第02讲 等差数列讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）讲义-2026届高三数学二轮复习专题（新高考通用）

该高中数学高考复习资料聚焦等差数列核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和、性质、最值等高考必考点，按基础概念、性质应用、综合拓展的逻辑层次组织知识点。通过知识要点梳理构建体系，解题策略指导提炼方法，题型归纳（18类细分题型）结合典型例题与变式训练，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于分层学习目标适配不同层级考生，创新采用基本量法与性质优先法结合的解题策略，培养数学运算和逻辑推理素养。如在最值问题中通过二次函数法与邻项变号法对比教学，数学文化题型融入《九章算术》等实例，配合分层次巩固练习，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第02讲 等差数列 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 11 题型归纳 12 题型01：等差数列的定义 12 一：验证某数是否为等差数列中的项 13 二：等差数列的判断 15 题型02：等差数列的通项公式 16 一：利用等差数列定义求通项 16 二：利用前n项和求通项 17 题型03：等差数列通项公式的应用 20 题型04：等差中项及其应用 21 题型05：等差数列的性质 22 题型06：等差数列前n项和的有关计算 24 一：利用基本量求值 24 二：结合等差数列的性质（等差中项）解题 26 题型07：等差数列前n项和的性质 28 题型08：等差数列与函数的关系 29 题型09：等差数列前项和的最值问题 33 一：单选题 33 二：多选题 36 三：填空题 37 四：解答题 39 题型10：等差数列片段和的性质 40 题型11： 等差数列前n项和与n的比值问题 42 题型12：两个等差数列前n项和之比 45 题型13：等差数列的奇偶项和问题 48 题型14： 含绝对值的等差数列的前n项和 50 题型15： 等差数列的判定与证明 53 题型16：等差数列中对称设项法的应用 57 题型17：等差数列的综合问题 58 题型18： 数学文化中的等差数列问题 61 巩固提升 65 差数列是高考数学的常考核心考点，近3年高考数学全国卷及新高考卷中相关考点考查频率达8次， 命题兼顾基础与综合，梯度清晰适配不同层次考生。 一、 考查占比与题型分布 1. 分值占比：单题分值4-17分，整套试卷中该知识点总分值占比约5%-8%，是小题拿分、大题稳分的关键板块。 2. 题型分布：选填题多单独出题，考查基础知识点，难度偏易，比如2025全国二卷第7题、北京卷第5题；解答题多为中档题，常和等比数列、求和公式综合考查，如2024新高考I卷第19题，也会在压轴题中结合新定义、新情景出题，难度偏大。 3. 高频考区：新高考卷更侧重解答题的综合应用，全国甲乙卷侧重选填题的基础计算与性质应用，天津、上海卷则会在解答题中设置独立的等差数列设问。 二、 核心考查考点 1. 基础必考点：基本量计算是高频考题，围绕首项、公差d、通项 、前n项和，考查“知三求二”的方程思想，近5年多套试卷选填题均有涉及。 2. 常考重点：等差数列的判定与证明、中项性质、项与前n项和的性质，、前n项和的分段性质，多在解答题第一问和中档选填题出现。 3. 难点拓展点：前n项和的最值求解、奇偶项讨论、含绝对值的等差数列问题，还会结合函数、不等式、实际情景综合命题，压轴题中还会出现新定义类等差数列衍生题型，侧重考查知识迁移能力。 三、 命题趋势 1. 基础题型稳定：基本量计算、基础性质应用的选填题会长期保留，题目难度不会大幅提升，是考生必拿分题型。 2. 综合考查深化：解答题中，等差数列与等比数列的综合出题频率最高，同时和函数、不等式、数学文化的结合考查逐渐增多，对知识整合能力要求提升。 3. 创新题型增多：新定义、新情景类题目成为压轴题新方向，题目灵活度高，侧重考查数学抽象、数学运算核心素养，区分度较强。 四、 备考侧重建议 1. 夯实基础：熟练掌握通项公式、前n项和公式，确保基本量计算类题目解题快且准，不丢基础分。 2. 吃透性质：重点熟记等差数列的项、和相关性质，掌握“性质优先用”的解题思路，提升选填题解题速度。 3. 突破综合：针对性练习等差数列与等比数列的综合题，总结通项证明、求和的固定解题步骤，同时强化与函数、不等式结合题的解题逻辑。 4. 拓展创新：适量练习新定义类数列题，培养快速理解新规则、迁移已有知识解题的能力。 等差数列 精准学习目标（适配高考，分3层级） 一、基础层级（保底必拿分，对应高考选填基础题） 1. 牢记等差数列2个核心公式：通项公式、前n项和公式能熟练变形。 2. 掌握基本量思想：明确首项a_1、公差d是核心量，实现“知三求二”（已知、 、中3个，求剩余2个），计算零失误。 3. 理解等差数列定义：能根据定义判断简单数列是否为等差数列。 二、提升层级（稳抓中档分，对应高考选填中档题+解答题第1问） 1. 吃透5大核心性质，做到性质优先用（提速提准确率） ◦ 下标和性质： ◦ 中项性质：等差中项）；和的中项特征 ◦ 和的性质： ◦ 奇偶项性质： ◦ 通项与和的关联： 2. 掌握2种核心判定/证明方法：定义法、等差中项法 3. 会求前n项和的最值：2种方法（配方法转化为二次函数、通项正负分界法）灵活切换。 三、拔高层级（冲刺高分，对应高考解答题第2问+压轴创新题） 1. 能处理综合题型：熟练对接等比数列、函数（如与一次函数、与二次函数关联）、不等式、数列不等式放缩，构建解题逻辑链。 2. 攻克易错拓展题型：含绝对值的等差数列求和、含参数的等差数列存在性问题、等差衍生数列（如子数列、差数列）分析。 3. 适配创新题型：能快速解读新定义等差类数列（如“等差子数列”“绝对等差数列”），迁移核心知识解题。 4. 落实核心素养：提升数学运算（复杂计算快准）、逻辑推理（证明严谨）、数学抽象（新情景转化）能力，适配高考命题趋势。 目标自查清单（快速对标） 基础：基本量计算100%对；提升：性质应用+判定证明无卡点；拔高：综合题能梳理解题步骤 知识点一 等差数列的定义 1．一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2．等差数列的定义可用数学符号语言描述为：对任意的均成立或对任意的均成立. 注： (1)“从第项起”是因为首项没有前一项. (2)如果一个数列不是从第项起，而是从第项起或第项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项起或第项起该数列是一个等差数列. (3)注意定义中“同一个常数”，可理解为从第项起，每一项与前一项的差是常数且是同一个常数，则这个数列是等差数列，如果不是同一个常数，该数列就不是等差数列. (4)公差一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前、后项的位置. (5)要注意定义中的 (常数)是对任意都成立，若有一项不满足，则就不是等差数列.例如，数列不是等差数列. (6)常数列是公差为的等差数列. 知识点二 等差中项 1．由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做与的等差中项. ，，成等差数列是的充要条件. 2．在等差数列中，任取相邻的三项，则是与的等差中项；反之，若对任意的均成立，则数列是等差数列. 因此，数列是等差数列. 用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法. 知识点三 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 2．等差数列通项公式的推导 通项公式的推导，教材是根据等差数列的定义，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下的推导方法： 方法一(累加法)因为是等差数列，所以 …… 上述式子等号两边分别相加得所以 方法二(迭代法)因为是等差数列，所以 方法三(逐差法)因为是等差数列，所以 3．等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项和，则 这表明已知等差数列的任意两项即可求出其公差，进而求出通项公式. 知识点四 等差数与一次函数的关系 由于，当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即 因此，从图象上看，表示数列的各点均匀分布在直线上. (1)点(n，)落在直线y＝dx＋(－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 反之，任给一次函数 (，为常数)，则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为. 2．等差数列的单调性 由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响. (1)当时，数列为递增数列，图象如图⑴所示； (2)当时，数列为递减数列，图象如图⑵所示； (3)当时，数列为常数列，图象如图⑶所示. 总结：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 知识点五 等差数列的性质 若数列是公差为的等差数列，由等差数列的定义可得具有如下性质： (1) 由此得 (与是等差数列中的任意两项，且). 特别地，若则 (2)若，则 推广：若则. 特别地，①若，则； ②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和： (3)下标成等差数列的项…组成以为公差的等差数列. （4）若数列是等差数列,则仍为等差数列 (5)数列 (，是常数)是公差为的等差数列. (6)若数列为等差数列，则数列 (，是常数)仍为等差数列. （7）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点六 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点七 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列如下图所示： （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 重难点01 等差数列前n项和最值求法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 知识点八 等差数列的判定方法 (1)定义法: (常数)，⇔数列是等差数列； (2)等差中项法：⇔数列是等差数列； (3)通项公式法： (，为常数)⇔数列是等差数列； (4)性质法：利用等差数列的性质来判定. (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点九 将递推关系式转化为等差数列的常见形式 5．常见的等差数列 （1） 为等差数列，． （2）（），即是从第二项开始为等差数列． 注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！ （3）若，则是等差数列，且． （4），，型递推关系式． 转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构，，，即可分别得到，，为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到结构，同除积式得． （5）用于含指数幂型已知条件． 转化方法：同除指数项，等式两边同时除以：，所以为等差数列． （6）对于分式型递推关系式型已知条件，且分子只有一项． 转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得，故数列为等差数列． 当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出.将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下： (1)转化为 ，则数列是等差数列. (2)转化为 ，则数列 是等差数列. (3)转化为 ，则数列是等差数列. (4)转化为，则数列是等差数列. (5)转化为，则数列是等差数列. (6)转化为，则数列是等差数列. 解题策略1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 解题策略2.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 解题策略3 与Sn之间一步转换 例：；． 公式一：（其中为奇数） 例：． 公式二： 例：；． 当也成等差数列时，均有． 解题策略4只有的模型与最值问题 性质1．等差数列中：，则有可以求出，甚至． 注意：①若，则一定有：；． ②，，成等差数列，公差为 性质2．等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有． 性质3．有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值 ，的最大值；,的最大值． 等差数列核心解题策略（适配高考，分题型+通用大招） 一、 通用核心解题策略（所有题型通用，优先用） 1. 核心大招：基本量法（万能保底法） 所有题都能靠首项、公差d破题，将已知条件全转化为关于、d的方程/方程组，解方程即得，适配基础题+综合题保底。 关键：熟记通项、前n项和2个核心公式，变形要熟练，计算避错。 2. 提速大招：性质优先法（选填题必用） 看到下标和、连续n项和、奇偶项，优先用等差数列性质，比基本量法快3-5倍，大幅节省选填时间。 关键：优先匹配下标和性质、和的分段性质，避免硬算。 3. 通性大招：方程思想+分类讨论思想 知三求二用方程思想；含参数、绝对值、奇偶项、项数不确定时，必须分类讨论，规避漏解。 二： 解题提速口诀（快速记牢） 基本量是万能底，性质优先提速度； 判定证明两方法，定义中项要牢记； 和求最值两招够，通项分界最靠谱； 综合题型拆条件，创新题型先翻译； 易错点要常规避，步骤完整分不丢。 题型01：等差数列的定义 【典型例题】若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【解析】利用等差数列的定义判断即可. A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确； B选项：，所以数列为等差数列，故B正确； C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错； D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 故选：C. 【变式训练】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 一：验证某数是否为等差数列中的项 【典型例题1】已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【解析】设该等差数列为，其公差为，设13､25､41分别为该数列中的，且 不妨设. 则，， 所以， 将两式相除可得，设，，则 将分别代入，，可得 则，其中 所以，不论取何正整数，要使一定为该数列中的某一项，由为正整数，则当不论取何正整数时，为整数. 选项A. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 选项B. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 选项C. ,即 满足不论取何正整数时，为整数，显然一定是该数列中的项. 选项D. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 故选：C 【典型例题2】 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析 【解析】（1）可以得到公差，故第20项为 （2）可以得到公差，故通项公式为， 令，解得， 故是等差数列，，，…的第100项. 【变式训练1-1-1】已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 【变式训练1-1-2】已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【变式训练1-1-3】已知等差数列10，7，4，…． (1)求这个数列的第10项； (2)是不是这个数列中的项？呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 二：等差数列的判断 【典型例题1】从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【答案】C 【解析】当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 故选：C． 【典型例题2】下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 【变式训练1-2-1】“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2-2】下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2-3】下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2-4】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 题型02：等差数列的通项公式 一：利用等差数列定义求通项 【典型例题1】在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B 【变式训练2-1-1】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-2】已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-3】已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【变式训练2-1-4】数列满足，则数列的通项公式为 ． 二：利用前n项和求通项 【典型例题1】若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为 ． 【答案】 【解析】根据数列通项公式与前n项和的关系求得等差数列公差即可. 因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，满足上式，所以， 公差为. 【典型例题2】已知数列前n项和为，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】应用求解即可. 当时，， 当时，， 当时，不成立， 所以 【典型例题3】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式. 【答案】 【解析】（1）由题， 当时，，∴； 当时，由， 所以，两式相减， 可得，∴． 当时，满足，∴． 【典型例题4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【解析】 ，即是以2为公差，1为首项的等差数列 ，即 当时， 显然，时，上式不成立，所以. 【典型例题5】为数列的前项和，已知，则的通项公式= ． 【答案】 【解析】先利用项与和的关系，得到，再利用等差数列通项公式求解答案. 【解析】当时，，因为，所以=3； 当时，==， 即， 因为，所以，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以= 【典型例题6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【答案】 【解析】依题意有， ，， 又为等差数列，设公差为， ， 【变式训练2-2-1】已知等差数列的前n项和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练2-2-2】设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-3】已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练2-2-4】设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-5】已知正项数列的前n项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【变式训练2-2-6】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列D．－5050 【变式训练2-2-7】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【变式训练2-2-8】已知数列的前项和，则该数列的首项 ，通项公式 . 【变式训练2-2-9】已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【变式训练2-2-10】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 【变式训练2-2-11】在数列中，，求的通项公式. 【变式训练2-2-12】设为数列的前项和，已知，求 【变式训练2-2-13】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【变式训练2-2-14】已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列,求数列的通项公式 题型03：等差数列通项公式的应用 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【典型例题1】已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意列出方程组，即可求得答案. 设等差数列的公差为， 依题得，解得. 故选：D 【典型例题2】等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 设等差数列的公差为， 依题意，解得， 所以. 故选：A 【变式训练3-1】在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【变式训练3-2】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【变式训练3-3】已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式训练3-4】在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练3-5】已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-6】在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型04：等差中项及其应用 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列， 所以A是a，b的等差中项． 【典型例题1】在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 【典型例题2】若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案. 由题意知是与的等差中项， 故，则. 故选：D 【典型例题3】已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 【答案】 【解析】根据等差中项的性质求出，即可. 因为，，且与的等差中项为， 所以， 又与的等差中项为，所以， 所以. 【变式训练4-1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【变式训练4-2】各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．或 C．15 D． 【变式训练4-3】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式训练4-4】记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（    ） A．126 B．128 C．254 D．256 【变式训练4-5】在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 【变式训练4-6】已知公比为2的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则 ． 【变式训练4-7】已知数列满足（n为正整数），且，则 ． 【变式训练4-8】在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 题型05：等差数列的性质 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【典型例题1】在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 【典型例题2】已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【典型例题3】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】20 【解析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知等差数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．20 D．30 【变式训练5-2】已知为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练5-3】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【变式训练5-4】已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式训练5-5】已知数列是等差数列，且，则 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练5-6】在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于（    ） A．24 B．26 C．28 D．25 【变式训练5-7】在等差数列中，，则 ． 【变式训练5-8】已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为 . 【变式训练5-9】已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 题型06：等差数列前n项和的有关计算 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 一：利用基本量求值 【典型例题1】等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 【答案】D 【解析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算． 是等差数列， ∴，，， ，， ． 故选：D． 【典型例题2】已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 求等差数列前n项和 【解析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和. 明显数列和数列均为等差数列 令，可得， 则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前项的和为. 故选：C. 【典型例题3】在等差数列中，是其前n项和，已知，，则 . 【答案】15 等差数列前n项和的基本量计算 【解析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出. 在等差数列中，是其前n项和，，， ∴， 解得，， . 故答案为：15. 【变式训练6-1-1】若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式训练6-1-2】已知等差数列的前项和为，则（    ） A．158 B．160 C．162 D．164 【变式训练6-1-3】已知数列和均为等差数列，它们的前项和分别为和，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-4】公差为不为零的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式训练6-1-5】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【变式训练6-1-6】已知等差数列的前项和为，且，则的公差为 ． 【变式训练6-1-7】已知为等差数列的前项和，，则 ． 【变式训练6-1-8】已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【变式训练6-1-9】《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层. 【变式训练6-1-10】已知等差数列的前n项和为.若，且，则 【变式训练6-1-11】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式； 【变式训练6-1-12】已知为等差数列的前n项和，若，，则 ． 【变式训练6-1-13】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式； 二：结合等差数列的性质（等差中项）解题 若项数为，则 (an是数列的中间项)， 例如，， 【典型例题1】已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差. 因为，所以， 又，所以. 故选：D 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 【答案】D 求等差数列前n项和 【解析】根据等差数列的性质可求的值，从而可求. 因为，所以， 故， 故选：D. 【变式训练6-2-1】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【变式训练6-2-2】记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-3】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练6-2-4】已知等差数列，其前项和为，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【变式训练6-2-5】等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 【变式训练6-2-6】设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 【变式训练6-2-7】设等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练6-2-8】等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 【变式训练6-2-9】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【变式训练6-2-10】等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（    ） A．11 B．13 C．15 D．不能确定 【变式训练6-2-11】已知数列的前项和为，且数列满足．若，则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【变式训练6-2-12】数列满足，，则 ． 题型07：等差数列前n项和的性质 【方法技巧与总结】 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 【典型例题1】设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】因为，又， 所以， 所以，即， 设等差数列的公差为， 则， 所以，又， 所以， 所以． 故选：C. 【典型例题2】若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（    ） A．96 B．72 C．60 D．48 【答案】B 【解析】解法一：由解得 所以； 解法二：，，，所以，，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得． 故选：B 【变式训练7-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【变式训练7-2】已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【变式训练7-3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．38 B．50 C．36 D．45 【变式训练7-4】已知等差数列的前项和为，若，则=（    ） A．96 B．72 C．48 D．24 【变式训练7-5】已知等差数列的前项和为且满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练7-6】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-7】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ） A．28 B．26 C．14 D．13 题型08：等差数列与函数的关系 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和，令，， 则. (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)时，＝0是常数函数，{}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)时，＝Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列． (3)当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 【典型例题1】(多选)等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【解析】等差数列的前项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案． 等差数列中，，公差，为其前项和， ， 点在曲线上， ， 二次函数开口向下，故A，B不可能； 对称轴， 对称轴在轴的右侧，故C可能，D不可能. 故选：ABD 【典型例题2】在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【解析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 【典型例题3】 (多选)设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（    ） A．若，则数列有最大项 B．若数列有最大项，则 C．若数列是递增数列，则对任意，均有 D．若对任意，均有，则数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D. 因为， 若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确； 若，二次函数开口向上，无最大项 故若数列有最大项，有，B正确； 若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误； 若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有 故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确． 故选：ABD 【变式训练8-1】在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】(多选)已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C．使时的最小值是21 D．最小时， 【变式训练8-3】(多选)等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（    ） A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项 C． D．满足的的最大值为 【变式训练8-4】设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-5】（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10 【变式训练8-6】（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为33 【变式训练8-7】）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-8】（多选）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B． C．是数列的最大项 D．对于两个正整数的最大值为10 【变式训练8-9】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列单调递减 B．数列没有最小项 C．数列单调递减 D．数列有最大项 题型09：等差数列前项和的最值问题 求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法： ①若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. ②若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. (2)二次函数法： 利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法： 借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 一：单选题 【典型例题1】下列说法中正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列的前项和的最大值为 【答案】C 判断数列的增减性、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】根据数列单调性的定义依次判断ABC选项，可知AB错误，C正确；根据等差数列前项和的二次函数性可知D错误. 对于A，，是递减数列，A错误； 对于B，数列各项为：，，，，…，不是递减数列，B错误； 对于C，，是递增数列，C正确； 对于D，数列是以为首项，为公差的等差数列，前项和， ，的最大值为，D错误. 故选：C. 【典型例题2】已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则取得最大值时n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】先根据条件求出等差数列的公差，再求出前n项和，根据二次函数的性质即可求出. 设等差数列的公差为， 成等比数列，， 即，解得（舍去）或， ， 对称轴为，故当或5时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值. 【变式训练9-1】已知等差数列中，，设其前n项和为，当且仅当时取得最大值，则公差d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】所以取得最小正值时，的值为已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 【变式训练9-5】）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练9-6】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【变式训练9-7】已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【变式训练9-9】已知公差为的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（   ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【变式训练9-10】已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-11】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-12】若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【变式训练9-13】已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【变式训练9-14】设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【变式训练9-15】等差数列的公差，且，则数列的前n项和取得最大值时的项数n的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【变式训练9-16】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-17】已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二：多选题 【典型例题1】（多选）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】AD 【解析】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，． 所以，所以， 则满足的最大的正整数k一定不等于12. ，， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与，一定不等于12与15. 故选：AD． 【典型例题2】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．在数列中，公差 B．当时，取得最大值 C． D．使的最大正整数为14 【答案】AB 【解析】由已知条件可得，所以公差，即A正确；根据数列的递减性质可知当时，取得最大值，即B正确；又因为，可知C错误，经计算可得的符号不确定，即D错误. 根据题意由可得，由可得； 可设等差数列的公差为，则，即A正确； 即可得数列为递减数列，且， 所以可得，即可得当时，取得最大值，B正确； 易得，所以C错误； 当时可得， 又因为，所以的符号不确定，所以D错误. 故选：AB 【变式训练9-1】(多选)已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（   ） A．是递增数列 B．时，n的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，n的最大值为27 【变式训练9-2】(多选)设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】(多选)设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，均为的最大值 【变式训练9-4】(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【变式训练9-5】【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 三：填空题 【典型例题1】设是等差数列的前项和，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则的取值范围为 . 【答案】 根据等差数列前n项和的最值求参数 【解析】根据等差数列前项和的性质，判断的正负，即可求得结果. 根据题意可得，即，解得. 故答案为：. 【典型例题2】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，， 即，解得，即， 因此 所以当或时，有最小值. 故答案为： 【典型例题3】设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 【答案】1011 求等差数列前n项和的最值 【解析】利用等差数列的求和公式及性质求解. 因为为等差数列，所以，即； 同理由可得，所以，所以当时，最大． 故答案为：1011. 【变式训练9-1】已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是 ． 【变式训练9-2】已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 . 【变式训练9-3】等差数列是递增数列，满足，前n项和为，则最小值时 ． 四：解答题 【典型例题1】已知等差数列,求数列前n项和的最大值，并求解此时的n为何值. 【答案】的最大值为78，此时或. 【解析】判断数列的单调性，求出时的最大值，再求出前n项和即可. 等差数列的公差，当时，， 因此数列是递减等差数列，前12项均为正，第13项为0，从第14项起为负， 所以当或时，数列前n项和最大，. 【典型例题2】已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)-57 【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得， （2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值 （1）设数列的公差为d， 则，解得，所以. （2）令，解得，所以当时，. 故当时，取到最小值，为. 【变式训练9-1】记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【变式训练9-2】已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 【变式训练9-3】已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是多少？ 【变式训练9-4】已知数列满足． (1)若为等差数列，求的通项公式； (2)记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围． 【变式训练9-5】已知是公差为正数的等差数列，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求的前n项和的最小值. 【变式训练9-6】已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练9-7】已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时的值． 【变式训练9-8】已知：等差数列中，，，公差． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值及相应的n的值． 【变式训练9-9】等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型10：等差数列片段和的性质 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【典型例题1】已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【解析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解. 设等差数列的首项为，公差为，则， 化简得， 【典型例题2】记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 由，则， 则等差数列的公差，故. 【典型例题3】已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（    ） A．140 B．180 C．220 D．380 【答案】B 【解析】利用等差数列的前项和的性质即可求解. 设等差数列的前项和为，则 成等差数列， 所以， 又 所以，解得. 所以等差数列的前项和为. 【典型例题4】设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【解析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 【变式训练10-1】等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【变式训练10-2】已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练10-3】记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【变式训练10-4】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】设是等差数列的前项和，，，则 . 【变式训练10-7】等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【变式训练10-8】等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为 ． 【变式训练10-9】已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【变式训练10-10】在等差数列中，其前项和为，已知，，则 . 【变式训练10-11】已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，则的最小值为 . 题型11： 等差数列前n项和与n的比值问题 {an}为等差数列为等差数列 【典型例题1】已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（    ） A．63 B．72 C．135 D．144 【答案】C 【解析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案. 设等差数列的公差为，则，则． 由，得，解得． 又因为，所以， 所以． 【典型例题2】已知等差数列前n项和为，其中，则＝ . 【答案】 【解析】根据等差数列的性质计算出答案. 若， 因为为等差数列， 故, 故，. 【典型例题3】记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 【典型例题4】在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】100 【解析】由等差数列性质得数列为等差数列，设其公差为d，进而得，故，进而得，再计算即可. ∵数列为等差数列， ∴数列为等差数列， 设其公差为d，又，解得：， 又∵， ∴，即 ∴ 【变式训练11-1】等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 【变式训练11-5】已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-7】等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（    ） A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050 【变式训练11-8】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【变式训练11-9】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【变式训练11-10】等差数列中，，前项和为，若，则______. 【变式训练11-11】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和． 题型12：两个等差数列前n项和之比 设，的前项和为，，则． 【典型例题1】已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______． 【答案】 【解析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案. 因为数列、均为等差数列，且， 所以 故答案为： 【典型例题2】两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可． 解：由等差数列的性质可得，． 故选：C． 【典型例题3】已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故. 故选：D. 【变式训练12-1】等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练12-5】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练12-6】(多选)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 【变式训练12-7】已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练12-8】数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________. 【变式训练12-9】已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 【变式训练12-10】设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则 【变式训练12-11】若数列，都等差数列，且有，则 ． 题型13：等差数列的奇偶项和问题 等差数列奇偶项和的性质： （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【典型例题1】已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【答案】C 【解析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解. 解：在等差数列中，公差，， 所以, 所以 【典型例题2】）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【解析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 【典型例题3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 【变式训练13-1】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练13-2】已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 【变式训练13-3】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）． A．30 B．29 C．28 D．27 【变式训练13-5】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则 (    ) A． B． C． D． 【变式训练13-6】已知是等差数列，其中，，________. 【变式训练13-7】一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 ． 【变式训练13-8】一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d． 【变式训练13-9】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 . 【变式训练13-10】已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 【变式训练13-11】在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 . 【变式训练13-12】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为 . 【变式训练13-13】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【变式训练13-14】已知数列满足，，则的前40项和为 . 【变式训练13-15】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【变式训练13-16】等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【变式训练13-17】已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 【变式训练13-18】在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 【变式训练13-19】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ． 【变式训练13-20】(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 题型14： 含绝对值的等差数列的前n项和 【方法技巧与总结】 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点 【典型例题1】在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【解析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 【典型例题2】记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. （1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【变式训练14-1】【多选】已知为等差数列，，则（    ） A．的公差为2 B．的公差为3 C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300 【变式训练14-2】数列的前项和为，则数列的前项和 ． 【变式训练14-3】记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为 ． 【变式训练14-4】已知,若，求数列的前n项和． 【变式训练14-5】已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式训练14-6】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【变式训练14-7】等差数列的前项和为,当为何值时，最小？并求此最小值. 【变式训练14-8】已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【变式训练14-9】已知等差数列 的前 项和为，且. (1)求数列 的通项公式; (2)记 ，求数列 的前 项和 . 【变式训练14-10】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和. 【变式训练14-11】在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 【变式训练14-12】已知数列中，，，记 (1)求证：数列是等差数列，并求出； (2)设，求； (3)若，对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式训练14-13】已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【变式训练14-14】在等差数列中，的前项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 题型15： 等差数列的判定与证明 【方法技巧与总结】 证明等差数列的方法 （1）定义法 或数列是等差数列． （2）等差中项法 数列为等差数列． （3）通项公式法 数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列． 【典型例题1】已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，， 所以. 故选：C 【典型例题2】已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可； (2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解. （1）为常数 ∴是以为公差的等差数列． （2）∵，∴由（1）得， ∴，∴， ∴. 【典型例题3】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. （1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【变式训练15-1】已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知数列满足（），. (1)证明:数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【变式训练15-3】已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【变式训练15-4】设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 【变式训练15-5】设为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 【变式训练15-6】已知数列满足，，设. （I）证明：为等差数列； （II）设，若为递增数列，求的取值范围. 【变式训练15-7】已知为数列的前n项和，，且，，其中为常数. (1)求证：数列为等差数列； (2)是否存在，使得是等差数列？并说明理由. 【变式训练15-8】已知数列满足，证明：数列为等差数列． 由等差数列的前n项和判断等差数列 【方法技巧与总结】 （其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【典型例题1】已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当是等差数列时，设公差为，由， 因此， 当时，因为， 所以为等差数列； 当为等差数列时，设公差为，则有， 所以当时，， 两式相减，得， ，或，因为该数列是正项数列，所以舍去， 因此，显然当时，成立， 当时，因为， 所以是等差数列，因此“是等差数列”是“为等差数列”的充要条件， 故选：C 【典型例题2】已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 【变式训练15-1】已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 【变式训练15-2】已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【变式训练15-3】已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【变式训练15-4】已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 题型16：等差数列中对称设项法的应用 【方法技巧与总结】 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【典型例题】四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数. 【解析】设四个数为，，，，其中， ，解得：， 四个数为，，，. 【变式训练16-1】 （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【变式训练16-2】 (1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【变式训练16-3】已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数. 题型17：等差数列的综合问题 【典型例题1】(多选)已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（    ） A．点在同一条直线上 B．点在同一条直线上 C．点在同一条直线上 D．点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上 【答案】ACD 【解析】结合等差数列的通项公式与前项和公式，逐一进行判断即可. 对A：因为，，所以点都在直线上，故A正确； 对B：因为，所以点都在二次函数上，故B错误； 对C：因为，所以点都在直线上，故C正确； 对D：因为 ， 所以点都在直线上，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以 【典型例题3】设数列 满足 . (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用累加法求解数列通项公式，再根据分组求和进行化简； （2）利用裂项相消求解数列的前 项和 ； （1） 可知 上式相加得 所以数列 的通项公式 （2）， 所以 所以数列 的前 项和 . 【变式训练17-1】已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【变式训练17-2】【多选】已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【变式训练17-3】【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ） A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前n项和为，且，则 D．若等比数列的前n项积为，且，则 【变式训练17-4】已知成等差数列，直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．随着t的变化而变化 【变式训练17-5】已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-6】设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 【变式训练17-7】已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【变式训练17-8】有两个等差数列，，，，及，，，，，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有 项，这个新数列的各项之和为 ． 【变式训练17-9】若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为 ． 【变式训练17-10】若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【变式训练17-11】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【变式训练17-12】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 题型18： 数学文化中的等差数列问题 【方法技巧与总结】 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【典型例题1】周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【解析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 【典型例题2】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【解析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 【典型例题3】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【解析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 【变式训练18-1】已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480寸，则冬至的日影长为（    ） A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸 【变式训练18-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为 . 【变式训练18-3】张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【变式训练18-4】在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【变式训练18-5】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ） A．28 B．32 C．35 D．42 【变式训练18-6】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式训练18-7】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【变式训练18-8】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【变式训练18-9】若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【变式训练18-10】在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【变式训练18-11】将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第个图形中“〇”的个数是，则的值是 ． 【变式训练18-12】一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 【变式训练18-13】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .    【变式训练18-14】公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是 德本. 【变式训练18-15】张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是 万步. 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 4．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 5．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 6．已知等差数列的前和为，则（    ） A． B． C．3 D． 7．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 8．已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 9．若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 10．等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 12．已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的n的最大值为 13．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 14．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 三、填空题 15．某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 . 16．已知数列满足且则的通项公式 . 17．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 18．已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 四、解答题 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 20．已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 21．设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 22．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 23．已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 24．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等差数列 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 5 解题策略 11 题型归纳 12 题型01：等差数列的定义 12 一：验证某数是否为等差数列中的项 13 二：等差数列的判断 16 题型02：等差数列的通项公式 18 一：利用等差数列定义求通项 18 二：利用前n项和求通项 20 题型03：等差数列通项公式的应用 27 题型04：等差中项及其应用 30 题型05：等差数列的性质 33 题型06：等差数列前n项和的有关计算 37 一：利用基本量求值 37 二：结合等差数列的性质（等差中项）解题 43 题型07：等差数列前n项和的性质 47 题型08：等差数列与函数的关系 50 题型09：等差数列前项和的最值问题 57 一：单选题 58 二：多选题 65 三：填空题 68 四：解答题 70 题型10：等差数列片段和的性质 75 题型11： 等差数列前n项和与n的比值问题 80 题型12：两个等差数列前n项和之比 87 题型13：等差数列的奇偶项和问题 92 题型14： 含绝对值的等差数列的前n项和 100 题型15： 等差数列的判定与证明 110 题型16：等差数列中对称设项法的应用 119 题型17：等差数列的综合问题 120 题型18： 数学文化中的等差数列问题 130 巩固提升 138 差数列是高考数学的常考核心考点，近3年高考数学全国卷及新高考卷中相关考点考查频率达8次， 命题兼顾基础与综合，梯度清晰适配不同层次考生。 一、 考查占比与题型分布 1. 分值占比：单题分值4-17分，整套试卷中该知识点总分值占比约5%-8%，是小题拿分、大题稳分的关键板块。 2. 题型分布：选填题多单独出题，考查基础知识点，难度偏易，比如2025全国二卷第7题、北京卷第5题；解答题多为中档题，常和等比数列、求和公式综合考查，如2024新高考I卷第19题，也会在压轴题中结合新定义、新情景出题，难度偏大。 3. 高频考区：新高考卷更侧重解答题的综合应用，全国甲乙卷侧重选填题的基础计算与性质应用，天津、上海卷则会在解答题中设置独立的等差数列设问。 二、 核心考查考点 1. 基础必考点：基本量计算是高频考题，围绕首项、公差d、通项 、前n项和，考查“知三求二”的方程思想，近5年多套试卷选填题均有涉及。 2. 常考重点：等差数列的判定与证明、中项性质、项与前n项和的性质，、前n项和的分段性质，多在解答题第一问和中档选填题出现。 3. 难点拓展点：前n项和的最值求解、奇偶项讨论、含绝对值的等差数列问题，还会结合函数、不等式、实际情景综合命题，压轴题中还会出现新定义类等差数列衍生题型，侧重考查知识迁移能力。 三、 命题趋势 1. 基础题型稳定：基本量计算、基础性质应用的选填题会长期保留，题目难度不会大幅提升，是考生必拿分题型。 2. 综合考查深化：解答题中，等差数列与等比数列的综合出题频率最高，同时和函数、不等式、数学文化的结合考查逐渐增多，对知识整合能力要求提升。 3. 创新题型增多：新定义、新情景类题目成为压轴题新方向，题目灵活度高，侧重考查数学抽象、数学运算核心素养，区分度较强。 四、 备考侧重建议 1. 夯实基础：熟练掌握通项公式、前n项和公式，确保基本量计算类题目解题快且准，不丢基础分。 2. 吃透性质：重点熟记等差数列的项、和相关性质，掌握“性质优先用”的解题思路，提升选填题解题速度。 3. 突破综合：针对性练习等差数列与等比数列的综合题，总结通项证明、求和的固定解题步骤，同时强化与函数、不等式结合题的解题逻辑。 4. 拓展创新：适量练习新定义类数列题，培养快速理解新规则、迁移已有知识解题的能力。 等差数列 精准学习目标（适配高考，分3层级） 一、基础层级（保底必拿分，对应高考选填基础题） 1. 牢记等差数列2个核心公式：通项公式、前n项和公式能熟练变形。 2. 掌握基本量思想：明确首项a_1、公差d是核心量，实现“知三求二”（已知、 、中3个，求剩余2个），计算零失误。 3. 理解等差数列定义：能根据定义判断简单数列是否为等差数列。 二、提升层级（稳抓中档分，对应高考选填中档题+解答题第1问） 1. 吃透5大核心性质，做到性质优先用（提速提准确率） ◦ 下标和性质： ◦ 中项性质：等差中项）；和的中项特征 ◦ 和的性质： ◦ 奇偶项性质： ◦ 通项与和的关联： 2. 掌握2种核心判定/证明方法：定义法、等差中项法 3. 会求前n项和的最值：2种方法（配方法转化为二次函数、通项正负分界法）灵活切换。 三、拔高层级（冲刺高分，对应高考解答题第2问+压轴创新题） 1. 能处理综合题型：熟练对接等比数列、函数（如与一次函数、与二次函数关联）、不等式、数列不等式放缩，构建解题逻辑链。 2. 攻克易错拓展题型：含绝对值的等差数列求和、含参数的等差数列存在性问题、等差衍生数列（如子数列、差数列）分析。 3. 适配创新题型：能快速解读新定义等差类数列（如“等差子数列”“绝对等差数列”），迁移核心知识解题。 4. 落实核心素养：提升数学运算（复杂计算快准）、逻辑推理（证明严谨）、数学抽象（新情景转化）能力，适配高考命题趋势。 目标自查清单（快速对标） 基础：基本量计算100%对；提升：性质应用+判定证明无卡点；拔高：综合题能梳理解题步骤 知识点一 等差数列的定义 1．一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2．等差数列的定义可用数学符号语言描述为：对任意的均成立或对任意的均成立. 注： (1)“从第项起”是因为首项没有前一项. (2)如果一个数列不是从第项起，而是从第项起或第项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第项起或第项起该数列是一个等差数列. (3)注意定义中“同一个常数”，可理解为从第项起，每一项与前一项的差是常数且是同一个常数，则这个数列是等差数列，如果不是同一个常数，该数列就不是等差数列. (4)公差一定是由后一项减前一项所得，不能颠倒前、后项的位置. (5)要注意定义中的 (常数)是对任意都成立，若有一项不满足，则就不是等差数列.例如，数列不是等差数列. (6)常数列是公差为的等差数列. 知识点二 等差中项 1．由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做与的等差中项. ，，成等差数列是的充要条件. 2．在等差数列中，任取相邻的三项，则是与的等差中项；反之，若对任意的均成立，则数列是等差数列. 因此，数列是等差数列. 用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法. 知识点三 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 2．等差数列通项公式的推导 通项公式的推导，教材是根据等差数列的定义，通过归纳的方式得出的，还可以采用以下的推导方法： 方法一(累加法)因为是等差数列，所以 …… 上述式子等号两边分别相加得所以 方法二(迭代法)因为是等差数列，所以 方法三(逐差法)因为是等差数列，所以 3．等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列中的任意两项和，则 这表明已知等差数列的任意两项即可求出其公差，进而求出通项公式. 知识点四 等差数与一次函数的关系 由于，当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即 因此，从图象上看，表示数列的各点均匀分布在直线上. (1)点(n，)落在直线y＝dx＋(－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 反之，任给一次函数 (，为常数)，则，，…，，…构成一个等差数列，其首项为，公差为. 2．等差数列的单调性 由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响. (1)当时，数列为递增数列，图象如图⑴所示； (2)当时，数列为递减数列，图象如图⑵所示； (3)当时，数列为常数列，图象如图⑶所示. 总结：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 知识点五 等差数列的性质 若数列是公差为的等差数列，由等差数列的定义可得具有如下性质： (1) 由此得 (与是等差数列中的任意两项，且). 特别地，若则 (2)若，则 推广：若则. 特别地，①若，则； ②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和： (3)下标成等差数列的项…组成以为公差的等差数列. （4）若数列是等差数列,则仍为等差数列 (5)数列 (，是常数)是公差为的等差数列. (6)若数列为等差数列，则数列 (，是常数)仍为等差数列. （7）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点六 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点七 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列如下图所示： （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. 等差数列中，,则,. 注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n) （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 重难点01 等差数列前n项和最值求法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 知识点八 等差数列的判定方法 (1)定义法: (常数)，⇔数列是等差数列； (2)等差中项法：⇔数列是等差数列； (3)通项公式法： (，为常数)⇔数列是等差数列； (4)性质法：利用等差数列的性质来判定. (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点九 将递推关系式转化为等差数列的常见形式 5．常见的等差数列 （1） 为等差数列，． （2）（），即是从第二项开始为等差数列． 注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！ （3）若，则是等差数列，且． （4），，型递推关系式． 转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构，，，即可分别得到，，为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到结构，同除积式得． （5）用于含指数幂型已知条件． 转化方法：同除指数项，等式两边同时除以：，所以为等差数列． （6）对于分式型递推关系式型已知条件，且分子只有一项． 转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得，故数列为等差数列． 当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出.将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下： (1)转化为 ，则数列是等差数列. (2)转化为 ，则数列 是等差数列. (3)转化为 ，则数列是等差数列. (4)转化为，则数列是等差数列. (5)转化为，则数列是等差数列. (6)转化为，则数列是等差数列. 解题策略1.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 解题策略2.求等差数列前n项和最值的常用方法 （1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. （2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）； （3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. （4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 解题策略3 与Sn之间一步转换 例：；． 公式一：（其中为奇数） 例：． 公式二： 例：；． 当也成等差数列时，均有． 解题策略4只有的模型与最值问题 性质1．等差数列中：，则有可以求出，甚至． 注意：①若，则一定有：；． ②，，成等差数列，公差为 性质2．等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有． 性质3．有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值 ，的最大值；,的最大值． 等差数列核心解题策略（适配高考，分题型+通用大招） 一、 通用核心解题策略（所有题型通用，优先用） 1. 核心大招：基本量法（万能保底法） 所有题都能靠首项、公差d破题，将已知条件全转化为关于、d的方程/方程组，解方程即得，适配基础题+综合题保底。 关键：熟记通项、前n项和2个核心公式，变形要熟练，计算避错。 2. 提速大招：性质优先法（选填题必用） 看到下标和、连续n项和、奇偶项，优先用等差数列性质，比基本量法快3-5倍，大幅节省选填时间。 关键：优先匹配下标和性质、和的分段性质，避免硬算。 3. 通性大招：方程思想+分类讨论思想 知三求二用方程思想；含参数、绝对值、奇偶项、项数不确定时，必须分类讨论，规避漏解。 二： 解题提速口诀（快速记牢） 基本量是万能底，性质优先提速度； 判定证明两方法，定义中项要牢记； 和求最值两招够，通项分界最靠谱； 综合题型拆条件，创新题型先翻译； 易错点要常规避，步骤完整分不丢。 题型01：等差数列的定义 【典型例题】若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【解析】利用等差数列的定义判断即可. A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确； B选项：，所以数列为等差数列，故B正确； C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错； D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 故选：C. 【变式训练】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 一：验证某数是否为等差数列中的项 【典型例题1】已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【解析】设该等差数列为，其公差为，设13､25､41分别为该数列中的，且 不妨设. 则，， 所以， 将两式相除可得，设，，则 将分别代入，，可得 则，其中 所以，不论取何正整数，要使一定为该数列中的某一项，由为正整数，则当不论取何正整数时，为整数. 选项A. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 选项B. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 选项C. ,即 满足不论取何正整数时，为整数，显然一定是该数列中的项. 选项D. ,即 不满足不论取何正整数时，为整数，显然不一定是该数列中的项. 故选：C 【典型例题2】 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析 【解析】（1）可以得到公差，故第20项为 （2）可以得到公差，故通项公式为， 令，解得， 故是等差数列，，，…的第100项. 【变式训练1-1-1】已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 【答案】(1)； (2)是该等差数列的第44项； (3)67项． 【解析】（1）记该等差数列为，公差为d， 由，，得数列的通项公式是． 该数列的第20项． （2）由第一问，， 如果是这个数列的项，则方程有正整数解． 解这个方程，得，故是该等差数列的第44项． （3）由第一问，， 解不等式，得． 因此，该数列位于区间内的项从第4项起直至第70项，共有67项． 【变式训练1-1-2】已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【答案】（1）；（2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项；（3）是数列中的项，是第项. 【解析】解：（1）设数列的公差为.依题意，有，， ∴. （2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项. ∵，且， ∴是数列中的项，是第项. （3）∵，是数列中的项，∴，， ∴. ∵，∴是数列中的项，是第项. 【变式训练1-1-3】已知等差数列10，7，4，…． (1)求这个数列的第10项； (2)是不是这个数列中的项？呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第23项，不是数列中的项，理由见解析 【解析】（1）记数列为，则由题意知， 因此数列的通项公式为． 当时，有， 因此第10项为． （2）是数列的第23项，不是数列中的项，理由如下： 设是数列中的第n项，则，解得， 所以是数列的第23项． 设是数列中的第n项，则．解得， 由此可知不是数列中的项． 二：等差数列的判断 【典型例题1】从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【答案】C 【解析】当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 故选：C． 【典型例题2】下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 【变式训练1-2-1】“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 【变式训练1-2-2】下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 【变式训练1-2-3】下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 【变式训练1-2-4】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 题型02：等差数列的通项公式 一：利用等差数列定义求通项 【典型例题1】在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B 【变式训练2-1-1】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记，可证明是等差数列，先求解，再代入求解即可. 记，则，， 故数列是以为首项，公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【变式训练2-1-2】已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可. ∵a1 = 1，－ = 1， ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴，即， ∴（）. 当时，也适合上式，. 故选：A. 【变式训练2-1-3】已知数列满足，则（    ） A．9 B． C．11 D． 【答案】B 【解析】根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 由数列满足，可得，即， 因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 故选：B. 【变式训练2-1-4】数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 二：利用前n项和求通项 【典型例题1】若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为 ． 【答案】 【解析】根据数列通项公式与前n项和的关系求得等差数列公差即可. 因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，满足上式，所以， 公差为. 【典型例题2】已知数列前n项和为，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】应用求解即可. 当时，， 当时，， 当时，不成立， 所以 【典型例题3】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式. 【答案】 【解析】（1）由题， 当时，，∴； 当时，由， 所以，两式相减， 可得，∴． 当时，满足，∴． 【典型例题4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【解析】 ，即是以2为公差，1为首项的等差数列 ，即 当时， 显然，时，上式不成立，所以. 【典型例题5】为数列的前项和，已知，则的通项公式= ． 【答案】 【解析】先利用项与和的关系，得到，再利用等差数列通项公式求解答案. 【解析】当时，，因为，所以=3； 当时，==， 即， 因为，所以，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以= 【典型例题6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【答案】 【解析】依题意有， ，， 又为等差数列，设公差为， ， 【变式训练2-2-1】已知等差数列的前n项和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 由Sn求通项公式 【解析】根据数列的前项和公式，直接可以得出，进而得出结果. 因为等差数列的前n项和， 所以， 故选：D. 【变式训练2-2-2】设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 由Sn求通项公式 【解析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 【变式训练2-2-3】已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可. 时， 时， ， 【变式训练2-2-4】设为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据公式，即可求解. 当时，， 当时，， 验证，当时，， 所以. 故选：A 【变式训练2-2-5】已知正项数列的前n项和为，且，则（    ） A．4045 B．4042 C．4041 D．4040 【答案】A 【解析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值. 解：∵    ①， ∴当时，   ②， ①-②得， ∵，∴，∴， ∴当时，，解得 ∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有． 故选：A． 【变式训练2-2-6】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列D．－5050 【答案】A 【解析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 【变式训练2-2-7】已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 由Sn求通项公式 【解析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 【变式训练2-2-8】已知数列的前项和，则该数列的首项 ，通项公式 . 【答案】 ； . 由Sn求通项公式 【解析】空一：利用代入法直接进行求解即可； 空二：利用之间的关系进行求解即可. 空一：； 空二：当时，， 显然不适合上式， 所以， 故答案为：； 【变式训练2-2-9】已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论. 由知， 当时，； 当时，， 此时，当时，， 当时，，而， 若数列是等差数列，则， 所以，则. 【变式训练2-2-10】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 【答案】 【解析】当时，，作差得，即当时，是公比为3的等比数列，而，则，故 【变式训练2-2-11】在数列中，，求的通项公式. 【答案】 【解析】解：因为，① 则当时，，即， 当时，，② ①②得，所以， 也满足，故对任意的，. 【变式训练2-2-12】设为数列的前项和，已知，求 【答案】． 【解析】由题意知，， 又，得． 当时，由，得，得． 则数列是首项为，公差为1的等差数列． 所以． 又，则． 当时，， 又满足上式， 所以． 【变式训练2-2-13】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【答案】 【解析】当时，可得，求得，根据为等差数列，求出公差得解. 依题意有， ，， 又为等差数列，设公差为， ， . 【变式训练2-2-14】已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列,求数列的通项公式 【答案】 【解析】根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， 设的公差为，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， ，所以经检验满足题意. 题型03：等差数列通项公式的应用 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【典型例题1】已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意列出方程组，即可求得答案. 设等差数列的公差为， 依题得，解得. 故选：D 【典型例题2】等差数列中，，，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 设等差数列的公差为， 依题意，解得， 所以. 故选：A 【变式训练3-1】在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【答案】B 【解析】根据等差数列的定义与性质运算求解. 由题意可得：， 设数列为的公差，则，即， 故，解得. 故选：B． 【变式训练3-2】等差数列中，，则（    ） A．26 B．22 C．18 D．14 【答案】B 【解析】由可得公差， 故, 故选：B 【变式训练3-3】已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】设公差为，则：， ． 故选：B． 【变式训练3-4】在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 【变式训练3-5】已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】在等差数列中， 故选：B. 【变式训练3-6】在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 【变式训练3-7】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 题型04：等差中项及其应用 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列， 所以A是a，b的等差中项． 【典型例题1】在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 【典型例题2】若是与的等差中项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案. 由题意知是与的等差中项， 故，则. 故选：D 【典型例题3】已知数列是等差数列，且，．设与的等差中项为，与的等差中项为，求． 【答案】 【解析】根据等差中项的性质求出，即可. 因为，，且与的等差中项为， 所以， 又与的等差中项为，所以， 所以. 【变式训练4-1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【解析】运用等差中项概念及性质可解. ，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【变式训练4-2】各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．或 C．15 D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，由题意可知， 因为成等差数列且， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以， 【变式训练4-3】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【解析】根据等比数列的片段和性质有， 由，，成等差数列，有， 即，故有，又因为数列为正项等比数列，则， 即， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 【变式训练4-4】记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（    ） A．126 B．128 C．254 D．256 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则， 由题意可得，即， 整理得，则，解得， 所以. 【变式训练4-5】在数列中，，，是和的等差中项，设为数列的前项和，则＝ . 【答案】189 【解析】  由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，得， 因为是和的等差中项，所以， 所以 故答案为：. 【变式训练4-6】已知公比为2的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则 ． 【答案】62 【解析】因为，，成等差数列，所以，即，解得， 所以． 故答案为：. 【变式训练4-7】已知数列满足（n为正整数），且，则 ． 【答案】/ 【解析】因为数列满足，故为等差数列， 则， 故， 故答案为： 【变式训练4-8】在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 【答案】27 【解析】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得，所以插入的3个数之和为． 故答案为：. 题型05：等差数列的性质 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【典型例题1】在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 【典型例题2】已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【典型例题3】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】20 【解析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知等差数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．20 D．30 【答案】C 【解析】根据题意，由等差数列的下标和性质，代入计算，即可求解. 由已知得，故，所以． 故选：C 【变式训练5-2】已知为等差数列，，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】利用等差数列的性质求解. 设等差数列的公差为， 因为，∴，解得， ∴， 故选：B 【变式训练5-3】已知数列是等差数列，若，则等于（    ） A．7 B．21 C．14 D．17 【答案】C 【解析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求. 由等差数列性质，数列为等差数列，若，， 则， 因为数列为等差数列，， 所以，又， 所以， 因为数列为等差数列，， 所以， 故选：C. 【变式训练5-4】已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【解析】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 【变式训练5-5】已知数列是等差数列，且，则 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由题设，故. 故选：C 【变式训练5-6】在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于（    ） A．24 B．26 C．28 D．25 【答案】B 【解析】等差数列中，，因此， 所以数列的前13项之和. 故选：B 【变式训练5-7】在等差数列中，，则 ． 【答案】 【解析】因为为等差数列， 则， 所以． 故答案为：. 【变式训练5-8】已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题可知，，则，所以， 所 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1, 故答案为：1. 【变式训练5-9】已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 故答案为： 题型06：等差数列前n项和的有关计算 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 一：利用基本量求值 【典型例题1】等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 【答案】D 【解析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算． 是等差数列， ∴，，， ，， ． 故选：D． 【典型例题2】已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 求等差数列前n项和 【解析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和. 明显数列和数列均为等差数列 令，可得， 则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前项的和为. 故选：C. 【典型例题3】在等差数列中，是其前n项和，已知，，则 . 【答案】15 等差数列前n项和的基本量计算 【解析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出. 在等差数列中，是其前n项和，，， ∴， 解得，， . 故答案为：15. 【变式训练6-1-1】若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可. 解：根据题意，设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：D 【变式训练6-1-2】已知等差数列的前项和为，则（    ） A．158 B．160 C．162 D．164 【答案】B 【解析】先由题意结合等差数列通项公式求出公差d和，进而结合等差数列前n项和公式即可求解. 因为数列为等差数列，设公差为d， 由题得，即， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 【变式训练6-1-3】已知数列和均为等差数列，它们的前项和分别为和，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由等差数列的前项和可得，然后设，，代入计算，列出方程，即可得到结果. 由可得，即， 设，， 则， 所以，，． 若，则 解得，，，此时，． 即； 同理，若，则， 解得，则，． 即； 综上，． 【变式训练6-1-4】公差为不为零的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 等差数列前n项和的基本量计算 【解析】设等差数列的首项为，公差为，根据条件，建立方程，即可求出结果. 设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以， 整理得到，解得， 故选：A. 【变式训练6-1-5】记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】20 【解析】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 【变式训练6-1-6】已知等差数列的前项和为，且，则的公差为 ． 【答案】2 【解析】设公差为， 则， 解得． 故答案为：. 【变式训练6-1-7】已知为等差数列的前项和，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 依题意， 解得，则． 故答案为： 【变式训练6-1-8】已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【答案】1156 【解析】设等差数列的公差为d． 由，得，解得． 又，所以，解得， 所以． 故答案为：1156 【变式训练6-1-9】《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层. 【答案】9 等差数列前n项和的基本量计算 【解析】利用等差数列的求和公式进行求解即可. 设从上往下该“等腰梯形垛”第层堆放的铅笔数为， 则是公差为1的等差数列，其和为108，所以； 整理可得，由可得， 由于，所以为216的正约数，且为偶数； 经验证可得时符合题意. 故答案为：9 【变式训练6-1-10】已知等差数列的前n项和为.若，且，则 【答案】 【解析】利用等差数列的通项公式及求和公式得出数列的首项与公差的关系式，表示出即可求出结果. 设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，所以. 【变式训练6-1-11】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式； 【答案】 【解析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【变式训练6-1-12】已知为等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】 【解析】先根据条件列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式求解即可. 设等差数列的公差为， 由得，整理得① 由得，整理得②， 由①②得， 所以. 【变式训练6-1-13】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式； 【答案】(1)； 【解析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 二：结合等差数列的性质（等差中项）解题 若项数为，则 (an是数列的中间项)， 例如，， 【典型例题1】已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差. 因为，所以， 又，所以. 故选：D 【典型例题2】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 【答案】D 求等差数列前n项和 【解析】根据等差数列的性质可求的值，从而可求. 因为，所以， 故， 故选：D. 【变式训练6-2-1】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【解析】根据，求出首项与公差的关系，再根据结合等差数列的前项和公式即可得解. 设公差为， 由，得，所以， 由，得 故， 则， 因为， 所以， 化简得，解得或（舍去）. 【变式训练6-2-2】记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出， 再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以. 【变式训练6-2-3】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 【变式训练6-2-4】已知等差数列，其前项和为，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【解析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解. 因为数列为等差数列，且， 由等差数列的性质，可得，所以， 又由. 【变式训练6-2-5】等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 【答案】C 【解析】根据等差数列的性质可得为定值，结合基本量法可求的值. 因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差. 而， 故当且仅当即时，为定值. 【变式训练6-2-6】设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 【答案】B 【解析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可. 若，由等差中项性质得， 故，即，易知. 【变式训练6-2-7】设等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 由等差数列的性质可知：，即， 再由前n项和公式得：. 【变式训练6-2-8】等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 【答案】B 【解析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解. 由等差数列的性质可得， 所以，所以.故B正确. 【变式训练6-2-9】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 【变式训练6-2-10】等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（    ） A．11 B．13 C．15 D．不能确定 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质以及求和公式可得为定值，结合等差数列的通项公式转化，列出关系式即可求解. 因为， 当为定值时，即为定值，即为定值， ， 所以，解得 【变式训练6-2-11】已知数列的前项和为，且数列满足．若，则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【答案】C 【解析】根据等差中项判断是等差数列，然后由可得，由可得公差，即可求得. ， 数列是等差数列，设公差为， 则，可得， 又，可得， . 【变式训练6-2-12】数列满足，，则 ． 【答案】 累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【解析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式. 因为， 所以， ， ， ， ， 累加得： 故答案为：. 题型07：等差数列前n项和的性质 【方法技巧与总结】 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 【典型例题1】设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】因为，又， 所以， 所以，即， 设等差数列的公差为， 则， 所以，又， 所以， 所以． 故选：C. 【典型例题2】若等差数列的前7项和为48，前14项和为72，则它的前21项和为（    ） A．96 B．72 C．60 D．48 【答案】B 【解析】解法一：由解得 所以； 解法二：，，，所以，，成等差数列，公差为，由等差中项定义得，即，解得． 故选：B 【变式训练7-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， . 故选：B. 【变式训练7-2】已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】B 【解析】因为，所以． 故选：B． 【变式训练7-3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．38 B．50 C．36 D．45 【答案】D 【解析】． 故选：D 【变式训练7-4】已知等差数列的前项和为，若，则=（    ） A．96 B．72 C．48 D．24 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质和前项和公式，结合已知条件，即可求得结果. 因为是等差数列，故可得：， 所以. 故选：B. 【变式训练7-5】已知等差数列的前项和为且满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】根据等差数列的性质计算可得答案． 因为， 所以. 故选：C. 【变式训练7-6】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果. 由等差数列性质知：，解得：， . 故选：B. 【变式训练7-7】已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ） A．28 B．26 C．14 D．13 【答案】B 【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于，再由前项和为，求得的值. 由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于， 再由前项和为， 解得， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于简单题目. 题型08：等差数列与函数的关系 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和，令，， 则. (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)时，＝0是常数函数，{}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)时，＝Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列． (3)当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 【典型例题1】(多选)等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【解析】等差数列的前项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案． 等差数列中，，公差，为其前项和， ， 点在曲线上， ， 二次函数开口向下，故A，B不可能； 对称轴， 对称轴在轴的右侧，故C可能，D不可能. 故选：ABD 【典型例题2】在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【解析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 【典型例题3】 (多选)设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（    ） A．若，则数列有最大项 B．若数列有最大项，则 C．若数列是递增数列，则对任意，均有 D．若对任意，均有，则数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D. 因为， 若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确； 若，二次函数开口向上，无最大项 故若数列有最大项，有，B正确； 若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误； 若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有 故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确． 故选：ABD 【变式训练8-1】在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依据等差数列的前n项和的二次函数性质，去判定其开口方向和对称轴位置即可解决. 等差数列的前n项和 由，知，即抛物线开口向下，排除选项AB； 由，，知对称轴，排除选项D. 【变式训练8-2】(多选)已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C．使时的最小值是21 D．最小时， 【答案】BCD 【解析】由题意首先得，进一步，由此即可判断AB，由等差数列求和公式有，由此即可判断CD. 已知等差数列的前项和为，，， 所以，所以， 所以，即是递增数列，故A错误； 而，所以，故B正确； 又，若，则， 所以使时的最小值是21，故C正确； ，又，所以最小时，，故D正确. 【变式训练8-3】(多选)等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（    ） A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项 C． D．满足的的最大值为 【答案】ACD 【解析】由得出，代入与，对选项依次判断即可. ∵，∴，∴，∴， ∴， ， 对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确； 对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，∵，∴，解得， ∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 【变式训练8-4】设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若对，都有，可得， 因为恒成立，所以，即数列为递增数列， ， 所以，即成立，所以充分性成立； 反之：若对，都有，即， 可得，解得，所以， 即数列为递增数列， 例如：数列为递增数列，可得， 此时不成立，即必要性不成立； 所以对，，是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练8-5】（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10 【答案】BCD 【解析】当时，， 当时，， 取时，此式也满足， 故的通项公式为. 对于A，由，得，所以是递减数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，由二次函数的性质知，当或时，取最大值，故C正确； 对于D，令，即，解得，又，所以的最大值为.故D正确. 故选：BCD. 【变式训练8-6】（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为33 【答案】ACD 【解析】对于A项，由已知可得， 数列是一个等差数列，首项，公差为， 所以，， 所以，. 当时，； 当时，. 时，，满足. 综上所述，. 所以，， 所以，是等差数列，故A项正确； 对于B项，设的公差为， 由A知，，， 根据等差数列的性质可知，，故B项错误； 对于C项，因为，， 要使取得最大值，则应有， 即，解得. 又，所以当或时，取得最大值.故C正确； 对于D项，由A知，， 解，可得. 所以，时，n的最大值为33.故D正确. 故选：ACD. 【变式训练8-7】）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列， 所以公差， 令，解得， 表示取整函数， 所以存在正整数，有，故充分； 设数列为5，3，1，-1，…，满足，但， 则数列是递减数列，故不必要， 故选：A 【变式训练8-8】（多选）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B． C．是数列的最大项 D．对于两个正整数的最大值为10 【答案】ACD 【解析】A选项，由，整理得， 故是公差为-2的等差数列，首项， 故， 由此可得， 累加得，， 由此可得，， 当时，，解得.此式满足， 故， 是等差数列，故A正确； BC选项，因为， 故当时，取得最大值，是数列的最大项，故B不正确，C正确； D选项，对于两个正整数，， 由……， 故时，取得最大值，最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练8-9】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列单调递减 B．数列没有最小项 C．数列单调递减 D．数列有最大项 【答案】ABD 【解析】解：数列的前项和为，，由于，故数列为单调递减数列， 且数列为无穷等差数列，故数列没有最小项，故A正确、B正确； 又，，二次函数开口向下，对称轴为， 故数列有最大项，没有最小项，故D正确， 因为，无法判断与的大小，即的取值，故无法判断数列的增减性，故C错误． 故选：ABD． 题型09：等差数列前项和的最值问题 求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法： ①若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. ②若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. (2)二次函数法： 利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法： 借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 一：单选题 【典型例题1】下列说法中正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列的前项和的最大值为 【答案】C 判断数列的增减性、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】根据数列单调性的定义依次判断ABC选项，可知AB错误，C正确；根据等差数列前项和的二次函数性可知D错误. 对于A，，是递减数列，A错误； 对于B，数列各项为：，，，，…，不是递减数列，B错误； 对于C，，是递增数列，C正确； 对于D，数列是以为首项，为公差的等差数列，前项和， ，的最大值为，D错误. 故选：C. 【典型例题2】已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则取得最大值时n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】先根据条件求出等差数列的公差，再求出前n项和，根据二次函数的性质即可求出. 设等差数列的公差为， 成等比数列，， 即，解得（舍去）或， ， 对称轴为，故当或5时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值. 【变式训练9-1】已知等差数列中，，设其前n项和为，当且仅当时取得最大值，则公差d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件判断出数列是递减数列，且，进而结合等差数列的通项公式得到不等式组，解之即可求出结果. 因为等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列，且， 又因为，所以，即 【变式训练9-2】为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解． 因为，，所以，故等差数列的公差， 又，又，， 得到， 【变式训练9-3】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值. 设等差数列的公差为，由可得， 整理可得，所以，， 令，即，解得， 因此，当取最小值时，. 【变式训练9-4】所以取得最小正值时，的值为已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 【答案】D 【解析】利用等差数列前项和的公式即可得出，，进而逐个选项判断即可. 因为， 所以， 又， 所以，则， 所以等差数列单调递减，中最大. 【变式训练9-5】）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 【变式训练9-6】设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，设数列的公差为， 又，，则①，②， 由①②解得，所以， 当时，取最小值为， 故选：A. 【变式训练9-7】已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【解析】，则， 由于，所以， 则等差数列是首项为正的单调递减数列， 令，解得， 所以当或6时，取得最大值． 故选：C. 【变式训练9-9】已知公差为的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（   ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】C 【解析】令等差数列的公差，则， 所以，解得， 所以， 又，所以当或时，， 即或，，故对任意都有，的值为6或7. 故选：C 【变式训练9-10】已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 由，又任意均有成立， 所以， 由，而，则. 故选：A 【变式训练9-11】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 【变式训练9-12】若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 求等差数列前n项和的最值 【解析】将等差数列的前2023和2024项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值. 由题意，，∴， ，∴， 则等差数列满足，， 可得公差， ∴数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， ∴当取得最小值时，的值为1012． 故选：B． 【变式训练9-13】已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】B 【解析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解. 由 且， 所以，故B正确； 所以公差， 数列为递减数列，A错误； 由，，， 所以，， 时，， 的最大值为，故C错误； ，故D错误. 故选：B 【变式训练9-14】设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【解析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为. 由，得，即， 所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为. 故选：A. 【变式训练9-15】等差数列的公差，且，则数列的前n项和取得最大值时的项数n的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【解析】由，可得， 因为，所以，所以，又，所以. 因为，所以是递减数列，所以，显然前5项和或前6项和最大， 故选：C. 【变式训练9-16】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【解析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值. 设等差数列的公差为，由可得， 整理可得，所以，， 令，即，解得， 因此，当取最小值时，. 故选：C. 【变式训练9-17】已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 令， 即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则， 解得， 故选：C． 二：多选题 【典型例题1】（多选）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】AD 【解析】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，． 所以，所以， 则满足的最大的正整数k一定不等于12. ，， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与，一定不等于12与15. 故选：AD． 【典型例题2】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（    ） A．在数列中，公差 B．当时，取得最大值 C． D．使的最大正整数为14 【答案】AB 【解析】由已知条件可得，所以公差，即A正确；根据数列的递减性质可知当时，取得最大值，即B正确；又因为，可知C错误，经计算可得的符号不确定，即D错误. 根据题意由可得，由可得； 可设等差数列的公差为，则，即A正确； 即可得数列为递减数列，且， 所以可得，即可得当时，取得最大值，B正确； 易得，所以C错误； 当时可得， 又因为，所以的符号不确定，所以D错误. 故选：AB 【变式训练9-1】(多选)已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（   ） A．是递增数列 B．时，n的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，n的最大值为27 【答案】BC 【解析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到和，从而逐项判断. 由已知，， ， 所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，B正确； 则，所以是递减数列，A错误； 且为等差数列的前n项和的最大值，C正确； ，D错误. 【变式训练9-2】(多选)设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】利用等差数列前n项和公式可得，进而有，再由通项公式及前n项和二次函数性质判断各项正误. 由题设，则， 所以，即，则，，A、C错； 由，开口向上且对称轴为， 所以，，B、D对. 故选：BD 【变式训练9-3】(多选)设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，均为的最大值 【答案】BCD 【解析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项. 由题意， 又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对； 从而，所以，均为的最大值，D对； 而，所以，C对. 【变式训练9-4】(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【答案】BC 【解析】由题意可知 ， 故B正确D错误； 所以，故A错误； 而，所以当时，取得最小值，故C正确. 【变式训练9-5】【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D． 【答案】ACD 【解析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 对于A,数列为等差数列，， 数列为递减的等差数列， 故A正确， 对于B, 数列为递减的等差数列， 的最大值为， 故B错， 对于C, 由得 的最小值为,即， 故C正确， 对于D, 故D正确. 故选：ACD 三：填空题 【典型例题1】设是等差数列的前项和，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则的取值范围为 . 【答案】 根据等差数列前n项和的最值求参数 【解析】根据等差数列前项和的性质，判断的正负，即可求得结果. 根据题意可得，即，解得. 故答案为：. 【典型例题2】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，， 即，解得，即， 因此 所以当或时，有最小值. 故答案为： 【典型例题3】设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 【答案】1011 求等差数列前n项和的最值 【解析】利用等差数列的求和公式及性质求解. 因为为等差数列，所以，即； 同理由可得，所以，所以当时，最大． 故答案为：1011. 【变式训练9-1】已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是 ． 【答案】 【解析】先利用题给条件列出关于d的不等式组，解之即可求得d的取值范围. 等差数列的首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值， 则，即，解得． 【变式训练9-2】已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据等差数列前项和的性质，判断的符号，即可得解. 由题意可得， 即，解得， 即公差的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练9-3】等差数列是递增数列，满足，前n项和为，则最小值时 ． 【答案】3或4 二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】首先根据得到，代入得到，再结合二次函数的性质求解即可. 因为，所以，整理得：. 所以. 因为等差数列是递增数列，所以. 所以当时，取得最小值， 又因为为正整数，所以或时，最小值. 故答案为：3或4 四：解答题 【典型例题1】已知等差数列,求数列前n项和的最大值，并求解此时的n为何值. 【答案】的最大值为78，此时或. 【解析】判断数列的单调性，求出时的最大值，再求出前n项和即可. 等差数列的公差，当时，， 因此数列是递减等差数列，前12项均为正，第13项为0，从第14项起为负， 所以当或时，数列前n项和最大，. 【典型例题2】已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)-57 【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得， （2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值 （1）设数列的公差为d， 则，解得，所以. （2）令，解得，所以当时，. 故当时，取到最小值，为. 【变式训练9-1】记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)， 等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式及二次函数性质得解. （1）设的公差为. 由题意，得. 由，得. 所以的通项公式为. （2）由（1），得. 所以当时，取得最小值，最小值为. 【变式训练9-2】已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 【答案】 求等差数列前n项和的最值 【解析】判断出数列为等差数列，令，可得出使得取最小值时的值，结合等差数列的求和公式可求得的最小值. 解：在数列中，，则， 所以，数列为等差数列， 令，解得， 所以，当时，取最小值，且其最小值为 【变式训练9-3】已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是多少？ 【答案】 【解析】因为，即， 当时，， 两式相减得， 所以，（）， 又满足， 所以，（）， 令，，显然数列是等差数列， 若的最大值为，则，解得， 所以实数的最大值是. 故答案为：. 【变式训练9-4】已知数列满足． (1)若为等差数列，求的通项公式； (2)记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以， 两式相减得． 因为为等差数列，所以的公差． 又，所以，解得， 则，即的通项公式为． （2）由（1）得， 所以不等式可化为， 当为奇数时，，则，即， 当为偶数时，，则． 综上，的取值范围为． 【变式训练9-5】已知是公差为正数的等差数列，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求的前n项和的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 且函数开口向上，对称轴为， 所以当时，有最小值， 所以. 【变式训练9-6】已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 【解析】解法1：由以，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为， 易知二次函数在时递增，在时递减， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 【变式训练9-7】已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 解得， 所以． （2）由（1）知， 又，所以当时，取最小，最小值为． 【变式训练9-8】已知：等差数列中，，，公差． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值及相应的n的值． 【答案】(1) (2)当n＝10或11时，最大值55． 【解析】（1）∵为等差数列， ∴． ∴ 解得或 因为， 所以， 故解得 ∴． （2）∵， 又，函数图像的对称轴为直线， 故当n＝10或11时，取得最大值，其最大值为55． 【变式训练9-9】等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、根据等差数列前n项和的最值求参数 【解析】（1）根据题意得公差为整数，且分析求出即得； （2）利用裂项相消法即得. （1）由为整数知，等差数列的公差为整数，又， 故于是， 解得，因此， 故数列的通项公式为； （2）由题可知， 于是． 【方法技巧与总结】 （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和． ②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或来寻找． ②运用二次函数求最值． 题型10：等差数列片段和的性质 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【典型例题1】已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【解析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解. 设等差数列的首项为，公差为，则， 化简得， 【典型例题2】记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 由，则， 则等差数列的公差，故. 【典型例题3】已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（    ） A．140 B．180 C．220 D．380 【答案】B 【解析】利用等差数列的前项和的性质即可求解. 设等差数列的前项和为，则 成等差数列， 所以， 又 所以，解得. 所以等差数列的前项和为. 【典型例题4】设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【解析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 【变式训练10-1】等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【答案】A 【解析】由等差数列性质得，成等差数列，设公差为d，则，可求得对应公差，则可求值 由等差数列有成等差数列，设为d， 则， 故. 【变式训练10-2】已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 【变式训练10-3】记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【答案】D 求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用 【解析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得. 因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 于是，代入，，解得：， 又,代入上述值，解得：. 故选：D. 【变式训练10-4】设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值. 解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列， 且该数列的公差为，则， 所以，， 因此，. 故选：D. 【变式训练10-5】在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据等差数列前项和的性质求解即可 由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故 故选：D 【变式训练10-6】设是等差数列的前项和，，，则 . 【答案】200 【解析】根据等差数列前项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差，最后根据等差数列的前项和公式计算可得. 依题意，，，，…，依次成等差数列， 设该等差数列的公差为.又，， 因此，解得， 所以. 【变式训练10-7】等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【答案】 等差数列片段和的性质及应用 【解析】根据等差数列前项和的性质计算可得. 为等差数列， ，，成等差数列，即，，成等差数列， ，解得， 又，，成等差数列，即，，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：． 【变式训练10-8】等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为 ． 【答案】1200 【解析】因为是等差数列， 则成等差数列，成等差数列， 即，解得. 故答案为：. 【变式训练10-9】已知等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】由等差数列的性质，可得成等差数列， 所以， 因为，可得，解得， 所以构成首项为，公差为的等差数列， 则，故． 故答案为：. 【变式训练10-10】在等差数列中，其前项和为，已知，，则 . 【答案】5 【解析】因为是等差数列，所以，，也成等差，所以， 所以. 故答案为：5 【变式训练10-11】已知正项等比数列的前项和为，若成等差数列，则的最小值为 . 【答案】20 【解析】因为是正项等比数列， 所以仍然构成等比数列, 所以 又成等差数列, 所以 所以 又正项等比数列,所以 所以 当且仅当时, 等号成立, 所以的最小值为20, 故答案为：20. 题型11： 等差数列前n项和与n的比值问题 {an}为等差数列为等差数列 【典型例题1】已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（    ） A．63 B．72 C．135 D．144 【答案】C 【解析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案. 设等差数列的公差为，则，则． 由，得，解得． 又因为，所以， 所以． 【典型例题2】已知等差数列前n项和为，其中，则＝ . 【答案】 【解析】根据等差数列的性质计算出答案. 若， 因为为等差数列， 故, 故，. 【典型例题3】记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 【典型例题4】在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】100 【解析】由等差数列性质得数列为等差数列，设其公差为d，进而得，故，进而得，再计算即可. ∵数列为等差数列， ∴数列为等差数列， 设其公差为d，又，解得：， 又∵， ∴，即 ∴ 【变式训练11-1】等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒ 设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 【变式训练11-2】已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质，先求出的公差，再结合等差数列通项公式求得，即可求得答案. 由题意知是等差数列，设其公差为d， 则由，可得，则， ，则，故， 故, 【变式训练11-3】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 【变式训练11-4】（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 【答案】AC 【解析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误. 由已知可得， 对于AB选项，， 所以，数列是公差为的等差数列，A对B错； 对于C选项，， 所以，数列是公差为的等差数列，C对； 对于D选项，， 所以，数列是公差为的等差数列，D错. 【变式训练11-5】已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. ，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 【变式训练11-6】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 【变式训练11-7】等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（    ） A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050 【答案】C 【解析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和. 等差数列，所以， 所以，因为，即数列是等差数列， 所以数列数列的前项的和为. 【变式训练11-8】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，推导出数列为等差数列，且公差为，求出的值，可求得的值，即可得解. 设等差数列的公差为， ，则， 所以，数列为等差数列，且公差为， 所以，， 故，所以，. 【变式训练11-9】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 【变式训练11-10】等差数列中，，前项和为，若，则______. 【答案】 【解析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解． 设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为 ，， ， ， ，则 故答案为： 【变式训练11-11】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据所给条件，结合等差数列的通项公式和性质进行解方程即可得解； （2）由，利用错位相减法即可得解. （1）设公差为， 由可得， 可得， 再由，，成等比数列， 可得，由公差不为可得， 所以； （2）， ， ， 作差可得， 所以. 题型12：两个等差数列前n项和之比 设，的前项和为，，则． 【典型例题1】已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______． 【答案】 【解析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案. 因为数列、均为等差数列，且， 所以 故答案为： 【典型例题2】两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可． 解：由等差数列的性质可得，． 故选：C． 【典型例题3】已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故. 故选：D. 【变式训练12-1】等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用等差数列前n项和性质，公式求解. 由等差数列性质得，， 等差数列前n项和满足，则， 等差数列前n项和满足，则， 所以. 【变式训练12-2】已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 由，为等差数列，故可令、， 则. 【变式训练12-3】已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可 设等差数列的公差为，则， 因为， 所以， 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 所以 。 【变式训练12-4】已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解. 由于 所以， 要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个 【变式训练12-5】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据等差数列的性质与求和公式，结合已知可得，然后求出的最小值可得答案. 由题意得，， 因为，，当且仅当时取等号， 所以使恒成立的实数的最大值是. 【变式训练12-6】(多选)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 【变式训练12-7】已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【解析】根据等差数列性质运算求解. 因为，为等差数列， 则， 即. 故选：D. 【变式训练12-8】数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________. 【答案】          【解析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮. 由等差数列的性质可得， ， 若为整数，且，故能被整除，故或，解得或， 所以，使得为整数的值个数为. 故答案为：；. 【变式训练12-9】已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ． 【答案】 【解析】因为，则设， 所以； ． 故答案为：；. 【变式训练12-10】设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则 【答案】 【解析】根据给定的关系等式，结合等差数列通项的特征，设出数列和的通项，求出首项，再利用等差数列前n项和公式求解作答. 数列和都为等差数列，且， 则令，，为常数， 因此等差数列的首项，等差数列的首项， 所以. 【变式训练12-11】若数列，都等差数列，且有，则 ． 【答案】 两个等差数列的前n项和之比问题 【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 设等差数列、的前项和分别为 由 故答案为: 题型13：等差数列的奇偶项和问题 等差数列奇偶项和的性质： （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【典型例题1】已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【答案】C 【解析】利用等差数列奇数项和偶数项的关系求解. 解：在等差数列中，公差，， 所以, 所以 【典型例题2】）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【解析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 【典型例题3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 【变式训练13-1】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 【变式训练13-2】已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，求得，再由等差数列的求和公式，列出方程求得的值，结合通项公式，即可求解. 设等差数列的公差为， 因为数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100， 可得，解得， 所以奇数项的和为，解得， 故． 故选：B. 【变式训练13-3】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据等差数列前项和公式解决即可. 由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【变式训练13-4】已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）． A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B 【解析】奇数项共有项，其和为， ∴． 偶数项共有n项，其和为， ∴． 故选：B． 【变式训练13-5】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【变式训练13-6】已知是等差数列，其中，，________. 【答案】-50 【解析】设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. 因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 【变式训练13-7】一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 ． 【答案】3 【解析】设等差数列公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，求得数列的通项公式，即可求得答案. 设等差数列公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15， 得，， 解得，，所以， 故这个数列的第6项是3 【变式训练13-8】一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d． 【答案】 【解析】由题意可得，可解得它们的值，而，代入可解． 解：设首项为，公差为， 则由题意可得， 解得 又， ． 【变式训练13-9】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则 . 【答案】8 【解析】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32，，， ， 即，解得： 即等差数列共项，且 故答案为：8 【变式训练13-10】已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式． 【答案】 【解析】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77， ∴，① ∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于， +×=33，② ∵， ∴，③ 由①②③，解得， 故． 数列的通项公式为． 【变式训练13-11】在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为 ，解得，且 ，解得 故答案为： 【变式训练13-12】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为 . 【答案】5 【解析】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得， 故公差， 故答案为：5． 【变式训练13-13】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【解析】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 【变式训练13-14】已知数列满足，，则的前40项和为 . 【答案】 【解析】因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 【变式训练13-15】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 【变式训练13-16】等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【答案】 【解析】因为等差数列共有项， 所有奇数项之和为， 所有偶数项之和为， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式训练13-17】已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 【答案】16 【解析】数列满足， ，且， ， 数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公差为的等差数列， (负值舍去)， ，此时n无正整数解， 若，则， 故答案为：16. 【变式训练13-18】在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 【答案】2 【解析】解:由,得, 所以＝5d＝10，所以d＝2. 故答案为：2. 【变式训练13-19】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ． 【答案】29 【解析】因为为奇数，所以，解得． 所以，所以．故所求的中间项为29． 故答案为：29 【变式训练13-20】(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 【答案】(1)5； (2)11． 【解析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差. （2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解. （1）解：由题意得： 设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为 则由题意得：，解得： 由等差数列性质可知：解得： 故该数列的公差为. （2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为 由等差数列前项和的性质，可知 又 所以，解得： 又因为，所以 所以这个数列的中间项为，共有项. 题型14： 含绝对值的等差数列的前n项和 【方法技巧与总结】 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点 【典型例题1】在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【解析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 【典型例题2】记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. （1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 【变式训练14-1】【多选】已知为等差数列，，则（    ） A．的公差为2 B．的公差为3 C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300 【答案】AD 【解析】根据求出，求出通向公式. . ， ，所以A对，B错. ， ， 当时，；当时，， = ，所以D对，C错. 故选：AD 【变式训练14-2】数列的前项和为，则数列的前项和 ． 【答案】 【解析】根据与的关系，利用相减法求得，再根据确定其各项的正负取值情况，从而可求的值. 因为数列的前项和为 所以当时，； 当时，， 又符合上式，所以， 所以时，，时，， 故 . 【变式训练14-3】记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为 ． 【答案】218 【解析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为. 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， ，可得当时，，当时，， 设数列的前20项和为， 则 . 【变式训练14-4】已知,若，求数列的前n项和． 【答案】 【解析】分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 【变式训练14-5】已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解. （1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 【变式训练14-6】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【解析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. （1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 【变式训练14-7】等差数列的前项和为,当为何值时，最小？并求此最小值. 【答案】8，4 【解析】由，分，，利用二次函数的性质求解. ， 当时，， 当时，递增，当时，递减，又， 所以的最小值为7； 当时，，在上递增，又， 所以的最小值为4， 综上：的最小值为4. 【变式训练14-8】已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由可得，从而可证明； （2）由（1）得，则，利用和与项的关系可得，由，解得，设表示数列的前项和，当时，，当时，，从而得到结果. （1）因为，所以， 所以是首项为，公差为-1的等差数列. （2）由（1）得，则， 所以， 又符合上式，所以， 设表示数列的前项和， 由，解得，则 ①当时，； ②当时，， 故. 【变式训练14-9】已知等差数列 的前 项和为，且. (1)求数列 的通项公式; (2)记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设数列 的公差为， 由 ， 得 ， 解得 ， . （2）由 ，得 当 时，， 此时 当 时，， 此时 ， 所以. 【变式训练14-10】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2)50 【解析】（1）证明：由知， 由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列， ∴，∴； （2）由（1）知， 设的前项和为，，∴ 当时，， ， 故 【变式训练14-11】在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. (1)求等比数列的通项公式和前n项和； (2)若数列满足，求数列的前项和的最大值. (3)求数列的前项和 【答案】(1)，； (2)25； (3). 【解析】（1）设数列的公比为，，由成等差数列，得， 即，整理得，而，解得，又， 所以数列的通项公式，. （2）由（1）得，，则，且， 于是数列是首项为9，公差为的等差数列， 所以， 所以当时，取得最大值25. （3）由（2）知，当时，，当时，， 当时，，； 当时，， 所以. 【变式训练14-12】已知数列中，，，记 (1)求证：数列是等差数列，并求出； (2)设，求； (3)若，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【解析】（1）由，得到，即， 又，所以为常数，又，得到， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， . （2）由（1）知，， 当时，，所以， 当时，，所以， 得到， 综上，. （3）由（1）知，得到，所以，对任意的恒成立， 即，对任意的恒成立， 又，显然有，得到，对任意的恒成立， 令，对称轴，所以在区间上单调递增， 故当时，有最小值为，所以，得到， 所以的取值范围为. 【变式训练14-13】已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 若选择①②，由①，②， 则等差数列首项，公差， ； 若选择①③，由①，③，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ； 若选择②③，由②，③，得， 所以等差数列首项，公差， ； （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， . 【变式训练14-14】在等差数列中，的前项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 题型15： 等差数列的判定与证明 【方法技巧与总结】 证明等差数列的方法 （1）定义法 或数列是等差数列． （2）等差中项法 数列为等差数列． （3）通项公式法 数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列． 【典型例题1】已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，， 所以. 故选：C 【典型例题2】已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可； (2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解. （1）为常数 ∴是以为公差的等差数列． （2）∵，∴由（1）得， ∴，∴， ∴. 【典型例题3】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. （1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【变式训练15-1】已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，， 所以. 故选：C 【变式训练15-2】已知数列满足（），. (1)证明:数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【解析】（1）由取倒数得，故， 又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 则，所以； 【变式训练15-3】已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【解析】（1）当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. （2）因为，且， 所以， 当时，，故数列为等差数列. 【变式训练15-4】设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 【解析】（1）①不是 中不是等差数列，①不是 “五彩的”； ②是   ， ， 符合定义②是 “五彩的”. （2）（i）对正整数n，设，， 其中d，为正整数，整数b，c满足，， 由于数列单调递增，则对于任意正整数n，， 即， 即， 同除以n并令n趋近正无穷得，即证. （ii）对于正整数n，设， 由数列单调递增，知， 又因为， 故数列必然存在最大项A，最小项B， 下证即可，设正整数t使得， 一方面，由于数列以d为公差， ， 另一方面，， 从而， 又， ， 同理可得，即，即证. 【变式训练15-5】设为数列的前n项和， (1)求及； (2)判断这个数列是否是等差数列． 【解析】（1） 当时，； 当时，； 经验证当时上式成立， 所以. （2）由，得， 所以（常数） 所以数列是等差数列. 【变式训练15-6】已知数列满足，，设. （I）证明：为等差数列； （II）设，若为递增数列，求的取值范围. 【解析】（I）， 令时，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （II）由（I）可得 由为递增数列， 则对任意恒成立， 即， 整理可得对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当为偶数时，则，即 当为奇数时，则，即. 综上所述，的取值范围为. 【变式训练15-7】已知为数列的前n项和，，且，，其中为常数. (1)求证：数列为等差数列； (2)是否存在，使得是等差数列？并说明理由. 【解析】（1）∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴数列为等差数列； （2）∵，， ∴，又， ∴， 若是等差数列，则，即， 解得， 当时，由， ∴数列的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列， ∴，即，为奇数， ∴数列的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列， ∴，即，为偶数， 综上可得，当时，，， 故存在时，使数列是等差数列. 【变式训练15-8】已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【解析】由，得， 所以，所以数列是以为公差的等差数列． 由等差数列的前n项和判断等差数列 【方法技巧与总结】 （其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【典型例题1】已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当是等差数列时，设公差为，由， 因此， 当时，因为， 所以为等差数列； 当为等差数列时，设公差为，则有， 所以当时，， 两式相减，得， ，或，因为该数列是正项数列，所以舍去， 因此，显然当时，成立， 当时，因为， 所以是等差数列，因此“是等差数列”是“为等差数列”的充要条件， 故选：C 【典型例题2】已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 【变式训练15-1】已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 【解析】（1）由，可得，且， 所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，解得． （2）由（1）知， 当时，， 又由符合上式，故， 则， 所以是首项为2，公差为4的等差数列． 【变式训练15-2】已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【解析】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【变式训练15-3】已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【解析】（1）设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 【变式训练15-4】已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【解析】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 题型16：等差数列中对称设项法的应用 【方法技巧与总结】 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【典型例题】四个数成递增等差数列，四个数之和等于，中间两个数之积为，求这四个数. 【解析】设四个数为，，，，其中， ，解得：， 四个数为，，，. 【变式训练16-1】 （1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【解析】（1）设这四个数分别为，，，，则 ， 又该数列是递增数列，所以，所以，， 所以此等差数列为或． （2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，， 则，解得或． 因为数列为递增数列，所以， 所以等差数列的通项公式为． 【变式训练16-2】 (1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【解析】（1）设这三个数依次为，，， 由题意可得：，解得：， 所以这三个数依次为，，. （2）设这四个数依次为，，， (公差为)， 由题意可得，解得或 (舍)， 故所求的四个数依次为，，，. 【变式训练16-3】已知四个数成等差数列，中间两项之和为2，首末两项之积为，求这四个数. 【解析】因为这四个数成等差数列，所以设这四个数为.由题意知， ，解得. 故这四个数为，或. 注意  本例中，也可以设四个数为，然后代入已知条件求解，这是数列中常用的“基本量法”，但运算稍繁.本题解法运用“对称设法”，运算稍简单.一般地，若三个数构成等差数列，常设为；若五个数构成等差数列，常设为等. 题型17：等差数列的综合问题 【典型例题1】(多选)已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（    ） A．点在同一条直线上 B．点在同一条直线上 C．点在同一条直线上 D．点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上 【答案】ACD 【解析】结合等差数列的通项公式与前项和公式，逐一进行判断即可. 对A：因为，，所以点都在直线上，故A正确； 对B：因为，所以点都在二次函数上，故B错误； 对C：因为，所以点都在直线上，故C正确； 对D：因为 ， 所以点都在直线上，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以 【典型例题3】设数列 满足 . (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用累加法求解数列通项公式，再根据分组求和进行化简； （2）利用裂项相消求解数列的前 项和 ； （1） 可知 上式相加得 所以数列 的通项公式 （2）， 所以 所以数列 的前 项和 . 【变式训练17-1】已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【解析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 数列中，，， 当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 【变式训练17-2】【多选】已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【答案】AD 【解析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项. 数列满足，， 因为，，所以， ，B错； 由题意，①，②， 由②①得，，由，，所以， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 综上所述，对任意的，，C错D对； ，A对. 故选：AD. 【变式训练17-3】【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ） A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列 C．若等差数列的前n项和为，且，则 D．若等比数列的前n项积为，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，直接由等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的定义即可判断；对于B，直接由等差数列前项和公式即可判断；对于C，由等差中项的性质即可判断；对于D，由等比中项的性质即可判断. 对于A，若是各项均为正的等比数列， 则当且仅当，（否则时，数列每项正负交替，各项恒负）， 从而， 所以， 故数列是以为首项、为公差的等差数列，故A正确； 对于B，设等差数列的通项公式为， 所以其前n项和为，即数列是以首项为、公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由题意数列是等差数列， 所以 ， 而当等差数列的公差不为0时，有，即此时，故C不正确； 对于D，由题意数列是等比数列，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练17-4】已知成等差数列，直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．随着t的变化而变化 【答案】A 【解析】若公差为d，结合直线方程可得，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可. 若公差为d，则， ∴直线恒过定点，将代入圆中，可得， ∴在圆内，故直线与圆相交. 故选：A 【变式训练17-5】已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，求解作答 圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为， 设，则，而， 由，，成等差数列得，，因此， 即有，解得，设直线的方程为，显然， 由消去y得：，则有，解得， 所以直线的斜率为. 故选：B 【变式训练17-6】设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 【答案】A 【解析】首先令求出，当时，即可得到，从而得到，即是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列求和公式计算可得. 因为，当时，解得， 当时，所以，则， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 【变式训练17-7】已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【答案】A 【解析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 【变式训练17-8】有两个等差数列，，，，及，，，，，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有 项，这个新数列的各项之和为 ． 【答案】 【解析】由已知可得新数列是首项为，公差为的等差数列，所以通项公式为，由新数列的最大项小于等于，即可求解；由新数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求解即可. 等差数列，，，，中，公差，， 等差数列，，，，中，公差，， 所以新数列的首项为， 因为公差，的最小公倍数为， 所以由这两个等差数列的公共项组成的新数列的公差， 所以新数列是首项为，公差为的等差数列， 所以新数列的通项公式为， 因为新数列的最大项小于等于， 所以，所以， 又因为，所以，所以新数列共有项； 新数列的第项为， 所以各项之和为. 【变式训练17-9】若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为 ． 【答案】1或2 【解析】利用等差中项的性质结合判别式计算即可. ∵a，b，c成等差数列，∴， ∴． ∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为1或2． 故答案为：1或2. 【变式训练17-10】若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【答案】 【解析】设的根为，的根为，由韦达定理得，根据等差数列的性质可得，以及，结合韦达定理求，即可得结果． 设的根为，的根为， 则（，）． 设数列的首项为， 则根据等差数列的性质，数列的第4项为． 由题意知，则，数列的公差； 所以数列的中间两项分别为，． 可得，， 所以． 故答案为：；. 【变式训练17-11】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【答案】(1)，； (2) 【解析】（1）根据已知条件结合，可求得，，根据递推式可得，然后利用等差数列定义及通项公式求解即可. （2）根据递推式求得，然后利用分组求和结合等差数列求和公式求解即可. （1）由题意知：，又且， 所以，， 所以，所以， 因为，所以， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 所以. （2）当为奇数时，为偶数，则， 两式相减得：， 因为，所以， 当为偶数时，为奇数，则， 两式相减得：， 因为，所以，所以； 所以 . 【变式训练17-12】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. （1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴ 题型18： 数学文化中的等差数列问题 【方法技巧与总结】 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【典型例题1】周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【解析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 【典型例题2】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【解析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 【典型例题3】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【解析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 【变式训练18-1】已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480寸，则冬至的日影长为（    ） A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸 【答案】A 【解析】利用等差数列的通项公式与前项和公式列式求解即可. 由题意得十二个节气的日影长成等差数列，设该等差数列的公差为， 则，解得， 所以冬至的日影长为135寸. 【变式训练18-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为 . 【答案】 【解析】设每一秒钟的路程为等差数列，由首项和公差写出前项和公式，由列方程求出的值． 设每一秒钟的路程为数列， 由题意知为等差数列，首项为，公差为， 由前项和公式为，又， 解得． 【变式训练18-3】张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【解析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码 【变式训练18-4】在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【答案】C 【解析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 设等差数列的公差为， 依题意，， 解得，所以丁有钱. 故选：C 【变式训练18-5】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ） A．28 B．32 C．35 D．42 【答案】C 【解析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，进而得，再解方程，并计算前项和即可. 解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为， 设其每日增加的尺数为，其前项和为， 所以，，即，解得，， 所以，她前七日共织布尺. 故选：C 【变式训练18-6】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A 【变式训练18-7】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【解析】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 【变式训练18-8】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【答案】 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，， 则根据题意有， 解得，所以戊所得为. 故答案为：. 【变式训练18-9】若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】C 【解析】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：. 故选：C 【变式训练18-10】在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【解析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得, 故选：B. 【变式训练18-11】将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第个图形中“〇”的个数是，则的值是 ． 【答案】12 【解析】第1个图形中“〇”的个数是1， 第2个图形中“〇”的个数是， 第3个图形中“〇”的个数是， 由此推测，第个图形中“〇”的个数是， 令，解得或（舍去）． 故答案为：． 【变式训练18-12】一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 【答案】3450 【解析】由题意知，第一辆车行程为km， 且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km， 这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列， 则15辆车的行程路程之和为（km）. 故答案为：3450. 【变式训练18-13】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .    【答案】 【解析】设第层有和球，则，，，，， 所以当时， ， 当时，也适合上式， 故， 所以这层三角垛的球数之和为 ， 因为，所以单调递增， 当时，，剩余球数为个， 当时，， 所以剩余球数的最小值为个. 故答案为：. 【变式训练18-14】公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是 德本. 【答案】 【解析】由题意得，将份数从小到大构成等差数列，且，，， ∴，解得. 故答案为： 【变式训练18-15】张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月的30天中，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月的运动步数是 万步. 【答案】 【解析】设张大爷在11月的30天的运动步数构成数列，且的前n项和为， 则数列是等差数列，成等差数列， 所以， 即， 解得， 所以张大爷在11月份的运动步数是万步. 故答案为：. 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故不能确定是否递增数列；但由为递增数列，能得到进而即得. 由是等差数列，，得，所以， ，不能判断的正负，所以不能判断,的大小， 所以不能确定是否递增数列； 若为递增数列，则，即时， 所以，，所以， 所以是为递增数列的必要不充分条件. 故选：B 2．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 由题意可得，解得. 故选：A. 3．已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解析】由等差数列的性质求解即可. 因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 4．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【解析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 5．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【解析】根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，代入求和公式中即可求解. 设等差数列的公差为d， 由可得，解得， 故， 故选：A 6．已知等差数列的前和为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】根据，即可根据等差数列的性质得求解. 在中取得，故，所以. 故选：A. 7．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 由， 故选：B 8．已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】D 【解析】由题设求出即可判断A；由和等差数列通项公式和前n项和公式即可判断BC；由和前n项和公式结合一元二次函数性质即可判断D. 设数列的公差为d， 对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，最大，故D错误. 故选：D. 9．若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 【答案】B 【解析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果. 设，则，解得， ∴，故， 故选：B. 10．等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 二、多选题 11．已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 【答案】ACD 【解析】A选项，利用得到，，由得到数列为等差数列；B选项，作差法得到；C选项，时，，从而；D选项，，分组求和得到，利用等差数列求和公式得到答案. A选项，①， 当时，， 当时，②， 式子①-②得 ， 故， 其中满足，综上，，， 所以，，故， 数列为等差数列，A正确； B选项，， 故，B错误； C选项，当时，， ，C正确； D选项，， 数列的前2n项和 ，D正确. 故选：ACD 12．已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的n的最大值为 【答案】AC 【解析】根据题设利用等差数列的性质可得，进而可得，即可判断出选项A、B和C的正误；选项D，利用等差数列的前和公式，得到，再结合选项条件，即可求解. 对于选项A，因为，得到，即， 因为，所以，故数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B，由选项A知数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项B错误： 对于选项C，因为，所以当或时，取最小值，所以选项C正确； 对于选项D，由，可得， 又因为，所以满足的n的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AC． 13．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 14．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 【答案】AB 【解析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 三、填空题 15．某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为 . 【答案】 【解析】设第排的座位数为，由题意可知，数列是公差为的等差数列，结合等差数列的求和公式可求得的值. 设第排的座位数为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 由题意可得，解得. 故答案为：. 16．已知数列满足且则的通项公式 . 【答案】 . 【解析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再由等差数列通项公式计算可得. 由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 17．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 【答案】16 【解析】利用等差数列前n项和公式可得，结合有，进而求基本量，最后求. 令数列的公差为，则，即， 由，则， 综上，，，则. 故答案为：16 18．已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 【答案】8 【解析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得，再求得，然后由等差数列的求和公式求. 设等差数列的公差为d，则． 由可得，． 又，则，故，又，则， 所以，因此数列的前8项和． 故答案为：8. 四、解答题 19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式及二次函数性质得解. （1）设的公差为. 由题意，得. 由，得. 所以的通项公式为. （2）由（1），得. 所以当时，取得最小值，最小值为. 20．已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. （1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 21．设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题设结合即可求解； （2）先由（1）求出，进而求得，于是将问题转化成，再由即可得解. （1）由题，， 所以当时， 当时，，整理得， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项和公差的等差数列， 所以. （2）由（1），故， 所以， 所以 ， 所以不等式对任意正整数均成立对任意正整数均成立 对任意正整数均成立， 所以，又， 所以，所以满足题意的实数的取值范围为. 22．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用和构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． （1）正项数列的前项和为，满足， 所以， 整理得：， 由于数列为正项数列， 所以（常数）， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故， 所以当时，， 当时，符合上式， 所以． （2）由于， 所以， 所以． 23．已知数列满足，，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）根据裂项相消法求和即可. （1）因为 ， 所以数列是以2为公差的等差数列. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 24．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据，利用等差数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，令，得，则当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式求解即可. （1）设公差为， ∵， ∴， ∴，. （2）设数列的前项和为， 则由（1）可得，，. 由（1）知，令，得， ∴当时，；当时，， 则， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $