精品解析：吉林市长春市部分学校2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年上期末检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解长春市中学生艺术展演活动中全市师生最喜爱的节目 B. 检查坐轻轨乘客是否携带违禁物品 C. 选出某班跳绳成绩最好的同学参加学校运动会 D. 调查某校篮球队员的身高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的定义，熟练掌握抽样调查的定义是解题的关键． 抽样调查适用于总体较大、难以全面调查的情况，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、总体为全市师生，数量大，全面调查不现实，适合抽样调查； 选项B、轻轨安检需全面检查以确保安全； 选项C、某班学生人数少，可全面测试； 选项D、校篮队员人数有限，可全面测量， 故选：A． 2. 如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点，， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，点、、在同一条直线上，阴影部分是一个正方形，连接，则该正方形的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据正方形的面积为，进行解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在中，、， 由勾股定理得， 因此正方形的面积为， 故选：B． 4. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 5. 如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 以上都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 观察图形可知，已知两角以及两角的夹边，由此即可得到答案． 【详解】解：由图知，三角形未被墨迹污染的边剩下一条，角剩下两个，且边为两角夹边， 这两个三角形完全一样的依据是， 故选：C． 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将展开化简，再根据已知条件变形得到的值，最后代入化简后的式子计算．本题主要考查了多项式乘法的展开以及整体代入思想，熟练掌握多项式乘多项式法则并能根据已知条件进行整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ∴, ∴，即， 故选：C ． 7. 已知长方形的面积为，一边长为，则其周长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式、整式的加减的应用，先根据长方形的面积公式求出另一边长，再根据长方形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为， ∴另一边长为， ∴长方形的周长为， 故选：D． 8. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为 ． 10. 为了解某校七年级名学生每天的阅读时间，从中抽取了名学生进行调查，在这次抽样调查中，样本容量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本的容量的定义即可得出答案，样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位． 【详解】抽取了名学生进行调查 在这次抽样调查中，样本容量是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了样本的容量的定义，理解定义是解题的关键． 11. 如图，，若，，则的度数为______  度 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】2.4 【解析】 【分析】先根据平角的定义可得，进而可得是等边三角形，则可得 （米）． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由题知， ∴是等边三角形， ∴（米）． 故答案为：2.4． 13. 如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 14. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为或满足两边平方和等于第三边的平方． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②设，则， 解得， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵，即，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故④符合题意； ⑤设，则，， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴不是直角三角形． 故能确定是直角三角形的条件有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，计算幂的乘方、同底数幂的乘除法，最后合并同类项即可，解题的关键是掌握整式混合运算的顺序及相关运算的法则． 【详解】解：原式， ， ． 16. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 17. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 18. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，作线段（画一条即可）； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 【答案】（1） 如图①，即为所求； （2）如图②，线段即为所求（答案不唯一）； （3）如图③，线段即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质作图即可； （2）根据垂线的性质作图即可； （3）取格点，作等腰直角三角形，画线段，使，即可获得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 20. 已知的算术平方根是2，的立方根是． （1）求的平方根； （2）若代数式中不含项和项，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根、立方根、多项式乘以多项式等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）先根据算术平方根和立方根可求出的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先将，代入计算多项式乘以多项式，再根据不含项和项可得含项和项的系数等于0，据此求出的值，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是2， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【小问2详解】 解：由（1）已得：，， ∴ ， ∵代数式中不含项和项， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 22. （深度求索）是一款人工智能模型，该制作团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数． 【答案】（1）200；10 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，根据统计图得到信息是解题的关键． （1）用选项A的问卷份数除以所占的比例求出抽取的调查问卷的总份数，再求出选项D所占的比例即可； （2）由（1）知抽取的调查问卷共份，进而选项C的问卷份数，补全条形图即可； （3）用乘以选项A所占的比例进行求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知：选项A有70份，占抽取调查问卷的， 因此，抽取的调查问卷共份， 选项D有20份，则， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：由（1）知，抽取的调查问卷共份，则选项B有份， 则条形统计图为： 【小问3详解】 解：， 因此，扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为． 23. 已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． （1）填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； （2）如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）的长为10或2 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到、和，进而证得，从而得到； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质，证得为等边三角形，进而证得，从而得到； （3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上或点在线段上时，作交于点，通过证得，进而得出，从而求解即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，点为中点， 、、， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，证明如下： 是等边三角形，， ， ， 为等边三角形， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：的长为10或2，理由如下： 当点在线段的延长线上时，作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， 、， 点为中点， 、， ， ， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； 当点在线段的上时，作交于点，如图： 同理可证明、， ， 综上所述，的长为10或2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． （1）______cm； （2）若点运动到的中点时，求的值； （3）当为直角三角形时，求的值； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2） （3）的值为4或 （4）的值为5或8或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由（1）知，点运动到的中点时，得到的长度，进而求出的值； （3）分两种情况讨论：①当为直角时，点与点重合和②当为直角时，分别求出此时的的值即可； （4）分三种情况讨论：①当、②和③时，分别求出的长度，进而求出的值． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：由（1）知，点运动到的中点时，， 动点从点出发沿射线以的速度运动， 则； 【小问3详解】 解：根据题意可知，为直角三角形如图： ①当为直角时，点与点重合， 则，即， 解得； ②当为直角时，，， 则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 解得， 因此，当为直角三角形时，的值为或； 【小问4详解】 解：根据题意得，，为等腰三角形如图： ①当时，， 解得； ②当时， ， ， ， 解得； ③当时，，、， 在中，， 解得， 综上所述，当为等腰三角形时，的值为5或8或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年上期末检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解长春市中学生艺术展演活动中全市师生最喜爱的节目 B. 检查坐轻轨乘客是否携带违禁物品 C. 选出某班跳绳成绩最好的同学参加学校运动会 D. 调查某校篮球队员的身高 2. 如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点、、在同一条直线上，阴影部分是一个正方形，连接，则该正方形的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 4. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 5. 如图，小周书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A. B. C. D. 以上都正确 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知长方形的面积为，一边长为，则其周长为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：________． 10. 为了解某校七年级名学生每天的阅读时间，从中抽取了名学生进行调查，在这次抽样调查中，样本容量是______． 11. 如图，，若，，则的度数为______  度 12. 如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 13. 如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为___________． 14. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有______（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 17. 先化简，再求值 ，其中，． 18. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，作线段（画一条即可）； （3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）． 20. 已知的算术平方根是2，的立方根是． （1）求的平方根； （2）若代数式中不含项和项，且，求的值． 21. 如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 22. （深度求索）是一款人工智能模型，该制作团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）抽取的调查问卷共______份，______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数． 23. 已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． （1）填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； （2）如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； （3）当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． （1）______cm； （2）若点运动到的中点时，求的值； （3）当为直角三角形时，求的值； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $