：设每件这种童装降元出售，每天销售这种童装可盈利1750元， 则有， 解得：，， 或 答：每件这种童装销售价格为元或元时，每天销售这种童装可盈利1750元． 11．(1)，， (2)11月的单价应是70元 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元二次方程，并求解即可； 【详解】（1）解：设在11月清仓前图书单价降低元， 11月单价为：元， 11月销售量为：套， 清仓时销售量为：套； 故答案为：，，． （2）解：由题知：， 整理：， 解得， 元； 答：11月得单价应是70元． 12．(1)每个B款玩具的售价为元 (2)每个A款玩具应降价6元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元，根据两款玩具的数量关系列方程求解即可； （2）设每个A款玩具应降价a元，根据单利润乘以数量等于总利润列方程求解，并保留符合实际情况的解． 【详解】（1）解：设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元， 由题意得， ， 检验：当时， 原分式方程的解为， 答：每个B款玩具的售价为元； （2）解：设每个A款玩具应降价a元， 由题意得， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个A款玩具应降价6元． 13．(1)； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设每盒面膜降价x元，根据题意即可得到每周销售量增加盒，每盒面膜盈利元； （2）根据题意可列方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每盒面膜降价x元， 则每周销售量增加（盒），每盒面膜盈利元， 故答案为：，； （2）解：商家不能达到平均每周盈利8200元，理由如下： 依题意得： ， ∴， ∵ ， ∴此方程无解，即商家不能达到平均每周盈利8200元． 14．(1)小明：；小亮： (2)每件应降价4元，完整的解答过程见解析 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列一元二次方程即可； （2）对一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程： 小亮：设每件服装定价为元，由题意， 可列方程：， 整理：， 故答案为：小明：；小亮：； （2）解：小明：解方程， ， 得，． 因为每件降价幅度不超过10元， 所以舍去， 即每件应降价4元． 小亮：， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：每件应降价4元． 15．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程和不等式的性质解答． （1）根据题意可以用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得水果店需将每斤的售价降低多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， 每天的销售量是：（斤）， 故答案为：． （2）由题意可得，， 解得：，， 保证每天至少售出斤， ， 解得， ， 即水果店需将每斤的售价降低1元． 16．(1) (2)每本画册的售价是56元 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可； （2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 【详解】（1）解：∵当售价为60元时，平均每天的销售量为100本，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本； ∴平均每天的销售量为： 故答案为：； （2）由题意可得，， 解得，， 要求每本售价不低于55元， 符合题意； 每本画册的售价为：（元） 答：每本画册的售价是56元． 17．(1)1200 (2)78元 (3)每天能获得1250元的利润，定价为85元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键， （1）根据题意求出每天能多卖20件，从而计算可以得解； （2）设每件恤衫降价元，根据“每天获得的利润达到1152元”列出一元二次方程求解即可解答； （3）当降价元时，由题意可得，解得，再根据保证每件恤衫的利润率不低于列不等式求得的取值范围，再判断即可解答． 【详解】（1）解：降价10元， 每天多卖20件， 每天的销售量为40件， 每天销售恤衫的利润为（元）， 故答案为：1200； （2）解：设每件恤衫降价元， 由题意可得：， 或， 又尽可能让利于顾客，优惠最大， ， 每件恤衫的销售价应该定为：元（元）， 每件恤衫的销售价应该定为78元； （3）解：根据题意得，当降价元时，每天利润为， 由题意可得：， 化简得 ， 每件恤衫的利润率不低于， ， ， ，符合题意， 每件恤衫应降价15元，则定价为（元）， 答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元． 18．(1)当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润 (2)张阿姨每天的销售利润不能达到260元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用。 （1）设当每个手工编织挂件降价x元时，根据“张阿姨每天可获得192元利润”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设当每个手工编织挂件降价x元时， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当每个手工编织挂件降价2元时，张阿姨每天可获得192元利润； （2）解：张阿姨每天的销售利润不能达到260元， 理由如下： 设当每个手工编织挂件降价y元时，张阿姨每天可获得260元利润， 由题意，得， 整理，得， ， 所以该方程没有实数根． 所以张阿姨每天的销售利润不能达到260元． 19．(1)20元 (2)60件 (3)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出题中的等量关系进而列方程． （1）设每件童装降价x元，则降价后每件利润为元，降价后每天售出件，则每天盈利为元，再由每件利润乘以每天销售的数量等于总利润建立方程求解，即可求解每件的利润； （2）将求出的代入即可求解； （3）由（1）即可得答案． 【详解】（1）解：设每件童装降价x元， 依题意， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴取， ∴降价后每件利润为（元）； （2）解：由（1）可得：降价后每天售出（件）； （3）解：由（1）可得每件童装应降价20元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $