期末复习06图形的相似期末冲刺必备讲义（1）义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理图形的相似知识体系，将成比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形等6大知识点按“定义-性质-判定-应用”逻辑分层，用框架图呈现比例性质、相似判定等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+跟踪专练”的分层设计，如黄金分割应用中佛山电视塔高度计算的实例，结合易错点分析强化对应关系认知，培养推理意识和几何直观。压轴题专项突破助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习指导。

期末复习06图形的相似期末冲刺必备讲义（1) 期末复习内容概览 期末必备 1.成比例线段 2.平行线分线段成比例 知识点梳 3.相似多边形 4相似三角形 理 5.常见题型及解题方法 6.易错点分析 1.比例的基本性质 2.比例线段的概念 常考题型 3.成比例线段的判定与表示 4.黄金分割的定义与应用 精讲精炼 5.由平行线判定成比例线段 6利用平行线截线求线段的长度或比值 7相似图形的概念与特征 8.相似多边形的定义 9.相似多边形的性质 10.相似三角形的条件补充与选择 11.相似三角形的判定的综合运用 12.相似三角形的实际应用 期末备考 压轴题(16题) 压轴通关 期未必备知识点梳理 【知识点01.成比例线段】 1.比例的基本性质 定义：如果两个数的比值相等(b、d≠0)，即a/b=c/d,那么这四个数a、 b、c、d叫做成比例线段”， 基本性质：如果a/b=c/d,那么ad=bc 逆定理：如果ad=bc(b、d≠0)，那么a/b=c/d 2.合比性质 如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d 如果a/b=c/d,那么(a-b)/b=(c-d)/d 3.等比性质 如果a/b=c/d=..=m/n(b+d+..+n≠0)，那么(a 试卷第1页，共3页 +c+..+m)/(b+d+..+n)=a/b 4.黄金分割 定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC/AB=BC/AC,那么称 线段AB被点C黄金分割 黄金比：黄金分割的比值约为0.618 计算：如果AB=1,那么AC=(51)/2≈0.618，BC=35)/2≈0.382 【知识点02.平行线分线段成比例】 1.基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图：如果11∥12∥13，那么AB/BC=DE/EF 2.推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 如图：在△ABC中，如果DE∥BC,那么AD/DB=AE/EC 3.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图：如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE∥BC,DE=1BC 【知识点03.相似多边形】 1.定义 各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形的对应边的比叫做相似比 2.性质 相似多边形的对应角相等 相似多边形的对应边成比例 相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形的面积比等于相似比的平方 3.判定 各角分别相等，各边成比例 【知识点04.相似三角形】 试卷第1页，共3页 1.定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形的对应边的比叫做相似比 2.判定 AA（角角)：两角分别相等的两个三角形相似 SS(边角边)：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 SSS(边边边)：三边成比例的两个三角形相似 L(斜边直角边)：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 3。性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 4.应用 测量高度：利用相似三角形的性质测量物体的高度 测量距离：利用相似三角形的性质测量物体之间的距离 【知识点05.常见题型及解题方法】 1.比例线段的计算 利用比例的基本性质、合比性质、等比性质进行计算 注意单位的统一 2.平行线分线段成比例的应用 利用基本事实和推论进行计算和证明 注意对应线段的对应关系 3.相似多边形的性质应用 利用相似多边形的性质进行周长和面积的计算 注意相似比的平方在面积计算中的应用 【知识点O6.易错点分析】 1.比例线段的计算：容易出现单位不统一的问题，需要注意单位的统一。 试卷第1页，共3页 2.相似三角形的判定：容易出现对应边和对应角的对应关系错误，需要注意对应 关系。 常考题型精讲精练 【题型1.比例的基本性质】 芳号那么出的值是（) 【典例】如果上=2 Cx+y B.5 C. D.-5 643,则+5 【跟踪专练1】若=上=， 3y-2z 的值为 【龈踪专练2】若名合号，且6+d:0,则下列各式正确的是() a+c 2 A. B.2c=3d C.a-b 1 D. b_2 b+d 3 atb 5 【题型2.比例线段的概念】 【典例】在比例尺为1：5000000的地图上量得两地的距离是7cm,那么这两地的实际距离是 km. 【跟踪专练1】在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度 比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m,设它的下部的高度应设计为xm, 则x满足的关系式为() A.（2-x:x=x:2 B.x:2-x)=2-x):2 C.(1-x:x=x:1 D.1-x:x=1:x 【跟踪专练2】如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB,使BD=AB:连接DA, 在DA上截取DE=DB;在AB上截取4C=AE,则BC的值是 AB D B 【题型3.成比例线段的判定与表示】 【典例】下面四组线段中不能成比例线段的是() 试卷第1页，共3页 A.3、6、2、4 B.4、6、8、10 C.1、√2、5、√6 D.5、√5、2、23 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE交对角线AC于点F.若 AC=6,则AF的长为 E D 【跟踪专练2】a,b,c,d是成比例线段，其中a=3cm,c=6cm,d=8cm,则线段b 的长为() A.Icm B.2cm C.4cm D.9cm 【题型4.黄金分割的定义与应用】 【典例】佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P(点A、P、B在同一 直线)恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP,则P点到底部B之间的距离是 (结果保留根号)； B 【跟踪专练1】黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中.如图， 已知点P是笛子AB的黄金分割点(BP>AP),若笛子AB长50cm,则PB长为() A D B A.25W5-1cmB.253-V5cm c.5-1 D.3-5 【跟踪专练2】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即5-），则该矩形叫黄金矩形.黄 2 金矩形给我们以协调的美感.如图，黄金矩形ABCD的长边AB=1,则它的周长为】 试卷第1页，共3页 B 【题型5.由平行线判定成比例线段】 【典例】如图，DE∥BC,则下列比例式错误的是() D AD DE AD AE A. B. C.AB_AC BD EC D.AD、AE BD BC BD EC AB AC 【跟踪专练1】如图，点A,B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与 网格线的交点，则AC的长为 A B 【跟踪专练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，DE⊥BC于点 E,若AB=10,BC=6,则DE的长为() B D E中 A.2V34 B.4 C.10 D.51 【题型6.利用平行线截线求线段长度或比值】 【典例】如图，4,2，l,L4是一组平行线，I,l。与这组平行线依次相交于点A,B,C,D和E ,F,G,H.若AB:BC:CD=2:3:4,EG=10,则EH的长为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，4∥2∥1，两条直线与这三条平行线分别交于A,B,C和D,E,F, 若B3 BC=2’DF=10,则EF的长是() E 13 A.2 B.4 C.6 D.8 【跟踪专练2】.如图，在ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交 BC于点E,若BF:FD=3:1,BC=16,则CE的长为 【题型7.相似图形的概念与特征】 【典例】下列各组图形中，一定相似的有() ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为40°的 两个菱形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是 2 1.5 3 2.5 甲 乙 丙 【跟踪专练2】下列命题正确的是() A.等边三角形都是相似图形： B.矩形都是相似图形： C.菱形都是相似图形： 试卷第1页，共3页 D.等腰三角形都是相似图形， 【题型8.相似多边形的定义】 【典例】对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是」 【跟踪专练1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图 形对应边平行，则外框与原图一定相似的是() 三角形 矩形 正六边形 A.正六边形 B.矩形和正六边形 C.三角形和矩形 D.三角形和正六边形 【跟踪专练2】下列各组多边形中，一定相似的是 (填序号). ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形 【题型9.相似多边形的性质】 【典例】如图，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、BC上，且AD=3DE,BC=3CF, 连接EF,若矩形DEFC与矩形ABCD相似，则AB:BC的值为() B A.√2 B. 2 C.5 D.3 3 【跟踪专练1】如图，己知矩形ABCD∽矩形CFED,点D,C分别在线段AE,BF上， 若AB=3,BC=5,则线段CF的长为一 试卷第1页，共3页 D 【跟踪专练2】如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=2m,按图中所示的方式将它截 成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 AE AD ,那么a的值是() AD AB D A.√5 B.4 C.2√2 D.8 【题型10.三角形相似的条件补充与选择】 【典例】如图，点D是ABC的边AB上的一点，AD=3,BD=1,当AC=时， △ABC∽△ACD B 【跟踪专练1】如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() B E A. AB AC AB BC AD AE B.∠B=∠D C.∠C=∠AED D. AD DE 【跟踪专练2】如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，请添加一个条件： 使△ADC∽△ACB. 试卷第1页，共3页 【题型11.相似三角形判定的综合运用】 【典例】如图，在ABC中，∠B=60°，AB=6,BC=8,将ABC沿图中的DE剪开，剪 下的阴影三角形与原三角形不相似的是() B60 A. B 609 B60 B60 609 D D A 3 4 C D D BA60 【跟踪专练1】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点 E,则图中的相似三角形共有 对 D 【跟踪专练2】如图，DE∥AB,∠1=∠3，则图中的相似三角形共有() D 3入 B A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 【题型12.相似三角形的实际应用】 【典例】阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）.己知亮区 到窗口下墙脚的距离EC=4.5m,窗口高AB=l.8m,则窗口底边离地面的高BC为m. 试卷第1页，共3页 期末复习06图形的相似期末冲刺必备讲义（1） 期末必备 知识点梳理 1.成比例线段 2.平行线分线段成比例 3.相似多边形 4相似三角形 5.常见题型及解题方法 6.易错点分析 常考题型 精讲精炼 1.比例的基本性质 2.比例线段的概念 3.成比例线段的判定与表示 4.黄金分割的定义与应用 5.由平行线判定成比例线段 6.利用平行线截线求线段的长度或比值 7.相似图形的概念与特征 8.相似多边形的定义 9.相似多边形的性质 10.相似三角形的条件补充与选择 11.相似三角形的判定的综合运用 12.相似三角形的实际应用 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.成比例线段】 1.比例的基本性质 定义：如果两个数的比值相等（b、d ≠ 0），即 a/b = c/d，那么这四个数 a、b、c、d 叫做成比例线段”， 基本性质：如果 a/b = c/d，那么 ad = bc 逆定理：如果 ad = bc（b、d ≠ 0），那么 a/b = c/d 2.合比性质 如果 a/b = c/d，那么 (a+b)/b = (c+d)/d 如果 a/b = c/d，那么 (a-b)/b = (c-d)/d 3.等比性质 如果 a/b = c/d = ... = m/n（b+d+...+n ≠ 0），那么 (a+c+...+m)/(b+d+...+n) = a/b 4.黄金分割 定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC/AB = BC/AC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 黄金比：黄金分割的比值约为 0.618 计算：如果 AB = 1，那么 AC = (-1)/2 ≈ 0.618，BC = (3-)/2 ≈ 0.382 【知识点02.平行线分线段成比例】 1.基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图：如果 l₁∥l₂∥l₃，那么 AB/BC = DE/EF 2. 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 如图：在△ABC 中，如果 DE∥BC，那么 AD/DB = AE/EC 3. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图：如果 D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE∥BC，DE = BC 【知识点03.相似多边形】 1.定义 各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形的对应边的比叫做相似比 2. 性质 相似多边形的对应角相等 相似多边形的对应边成比例 相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形的面积比等于相似比的平方 3. 判定 各角分别相等，各边成比例 【知识点04.相似三角形】 1.定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形的对应边的比叫做相似比 2. 判定 AA（角角）：两角分别相等的两个三角形相似 SAS（边角边）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 SSS（边边边）：三边成比例的两个三角形相似 HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 3. 性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 4. 应用 测量高度：利用相似三角形的性质测量物体的高度 测量距离：利用相似三角形的性质测量物体之间的距离 【知识点05.常见题型及解题方法】 1.比例线段的计算 利用比例的基本性质、合比性质、等比性质进行计算 注意单位的统一 2. 平行线分线段成比例的应用 利用基本事实和推论进行计算和证明 注意对应线段的对应关系 3. 相似多边形的性质应用 利用相似多边形的性质进行周长和面积的计算 注意相似比的平方在面积计算中的应用 【知识点06.易错点分析】 1.比例线段的计算：容易出现单位不统一的问题，需要注意单位的统一。 2.相似三角形的判定：容易出现对应边和对应角的对应关系错误，需要注意对应关系。 【题型1.比例的基本性质】 【典例】如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，已知比例关系，可设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设,（其中）， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握该性质． 根据比例的性质，由已知条件可直接得出选项A正确；其他选项通过代入比例关系验证均错误． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 【题型2.比例线段的概念】 【典例】在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设这两地的实际距离是，根据题意得，然后求出的值，再进行单位换算即可，掌握比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：设这两地的实际距离是， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为：． 【跟踪专练1】在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出比例方程，设它的下部的高度应设计为，则上部高为，根据题意得，解题的关键是根据比例关系正确列出等式． 【详解】解：设它的下部的高度应设计为，则上部高为， 根据题意得， 故选：． 【跟踪专练2】如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 【题型3.成比例线段的判定与表示】 【典例】下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 【跟踪专练1】如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键，由矩形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【跟踪专练2】，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 【题型4.黄金分割的定义与应用】 【典例】佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解答本题的关键是掌握黄金比是．根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离． 【详解】解：由题意可得， 则底部到球体之间的距离米， 故答案为：． 【跟踪专练1】黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知点是笛子的黄金分割点（），若笛子长，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割． 根据黄金分割点的定义，计算即可． 【详解】解：∵点是笛子的黄金分割点，， ∴， ∵笛子长， ∴， ∴长为． 故选：A． 【跟踪专练2】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金比，矩形的周长，由题意可得，即得，进而根据矩形的周长公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 【题型5.由平行线判定成比例线段】 【典例】如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 【题型6.利用平行线截线求线段长度或比值】 【典例】如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 【跟踪专练1】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【题型7.相似图形的概念与特征】 【典例】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 【跟踪专练2】下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、等边三角形都是相似图形，故该选项符合题意； B、矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； C、菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 【题型8.相似多边形的定义】 【典例】对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 【跟踪专练1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 【跟踪专练2】下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 【题型9.相似多边形的性质】 【典例】如图，点、分别在矩形的边、上，且，，连接，若矩形与矩形相似，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质得到，结合题意得到，即可求出结果． 【详解】解：矩形与矩形相似， ，即， ∵， ∴， ， ：， 故选：． 【跟踪专练1】如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质． 由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 【题型10.三角形相似的条件补充与选择】 【典例】如图，点D是的边上的一点，，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据，当时，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型11.相似三角形判定的综合运用】 【典例】如图，在中，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ，故选项不符合题意； B、，， ，故选项不符合题意； C、，，，， ，， ， ， ，故选项不符合题意； D、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，，则图中的相似三角形共有（   ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 【题型12.相似三角形的实际应用】 【典例】阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为 ． 【答案】 【分析】根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得， ，， ， ， ， ． 故答案为：. 【点睛】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似三角形的性质，对应线段成比例解题． 【跟踪专练1】小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可知，，，，得，，，进而根据可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 1．已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，一次函数的性质．由比例关系求出的值，再代入直线方程讨论所经象限． 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． 2．如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，即，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选:D． 3．如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 5．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 6．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置 （填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，即三边对应成比例的两个三角形相似. 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，    计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时， 计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 7．如图，为边上一点，，则 ． 【答案】/ 【分析】作的中垂线交于点F，交于点E，得到，确定，设，则根据勾股定理，解答即可． 本题考查了中垂线，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：作的中垂线交于点F，交于点E， 故， ， 又， ， ， ， 由， ， ， 设， 则 根据勾股定理，得， 解得 故 故答案为：． 8．给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥ 【分析】本题考查相似图形的判定，掌握相似图形的对应角相等、对应边成比例，结合各类图形的性质判断是解题的关键． 逐一分析每组图形，根据相似图形的定义判断是否一定相似． 【详解】解：①两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ②两个直角三角形除直角外其他角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ③两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似； ④有一个内角是的两个等腰三角形，角可能是顶角或底角，因此角不一定对应相等，故不一定相似； ⑤两个正五边形所有内角相等且所有边成比例，故一定相似； ⑥有一个内角是的两个等腰三角形，角只能是顶角，因此两个三角形的角都相等，且对应边成比例，故一定相似． 故答案为：⑤⑥． 9．如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出得到，则，即可解答． 【详解】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 10．矩形中，，，点E是边上的一点，沿过点E的直线折叠，使点B落在对角线上的点F处，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，当和时，结合图象进行解题． 【详解】解：矩形中，，， 如图，当折痕为，时， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得，， ∴， 设，则， 则有， 即， 解得：； 如图，当折痕为，时，， 由折叠可知，， 设，则， ∵， ∴∽， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3或 ． 11．已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；②当时，不防令，则． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②当时，不防令，则． 综上，k值1或． 12．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 13．如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，解题关键是熟练运用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一核心性质，推导证明结论． 14．【问题背景】 2021年7月，第14届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标（如图1）设计的基本思想来自《河图》，会标中蕴含丰富的数学知识，请观察、思考、探究： 【观察】（1）如图2，《河图》是中华文明之源，由1、2、3……10这10个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的5个数（8、3、10、4、9）之和为34，纵向上的5个数（7、2、5、1、6）之和为21，这两个数字是相邻的斐波那契数（斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列．请直接写出该黄金分割数列中第13个数为________． 【思考】（2）会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出勾股定理的一个绝妙证明．如图3，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，点E是的黄金分割点，求正方形与正方形的面积之比． 【探究】（3）会标右下方“”下面的“卦”是中国古代某个数进制（正整数进制且十进制以内）的计数符号表示为3745，换算成十进制数为2021，即表示开会年份，请通过计算说明，此“卦”是几进制？（譬如二进制数制是一种以2为基数的数制．在二进制数制中，每个数字位只能是0或1．二进制数在计算机科学和数字电子学中非常重要，因为它们是计算机和数字设备处理和存储数据的基础．二进制数的每一位代表2的幂次，从右到左，位权依次是，，，，……，因此二进制数1011可表示为．） 【答案】（1）233；（2）（3）八进制 【分析】（1）斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，从2开始，后面的数等于前面两个数的和，于是数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、于是得到数列中第13个数为233． （2）设，则，，根据勾股定理，得，，解答即可． （3）根据3745，换算成十进制数为2021，一定不是十进制，数值中最大数字是7，且数值变成2021时，在减小，故可能是八进制或九进制，解答即可． 本题考查了规律探索，勾股定理，正方形的面积，进制，熟练掌握定理和规律是解题的关键． 【详解】（1）解：斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，从2开始，后面的数等于前面两个数的和，于是数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、于是得到数列中第13个数为233． 故答案为：233． （2）解：设，则，， 根据勾股定理，得，， 正方形与正方形的面积之比为：． （3）解：根据3745，换算成十进制数为2021，一定不是十进制，数值中最大数字是7，且数值变成2021时，在减小，故可能是八进制或九进制， 当是八进制时，，符合题意； 当是九进制时，，不符合题意； 故进制是八进制 15．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是： ； 【问题提出】 (2)如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：； 【问题解决】 (3)如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形以及正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质推出，然后证明即可求出和的数量关系; （2）先证明得到．进而证明从而根据对应边成比例整理可得结论; （3）根据正方形的性质构造，并由相似比求出的长度，然后在中通过勾股定理建立关于正方形边长的方程，即可求解． 【详解】（1）和是等边三角形， ． 在和中， ． ． 故答案为：． （2）和是等腰三角形，且， 两个等腰三角形的底角也相等． ． ，即． ， ． ． ，即 （3）如图，连接， 根据正方形的性质，，， ． ． ． 设，则． 在中，， ，解得（舍去），． 故正方形的边长为． 16．已知，将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上． (1)如图（1）当时，的度数为 ． (2)如图（2）过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，写出线段与的数量关系，并证明． (3)当时，直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点，通过平行线、借助中点构造全等三角形是解题的关键． （1）由旋转的性质得，即可求出的度数； （2）取的中点，连接交的延长线于点，连接，易证 ，得到，由旋转性质得，通过旋转及，易得，从而证明，可得，再通过证明，可得，即得，从而证出； （3）由，，可得，设，则，由（2）可知，，即，因此，可得． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上，， ，， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 如图所示，取的中点，连接交的延长线于点，连接， ， ， ，， ， ， 将绕点逆时针旋转得，使点的对应点落在直线上， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 设，则， 由（2）可知，，即， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $