期末复习08.投影与视图期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以“投影与视图”为核心，通过知识框架图系统梳理投影分类、三视图规范、展开图关联等内容，用对比表格明晰平行投影与中心投影的特征差异，以步骤化梳理呈现三视图绘制与还原的方法，突出空间形式与位置关系的内在联系。 讲义亮点在于分层设计12类常考题型，如“由三视图确定小正方体个数”通过俯视图标注层数培养推理意识，“平行投影测量问题”用比例模型发展几何直观。易错点提醒与压轴题通关助力不同学生提升，教师可据此实施精准复习，学生能自主构建空间观念。

期末复习08.投影与视图期末复习冲刺必备讲义 1.知识目标 掌握核心概念：分清平行投影、中心投影，牢记定义与特征。 明晰视图规范：掌握三视图定义及“长对正、高平齐、宽相等”原则，会用实虚线。 熟知图形关联：能识别常见几何体的三视图和展开图。 2.能力目标 判断能力：能根据光线判断投影类型。 绘图识图：会画简单组合体三视图，能根据三视图还原立体图形。 应用能力：用平行投影性质解决测量问题，能分析展开图与立体图形的关系。 空间想象：提升平面与立体的转化能力。 3.应试目标 基础题：稳拿投影、三视图、展开图基础题分数。 避易错：牢记易错点，减少失误。 综合题：能应对简单综合题型。 中档题：规范完成三视图绘制、计算等中档题。 期末必备 知识点梳理 1.投影的定义及分类 2.视图的定义及分类 3.立体图形的展开图 4.方法总结与易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.平行投影的概念与性质 2.中心投影的概念与性质 3.单元几何体的三视图识别 4.简单组合体的三视图识别 5.简单组合体的三视图绘制方法 6.画小立方块堆彻图形的三视图 7.由三视图还原几何体的技巧 8.基于三视图求侧面积或表面积 9.小立方块堆彻图形的表面积的计算 10.由三视图求解几何体的体积 11.通过三视图确定小立方体的个数 12.由三视图分析小立方块的做多/最少个数 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.投影】 投影 (Projection) 1.定义：用光线照射物体，在某个平面（如地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2.分类： (1)平行投影 (Parallel Projection)：由平行光线形成的投影。 正投影 (Orthographic Projection)：投影线垂直于投影面产生的投影。这是绘制三视图的基础。 斜投影 (Oblique Projection)：投影线不垂直于投影面产生的投影。 (2)中心投影 (Central Projection)：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影。例如，手电筒、路灯、台灯的光线形成的投影。 3.平行投影与中心投影的区别： 特征 平行投影 中心投影 光线 平行 从一点发出（发散） 光源 太阳（太阳光） 灯泡、手电筒等点光源 影子变化 同一时刻，物高与影长成正比 离点光源越近，影子越大 应用 测量物体高度 皮影戏、手影游戏 【知识点02.视图】 1.定义：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图。 2.三视图 (Three Views)： *主视图 (Front View)：从正面看得到的视图。 *左视图 (Left View)：从左面看得到的视图。 *俯视图 (Top View)：从上面看得到的视图。 画三视图的基本要求： 长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正。 高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐。 宽相等：俯视图与左视图的宽相等。 虚实线：看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。 3.常见几何体的三视图： 正方体 / 长方体：主视图、左视图、俯视图均为矩形（或正方形）。 圆柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是圆。 圆锥：主视图和左视图是三角形，俯视图是圆及圆心。 球：主视图、左视图、俯视图均为圆。 【知识点03.立体图形的展开图】 1.定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2.常见几何体的展开图： 正方体：由 6 个正方形组成。（共有 11 种不同的展开图） 长方体：由 6 个长方形组成。 圆柱：由两个相同的圆和一个长方形组成。 圆锥：由一个圆和一个扇形组成。 3.由展开图想象立体图形：这是一个逆向思维的过程，需要空间想象力。关键是要识别展开图中的各个面在折叠后如何组合成一个封闭的立体图形。 【知识点04.方法总结与易错点提醒】 1. 方法总结 (1)判断投影类型：关键看光线是平行的还是从一点发出的。 (2)解决平行投影问题：利用 “同一时刻，物高与影长成正比” 的原理，通过建立比例式求解。 (3)画三视图：严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等” 的原则，注意区分实线和虚线。 (4)由三视图确定小正方体个数： *先看俯视图，确定底层小正方体的个数和分布。 *再看主视图和左视图，确定各列（或行）的层数，从而确定上层小正方体的个数和位置。 解决展开图问题： (1)熟悉常见几何体展开图的形状。 (2)对于正方体展开图，掌握其 11 种类型，并能快速识别相对面（相间、Z 端是对面）。 (3)对于复杂展开图，可通过想象折叠过程或动手操作来确定各面的位置关系。 2. 易错点提醒 1.混淆平行投影和中心投影：注意区分太阳光（平行投影）和灯光（中心投影）。 2.画三视图时漏画或错画虚线：对于被遮挡的轮廓线，一定要用虚线画出。 3.对 “宽相等” 理解不清：俯视图和左视图的宽相等，但要注意宽的方向。 4.由三视图确定小正方体个数时出错：容易忽略某些位置的小正方体，或错误判断层数。建议在俯视图上用数字标注每层的小正方体个数。 5.正方体展开图中相对面判断错误：特别是在复杂的展开图中，容易将相邻面误认为是相对面。 【题型1.平行投影的概念与性质】 【典例】下列光源所形成的投影是平行投影的是（   ） A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，平行投影的光线需平行，太阳光因距离远可视为平行，其他选项为点光源，光线发散，形成中心投影，由此即可得解，熟练掌握平行投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：平行投影要求光线平行；太阳光近似平行，形成平行投影；蜡烛、台灯、电灯为点光源，光线发散，形成中心投影， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 【题型2.中心投影的概念与性质】 【典例】如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 【答案】 增加 1 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 【跟踪专练1】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（    ）    A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，    ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【题型3.单一几何体的三视图识别】 【典例】由景德镇创作的“春碗”亮相2025年春晚，“春碗”不仅是一件精美的陶瓷艺术品，更是春节文化传承与创新的生动见证，其包含的青花瓷元素更是景德镇四大传统名瓷之一．如图为一个青花瓷碗，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的轮廓线都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看可得两个同心圆，看不到的用虚线表示． 故选：C． 【跟踪专练1】已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】小贤向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：s）的函数关系图象如图所示，选项中是各种水壶的主视图，则小贤使用的水壶的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，三视图，通过函数图象获取信息并解决问题的能力，能够读懂图象是解题的关键． 根据函数图象得到水壶内水上升的速度不变，即可根据选项作出判断． 【详解】解：∵容器内水的高度（h）随着注水时间（t）的增大而增大，成正比例关系，是一条线段， ∴水壶内水上升的速度不变，则容器应为类似于圆柱的物体， 故选：D． 【题型4.简单组合体的三视图识别】 【典例】如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【分析】本题考查三视图．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②． 故答案为：③，⑤，②． 【跟踪专练1】由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上方观察这个由五个相同正方体搭成的几何体，底层有个正方体,其俯视图呈现的形状是： 第一行有个正方形，第二行最右边有个正方形，与选项A的图形一致． 故选：A． 【跟踪专练2】图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图②）．对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是 （填字母）． 【答案】 【分析】本题考查几何体三视图的判断，掌握从不同方向观察工件，确定视图的形状是解题的关键． 分别从俯视和主视的角度观察工件，确定其俯视图和主视图的形状． 【详解】解：俯视图：从上方观察工件，看到的是正三角形，对应图形， 主视图：从正面观察工件，看到的是带有虚线的直角梯形，对应图形， 虽然带有虚线的直角梯形，但其虚线位置与实际被遮挡的棱边不匹配， 实际主视图中，被遮挡的棱边是工件内侧较短的线段，而中虚线过长，超出了实际遮挡范围． 所以俯视图、主视图分别是． 故答案为：． 【题型5.简单组合体的三视图绘制方法】 【典例】如图，小明画出了某几何体的三种视图，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了三种视图及它的画法，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．依此即可解题． 【详解】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．    【答案】详见解析 【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，    【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图.要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 【跟踪专练2】如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 【题型6.画小立方块堆彻图形的三视图】 【典例】六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 【跟踪专练1】用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图形，已知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为 平方分米． 【答案】320 【分析】本题主要考查了立体图形的表面积．解决问题的关键是熟练掌握立体图形的三视图，根据三视图的面积计算． 该立体图形有10层，一共有5个面涂上了油漆，上表面的面积等于最底层的上表面的面积，周围四个面全等，均为，取这5个面的面积的和即得． 【详解】从“金字塔”图形的三视图可以看出，涂上油漆部分的总面积为， （平方分米）． 故答案为：320． 【跟踪专练2】如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键． 根据三视图的定义以及概率的定义即可解答． 【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是． 故选：D． 【题型7.由三视图还原几何体的技巧】 【典例】从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选：D． 【跟踪专练1】一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题需要先根据三视图判断出立体图形的形状为半圆柱，然后分别计算半圆柱的各个面的面积，最后将它们相加得到表面积． 【详解】由三视图可知，该立体图形是底面半径为，高为的半圆柱。 计算半圆柱的侧面积：圆柱侧面积公式为（为底面半径，为高），半圆柱侧面积为 这里，所以侧面积为 计算两个半圆的面积：圆的面积公式为，两个半圆可组成一个整圆，面积为 计算矩形的面积：矩形的长为，宽为，面积为 计算表面积：将上述各部分面积相加，可得表面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断立体图形以及立体图形表面积的计算，掌握根据三视图确定立体图形的形状，再分别计算各部分的面积并求和是解题的关键． 【跟踪专练2】某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 【题型8.基于三视图求侧面积或表面积】 【典例】如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提． 先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3． 故该几何体的表面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可； 【详解】解：∵，， 又∵长方体的高为， ∴长方体的长为，宽为， ∴， 即， 解得：， ∵为正数， ∴取， 故选：A． 【跟踪专练2】已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图求侧面积，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． 作，由左视图可知，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据几何体的侧面积个相同的长方形面积相加计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，如图，作，由左视图可知，三棱柱的高为2， ∵俯视图是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该几何体的侧面积． 故答案为：． 【题型9.小立方块堆彻图形表面积的计算】 【典例】如图，5个边长为的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的表面积，解题的关键在于掌握视图的概念及定义，上面一个露出5个面，下面四个均露出3个面，还要考虑上面覆盖的一个． 【详解】解：第一层在表面的部分为，第二层在表面的部分为， 所以此几何体露出在表面的部分的面积为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是 ． 【答案】38 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是：， 故答案为：38． 【跟踪专练2】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 【题型10.由三视图求解几何体的体积】 【典例】如下图所示，根据三视图，求得这个几何体的体积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；由三视图可知该几何体是由正方体和圆柱两个立体图形所构成，然后根据正方体和圆柱的体积公式可进行求解． 【详解】解：由三视图可知：该几何体的体积为； 故答案为． 【跟踪专练1】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 【跟踪专练2】如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查四棱柱，三视图，熟练掌握四棱柱的性质是解题的关键； 根据三视图得出棱柱底面菱形的对角线长分别为，，然后根据菱形的面积公式和棱柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体的形状是直四棱柱，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：48． 【题型11.通过三视图确定小立方体的个数】 【典例】正方体的个数最多为（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从正面看到的图形确定最多的小正方体的个数即可． 【详解】解：从上面看，第一层有5个小正方体，从正面看第二层最多有5个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：D． 【跟踪专练1】由若干个相同的小正方体堆成的几何体，从正面和上面看该几何体得到的形状图如图所示.若最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 【答案】30 【分析】本题考查简单组合体的三视图；先从正面可看出该几何体有三层，再分别在俯视图相应位置小正方体上画出最多和最少时的个数即可. 【详解】解：当摆放的正方体的个数最多时，在俯视图的相应位置所摆放的小正方体的个数如图所示， ∴需要的小正方体的个数为个，即， 当摆放的正方体的个数最少时，在俯视图的相应位置所摆放的小正方体的个数如图所示， ∴需要的小正方体的个数为个，即， ∴. 故答案为：30. 【跟踪专练2】一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数． 【详解】解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； ∴总个数将三列的最多个数相加：． 故选：C． 【题型12.由三视图分析小立方块的最多/最少个数】 【典例】一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有 个，最多有 个． 【答案】 6 8 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体．根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故答案为6，8 【跟踪专练1】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由m个小立方体搭成，最多由n个小立方体搭成，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，最多情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有3个小立方块，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，图1是最少的一种情形下每个位置的小立方块数，图2是最多情形下每个位置的小立方块数， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，根据图形可以判断组成这个几何体最多需要m个小正方体，最少需要n个小正方体，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三视图还原几何体，以及代数式求值，掌握俯视图确定位置，左视图确定个数是解题关键．由俯视图和左视图可知，这个几何体第一层有4个小正方体，第二层最多有4个小正方体，最少有2个小正方体，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由俯视图和左视图可知，这个几何体第一层有4个小正方体，第二层最多有4个小正方体，最少有2个小正方体， 则，， 所以， 故答案为：． 1．一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱体的表面积问题，掌握圆柱表面积的求法是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆柱，再求圆柱表面积即可． 【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，该圆柱底面半径，高， 所以，， 则这个几何体的表面积为． 故答案为：C． 2．一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是几何体的体积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体的形状，然后求其体积． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积． 【详解】解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，， 所以棱柱的体积为：． 故选：C． 3．一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是 种样子． 【答案】/六 【分析】本题考查中心投影． 先判断投影类型，根据题意，列出投影形状的种数即可． 【详解】解：用手电筒照立方体，形成的投影为中心投影， 当投影面与正方体面不平行时，中心投影可能呈现平行四边形； 当投影面与正方体面呈一定角度时，中心投影可能呈现五边形； 当投影面与正方体面存在特定倾斜角度时，中心投影可能呈现六边形； 当投影面与正方体面垂直时，中心投影可能呈现菱形； 当投影面与正方体面平行时，中心投影可能呈现矩形； 当投影面与正方体面完全垂直时，中心投影呈现正方形。 ∴影子可能是种样子． 故答案为： ． 4．如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的左视图及俯视图，根据左视图及俯视图的定义得到该几何体的左视图和俯视图，问题随之得解． 【详解】解：该几何体的左视图为： 左视图的面积为， 该几何体的俯视图为： 俯视图的面积为， 则它的左视图和俯视图的面积之和为． 故答案为：． 5．一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，从左面、上面看到的图如图所示，要摆成这样的图形至少需用 块正方体，最多需用 块正方体． 【答案】 6 7 【分析】本题考查从不同方向看，掌握相关知识是解决问题的关键．结合两个图形，可得该几何体有前后两排，上下两层，由从左面看的图形可得只有后面一排有上层，分层确定所需小正方体的个数，下层共五个小正方体，上层有2个或1个小正方块，即可求得题目． 【详解】解：通过两个图形，可得该几何体有前后两排，上下两层，由从左面看的图形可得只有后面一排有上层，故下层共五个小正方体，上层有2个或1个小正方体，所以至少需用6块正方体，最多需用7块小正方体． 故答案为：6，7． 6．一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行投影，圆锥的计算等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行投影的性质． 当旋转轴垂直于投影面时，正投影为圆锥的底面圆，面积可求底面半径；当旋转轴平行于投影面时，正投影为等腰三角形，面积可求高和母线长；再利用圆锥侧面积公式计算． 【详解】解：当旋转轴垂直于投影面时，正投影是圆锥的底面圆，面积为 ， 设底面半径为 ， 则 ，解得 ． 当旋转轴平行于投影面时，正投影是一个等腰三角形， 底边长为底面直径 ，高为，母线长 ，面积为 ， 由三角形面积公式 ，即 ， 解得 ， 则母线长为， 圆锥的侧面积为 ， 故答案为：． 7．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查三视图、正三角形的性质、勾股定理．根据三视图可知该几何体为三棱柱，底面为高是的正三角形，根据正三角形的几何性质及勾股定理求出正三角形的边长和面积，再根据三棱柱的体积公式即可求解． 【详解】解：由三视图可知该机器零件为三棱柱，如图： 三棱柱底面是高为的正三角形： 如图，正三角形，过A作， ∴，， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴， ∴正三角形的面积为， 故这个几何体的体积是． 故答案为：． 8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（    ） A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查四棱锥表面积的计算，掌握根据三视图确定底面和侧面的形状，分别计算各面面积再求和是解题的关键． 先根据三视图确定四棱锥的底面形状和侧面三角形的情况，再分别计算底面和四个侧面的面积，最后求和得到表面积． 【详解】解：由三视图可知，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面面积为， 侧面是四个全等的等腰三角形，等腰三角形的底为4，斜高可由主视图中的及相关几何关系得出，每个侧面三角形的面积为，四个侧面的总面积为， 所以四棱锥的表面积为． 故选：B． 9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 10．将一个长方体切刀，正好可以切成若干个小正方体，增加的表面积是原长方体表面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了长方体的表面积，正确地判断每一刀增加的表面积是本题解题的关键； 从图中可以发现，共增加了两个正面，个左侧面，两个上面，将小正方体一个面的面积看作单位“”，分别计算出增加的面积与原来的面积作比即可； 【详解】解：将小正方体一个面的面积看作单位“” 增加的表面积为： 原来的表面积为： ； 答：增加的表面积是原来长方体表面积的 故选：C 11．如图1，在平整的地面上，用8个棱长为1的小立方块搭成一个几何体． (1)请在图2所示的网格中依照从正面看到的这个几何体的形状图，画出从左面和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)求这个几何体的表面积（包括与地面接触的部分）； (3)如果保持从左面和上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加_____________个小立方块． 【答案】(1)见解析． (2) (3)1 【分析】本题考查几何体的三视图、表面积计算及空间拼接问题，解题关键是通过分析三视图确定几何体结构，结合视图规则计算或推理． (1)  左视图：从左面看，确定每层小立方块的列数与层数，画出对应形状；俯视图：从上面看，确定底层小立方块的分布，画出对应形状． (2) 计算表面积：分别数出几何体前、后、左、右、上、下（包括地面）各面露出的小正方形个数，每个面面积为1，求和得表面积． (3) 求最多添加小立方块数，根据左视图和俯视图的形状限制，确定每个位置可添加的小立方块数量，求和得最大值． 【详解】（1）从左面看和从上面看到的形状图如图所示： （2）表面积． （3）从左面和上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加1个小立方块． 故答案为1． 12．如图所示的是一个包装纸盒的三视图（单位：cm）． (1)该包装纸盒的几何形状是________； (2)画出该纸盒的平面展开图； (3)计算制作一个这样的纸盒所需纸板的面积（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】(1)正六棱柱 (2)见解析 (3)制作一个这样的纸盒所需纸板的面积约为 【分析】（1）易得此几何体为六棱柱， （2）利用（1）中所求得出该纸盒的平面展开图； （3）根据表面积六边形的面积正方形的面积求出即可． 【详解】（1）解：该包装纸盒的几何形状是六棱柱， 故答案为：正六棱柱. （2）解：如图所示（答案不唯一）． （3）解：由三视图可知，该几何体的上、下底面都是边长为5cm的正六边形，侧面是6个边长为5cm的正方形，则该几何体的表面积为． 故制作一个这样的纸盒所需纸板的面积约为． 【点睛】此题主要考查了几何体的表面积求法，判断出六棱柱的底面及侧面的边长是解题关键． 13．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 14．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】(1)9.6米 (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 15．在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习08.投影与视图期末复习冲刺必备讲义 1 期末复习目标 1.知识目标 掌握核心概念：分清平行投影、中心投影，牢记定义与特征。 明晰视图规范：掌握三视图定义及“长对正、高平齐、宽相等”原则，会用实虚线。 熟知图形关联：能识别常见几何体的三视图和展开图。 2.能力目标 判断能力：能根据光线判断投影类型。 绘图识图：会画简单组合体三视图，能根据三视图还原立体图形。 应用能力：用平行投影性质解决测量问题，能分析展开图与立体图形的关系。 空间想象：提升平面与立体的转化能力。 3应试目标 避易错：牢记易错点，减少失误。 基础题：稳拿投影、三视图、展开图基础题 综合题：能应对简单综合题型。 分数。 中档题：规范完成三视图绘制、计算等中档 题。 期未复习内容概览 期末必备 1.投影的定义及分类 2视图的定义及分类 知识点梳理 3.立体图形的展开图 4.方法总结与易错点提醒 1.平行投影的概念与性质 2中心投影的概念与性质 常考题型 3.单元几何体的三视图识别 4.简单组合体的三视图识别 5.简单组合体的三视图绘制方法 6.画小立方块堆彻图形的三视图 精讲精炼 7.由三视图还原几何体的技巧 8基于三视图求侧面积或表面积 9,小立方块堆彻图形的表面积的计算 10.由三视图求解几何体的体积 11.通过三视图确定小立方体的个数 12.由三视图分析小立方块的做多 最少个数 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 3 期末必备知识点梳理 试卷第1页，共3页 【知识点01.投影)】 投影Projection) 1.定义：用光线照射物体，在某个平面（如地面、墙壁等）上得到的影子叫做 物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2.分类 (1)平行投影(Parallel Projection)):由平行光线形成的投影。 正投影(Orthographic Projection):投影线垂直于投影面产生的投影。 这是绘制三视图的基础。 斜投影(Oblique Projection):投影线不垂直于投影面产生的投影。 (2)中心投影(Central Projection):由同一点（点光源）发出的光线形成的 投影。例如，手电筒、路灯、台灯的光线形成的投影。 3.平行投影与中心投影的区别： 特征 平行投影 中心投影 光线 平行 从一点发出（发散） 光源 太阳（太阳光） 灯泡、手电筒等点光源 影子变化同一时刻，物高与影长成正比 离点光源越近，影子越大 应用 测量物体高度 皮影戏、手影游戏 【知识点02.视图】 1.定义：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视 图。 2.三视图(Three Views): *主视图(Front View):从正面看得到的视图。 *左视图(Left View):从左面看得到的视图。 *俯视图(Top View):从上面看得到的视图。 画三视图的基本要求： 长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正。 高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐。 宽相等：俯视图与左视图的宽相等。 虚实线：看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。 3.常见几何体的三视图： 试卷第2页，共3页 正方体/长方体：主视图、左视图、俯视图均为矩形（或正方形）。 圆柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是圆。 圆锥：主视图和左视图是三角形，俯视图是圆及圆心。 球：主视图、左视图、俯视图均为圆。 【知识点03.立体图形的展开图】 1.定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可 以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2.常见几何体的展开图： 正方体：由6个正方形组成。（共有11种不同的展开图） 长方体：由6个长方形组成。 圆柱：由两个相同的圆和一个长方形组成。 圆锥：由一个圆和一个扇形组成。 3.由展开图想象立体图形：这是一个逆向思维的过程，需要空间想象力。关键 是要识别展开图中的各个面在折叠后如何组合成一个封闭的立体图形。 【知识点04.方法总结与易错点提醒】 1.方法总结 (1)判断投影类型：关键看光线是平行的还是从一点发出的。 (2)解决平行投影问题：利用“同一时刻，物高与影长成正比”的原理，通过 建立比例式求解。 (3)画三视图：严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，注意区分实线 和虚线。 (4)由三视图确定小正方体个数： *先看俯视图，确定底层小正方体的个数和分布。 *再看主视图和左视图，确定各列（或行）的层数，从而确定上层小正方体的个 数和位置。 解决展开图问题： (1)熟悉常见几何体展开图的形状。 (2)对于正方体展开图，掌握其11种类型，并能快速识别相对面（相间、Z端 是对面)。 试卷第3页，共3页 (3)对于复杂展开图，可通过想象折叠过程或动手操作来确定各面的位置关系。 2.易错点提醒 1.混淆平行投影和中心投影：注意区分太阳光（平行投影）和灯光（中心投 影)。 2.画三视图时漏画或错画虚线：对于被遮挡的轮廓线，一定要用虚线画出。 3.对“宽相等”理解不清：俯视图和左视图的宽相等，但要注意宽的方向。 4.由三视图确定小正方体个数时出错：容易忽略某些位置的小正方体，或错误 判断层数。建议在俯视图上用数字标注每层的小正方体个数。 5.正方体展开图中相对面判断错误：特别是在复杂的展开图中，容易将相邻面 误认为是相对面。 常考题型精讲精练 【题型1.平行投影的概念与性质】 【典例】下列光源所形成的投影是平行投影的是() A.蜡烛 B.太阳 C.台灯 D.电灯 【跟踪专练1】如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高 度.阳光下他测得长1.5m的竹竿落在地面上的影长为1.2m,在同一时刻测量树的影长时， 他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上.他测得这棵树落在地面上 的影长BD为3.6m,落在墙面上的影长CD为1.3m,则这棵树的高度是一 【跟踪专练2】如图，一块面积为4cm的三角形硬纸板（记为△ABC)平行于投影面时， 在点光源”的照射下形成的投影是△4G,若OB:BA=2:3,则△A8C的面积是 ，若 试卷第4页，共3页 6cm2 B.9cm2 C.10cm2 25cm2 A D. 【题型2.中心投影的概念与性质】 【典例】如图1是我们小时候常玩的手影游戏.在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米， 光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原 来的一半，则小明的手与光源的距离应（填“增加”或“减少”）米。 影 光源 、为 图1 图2 墙 【跟踪专练1】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即 OB=8米)，此时在地面留下的影子为BN,小铭从点B处沿OA所在的直线行走12m到点 A时（即AB=12米），人影长度AM会比BN() B N 10 y M A.变长3m B.变长4m C.变短3m D.变短4m 【跟踪专练2】小明家的客厅有一张直径为l4m,高0.8m的圆桌BC,在距地面 2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE·如图，根据题意，以1m为1个单位长度 建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为 (2,0 ,则点E的坐标是一 试卷第5页，共3页 2.4 【题型3.单一几何体的三视图识别】 【典例】由景德镇创作的“春碗”亮相2025年春晚，“春碗”不仅是一件精美的陶瓷艺术 品，更是春节文化传承与创新的生动见证，其包含的青花瓷元素更是景德镇四大传统名瓷 之一.如图为一个青花瓷碗，则它的俯视图是() 【跟踪专练1】已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6cm的等边三角 形，主视图的长为8cm的矩形，则该几何体的左视图的面积为cm. 主视图 左视图 俯视图 【跟踪专练2】小贤向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(单位：Cm)与注水时间t (单位：s)的函数关系图象如图所示，选项中是各种水壶的主视图，则小贤使用的水壶的 形状大致是() 试卷第6页，共3页 h/cm t/s D 【题型4.简单组合体的三视图识别】 【典例】如图是由五个相同的正方体搭成的几何体 正面 ① ② ③ ④ ⑤ (1)这个几何体的主视图是一（填序号）： (2)这个几何体的左视图是一（填序号）： (3)这个几何体的俯视图是（填序号）· 【跟踪专练1】由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是() 主视方向 试卷第7页，共3页 【跟踪专练2】图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图 ②)·对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是一（填字母）· 正面 正面 图① 图② 【题型5.简单组合体的三视图绘制方法】 【典例】如图，小明画出了某几何体的三种视图，其中正确的是() 几何体 ①主视图 ②左视图 ③俯视图 A.①② B.①③ C.②③ D.② 【跟踪专练1】如图，5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，请在方格纸中用实线画 出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图 正面 从正面看 从左面看 从上面看 【跟踪专练2】如图所示的几何体，其左视图是() 主视方向 B 试卷第8页，共3页 【题型6.画小立方块堆彻图形的三视图】 【典例】六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是() 正面 【跟踪专练1】用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图 形，己知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不 涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为平方分米. 【跟踪专练2】如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体 随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是() ② ① ⑤ ④ ③ 正而 4 A C.5 D. 5 试卷第9页，共3页 【题型7.由三视图还原几何体的技巧】 【典例】从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为() 从正面看 从左面看 从上面看 A.圆柱 B.棱柱 C.球 D.圆锥 【跟踪专练1】一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面 积S是 (结果保留π)· 4一4 从前面看 从左面看 从上面看 【跟踪专练2】某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是() D 【题型8.基于三视图求侧面积或表面积】 试卷第10页，共3页