2.6 一元二次方程的应用（销售问题、动态几何问题）专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程的应用（销售问题、动态几何问题）专项训练 一元二次方程的应用（销售问题、动态几何问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：销售问题 一元二次方程的应用：动态几何问题 考点一 一元二次方程的应用：销售问题 例1．（25-26九年级上·山西太原·月考）年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山西运城·月考）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打 折出售？ 例4．（25-26九年级上·湖南常德·月考）百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十．一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价 元． 例5．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 例6．（25-26九年级上·山西运城·月考）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 例7．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． (1)用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； (2)若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； (3)该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某商场将进货单价为30元的商品按60元出售时，每天能卖出20件，经市场调研发现，若每件商品的单价每降价1元，则每天可多卖出4件，商场为了保证获得1200元的利润，则每件商品的售价应定为多少元？嘉淇根据题意列出了方程，下列说法错误的是（） A．表示每件商品的售价降低了元 B．表示每件商品的售价为元 C．代数式表示每件商品的利润 D．代数式表示销售的数量 变式3．（25-26九年级上·四川达州·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 变式4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程 ． 变式5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 变式6．（25-26九年级上·山西太原·月考）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． (1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率． (2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 变式7．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 考点二 一元二次方程的应用：动态几何问题 例1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 例2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 例3．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为 时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是 ， ， 时，为等腰三角形． 例4．（24-25九年级上·四川德阳·月考）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是 ． 例5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 例6．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 例7．（18-19九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 变式2．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 变式4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 变式5．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向终点以的速度移动；同时，点从点出发沿边向终点以的速度移动． (1)几秒时的长等于； (2)几秒时的面积等于． 变式6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 变式7．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的应用（销售问题、动态几何问题）专项训练 一元二次方程的应用（销售问题、动态几何问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：销售问题 一元二次方程的应用：动态几何问题 考点一 一元二次方程的应用：销售问题 例1．（25-26九年级上·山西太原·月考）年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：， 整理得：． 故选：A． 例2．（25-26九年级上·山西运城·月考）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每瓶沙棘汁降价x元，则降价后的售价为元， ∵当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，且售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶， ∴现在每瓶降价x元，则降价的次数为次， 每次多销售5瓶，则多销售的瓶数为瓶， ∴降价x元后的销售量为瓶， ∴根据题意可列方程为， 故选：B． 例3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打 折出售？ 【答案】9 【详解】解：设每件商品降价x元，则每件利润为元，即元；每天销售量为件．根据每天盈利1500元，得 ． 整理得：， 即， ， ， 解得或． 为尽快减少库存，取，折扣率为折． 故答案为：9． 例4．（25-26九年级上·湖南常德·月考）百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十．一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价 元． 【答案】20 【详解】解：设每件童装应降价元，则 ， 即：， 解得：，， 要扩大销售量，减少库存， 舍去． 所以每件童装应降价20元， 故答案为：20． 例5．（25-26九年级上·重庆开州·月考）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】(1)每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． (2)精英型帐篷的售价为元或元． 【详解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 例6．（25-26九年级上·山西运城·月考）某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 【答案】储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元 【详解】解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元， 根据题意得：， 解得，，（舍去）， 答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 例7．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某书店经销一种成本为每本20元的精品图书，据市场分析，若按每本30元价格销售，每天能售出40本，若销售单价每降低1元，每天销售量就可增加2本，设销售单价为元． (1)用含的代数式表示该书店每天销售精品图书__________本； (2)若该书店每天的销售利润为288元，求销售单价的值； (3)该书店每天的销售利润能否为500元？若能，求出销售单价的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【详解】（1）解：根据题意得：每天销售精品图书为：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：销售单价的值为26； （3）根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴销售利润不能为500元． 变式1．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【答案】B 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）某商场将进货单价为30元的商品按60元出售时，每天能卖出20件，经市场调研发现，若每件商品的单价每降价1元，则每天可多卖出4件，商场为了保证获得1200元的利润，则每件商品的售价应定为多少元？嘉淇根据题意列出了方程，下列说法错误的是（） A．表示每件商品的售价降低了元 B．表示每件商品的售价为元 C．代数式表示每件商品的利润 D．代数式表示销售的数量 【答案】B 【详解】解：方程中，为原售价，为进货单价， 为原利润；为降价金额， 为降价后每件利润；为原销量，每降元多卖件， 为降价后销量．方程表示降价后利润销量．选项A正确， 表示降价金额；选项B错误， 表示每件利润；选项C正确，表示销量，选项D正确． ∴说法错误的是B． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·四川达州·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意，得方程：， 展开并整理得， 解得或， 为尽快减少库存，取． 故答案为：20． 变式4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应为每件元 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得， 又∵要尽量减少库存， ∴取， 答：售价应为每件元． 变式6．（25-26九年级上·山西太原·月考）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． (1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率． (2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 【答案】(1) (2)2元 【详解】（1）解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为； （2）解：设每本笔记本降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每本笔记本降价2元． 变式7．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 【答案】(1) (2)30 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将点和点代入得：， 解得 与的函数解析式为， 由题意可知，， 答：与的函数解析式为，的取值范围为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：销售价格为每千克30元． 考点二 一元二次方程的应用：动态几何问题 例1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 例2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【详解】解：设t秒后，的面积为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 故选：C． 例3．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为 时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是 ， ， 时，为等腰三角形． 【答案】 6 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 例4．（24-25九年级上·四川德阳·月考）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是 ． 【答案】2秒 【详解】解：（秒，（秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是2秒． 故答案为：2秒． 例5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 例6．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 例7．（18-19九年级·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 变式2．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 变式4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 【答案】2或4 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 变式5．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向终点以的速度移动；同时，点从点出发沿边向终点以的速度移动． (1)几秒时的长等于； (2)几秒时的面积等于． 【答案】(1)5秒或7秒 (2)2秒或4秒或秒 【详解】（1）解：设点的运动时间为， 当点在边上时，， 当时，即，解得． 当点在边上时，， 当时，即，解得． 综上所述，5秒或7秒时的长等于． （2）设点的运动时间为， 当点在边上时，，，，， ∵， ∴， 化简得：， 解得，． 当点Q在边上时， ， 解得． 综上所述，2秒或4秒或秒时的面积等于． 变式6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6或 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 变式7．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3秒 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 2 学科网（北京）股份有限公司 $