第05讲 中点弦讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦高考中点弦核心考点，覆盖椭圆、双曲线、抛物线的斜率、方程、弦长、轨迹等问题。按“知识要点—解题策略—题型归纳”架构，通过考情分析、要点梳理、方法提炼和9类题型训练，帮助学生构建逻辑体系，突破解析几何中档题难点。 资料以点差法高效解题为特色，采用“模型识别—结论应用—检验验证”三步法，如已知中点求斜率时快速套用结论并验证Δ>0，培养数学思维与规范表达。分层练习与综合题型结合，助力学生秒杀小题、规范大题，为教师提供精准复习路径，提升备考效率。

第05讲 中点弦的应用 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 5 题型01： 中点弦所在直线的斜率与方程 5 题型02： 由弦中点求弦长 9 题型03： 求圆锥曲线的方程问题 13 题型04： 求圆锥曲线的离心率问题 17 题型05： 弦中点的坐标问题 21 题型06： 求弦中点的轨迹方程问题 25 题型07： 曲线上两点关于直线对称问题 28 题型08： 弦中点存在性问题 29 题型09： 中点弦问题综合 31 巩固提升 38 1. 题型与分值 高频出现在选择、填空、解析几何解答题第一问，分值5–8分，属于中档必拿分题型，几乎每套高考卷都会涉及。 2. 核心考查方向 （1）已知弦中点求直线斜率/方程 （2）已知直线斜率求弦中点坐标/轨迹 （3） 对称点、对称直线问题 （4）与离心率、范围、定点结合的小综合题 3. 命题特点 （1）计算量小、技巧性强，是解析几何里“少算多得”的典型模型 （2）题干特征极强：中点、平分、弦中点、对称 （3）可快速求解，也常作为大题简化步骤的关键工具 4. 命题趋势 越来越侧重快速转化，不考复杂联立，优先考查点差法的模型识别与结论应用。 1. 知识目标 （1）理解中点弦的几何意义，掌握点差法的推导过程与适用条件 （2） 熟记核心结论： （3）明确点差法与联立韦达法的区别与联系 （4） 牢记：点差法求出的直线必须验证 Δ>0 2. 能力目标 （1） 看到“中点、平分、对称”，立刻识别中点弦模型 （2） 能熟练使用点差法快速求斜率、直线方程、中点轨迹 （3） 能规范书写点差法步骤，不跳步、不漏条件 （4）会联立与点差法双向验证，保证答案正确 3. 数学素养目标 （1）强化设而不求、整体代换的解析几何思维 （2）深化数形结合思想，理解代数运算背后的几何意义 （3）培养严谨推理习惯，做到先技巧、后检验 4. 应试目标 （1）小题：10–30秒秒杀中点弦斜率/方程 （2）解答题：用点差法简化运算，少算、快算、算对 （3）彻底规避“假解”陷阱，做到用点差必检验 知识点一：椭圆的点差法 1.如图，直线与椭圆交于两点，为弦的中点. 设，，A B M x y 由 O 化简可得： 结论1：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即 由且，， 由结论一可得： 结论2：在椭圆中，弦中点，弦所在直线的斜率与知二求一，即 易知，由 结论3：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即 以上结论只适用于焦点在轴上的椭圆，对于焦点在轴上的椭圆，只需把结论中的位置互换即可，后面的结论4—结论6也是如此 2.如图，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的点(且的斜率均存在)A B x y P 设，， 易知， ，有结论1可知，（常考为长短轴端点） 结论4：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即 3.如图，点为椭圆上的点（不在轴上），直线为椭圆在点处的切线 在结论二中，当直线向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点（极限思想） （可通过联立方程组，由得证）x y P 直线： 化简可得：（切线斜率不存在时也满足该方程） 结论5：椭圆上一点处的切线方程为，斜率（存在时） 4.如图，过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点分别为， 由结论5可知，所在直线的方程为，所在直线的方程为 由既在上，也在上，将代入两直线方程P x y A B 得：且 上面的方程又可理解为均在直线上 所以切点弦所在直线方程为（直线系的理解） 结论6：过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点弦的方程为 注意：对于上述六个结论，选填可以直接用，大题需要有一定的证明过程 知识点二、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 知识点三、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 3、抛物线： 1. 适用场景（一眼判断） 题目出现：弦中点、中点坐标、平分、对称、直线与椭圆交于两点且中点已知→ 直接用点差法 2. 标准解题步骤（万能模板） S1. 设点：设弦端点 A(,)，B(,)，中点 M(,) S2. 代点作差：两点代入椭圆方程相减： S3. 因式分解 + 代中点：变形得到核心公式： S4. 求斜率/方程：代入已知条件，直接求出直线斜率或中点坐标 S5. 必做：检验 Δ>0联立直线与椭圆，确认有两个交点（防止假解） 题型01： 中点弦所在直线的斜率与方程 【典型例题1】已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 故选：A. 【典型例题2】过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 【答案】 【分析】分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】椭圆即， 设弦的两端点分别为,，,，则， 则，， 两式作差可得：， ． 直线过点， 这条弦所在直线的方程是， 即． 故答案为：． 【典型例题3】已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】，在椭圆内部， 易得直线的斜率存在，设的斜率为， 由题意得，两式相减得 ，则，得. 故的方程为，即. 故选：C． 【典型例题4】已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为， 设，所以①，②， ①-②得，， 化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得， 显然，所以直线的斜率. 故选：B 【典型例题5】已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意， 设点、，因为若弦的中点为，则， 因为，可得，即， 所以，， 因此，直线的方程为，即. 联立可得，， 所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意， 因此，直线的方程为， 故答案为：. 【变式训练1-1】在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 【变式训练1-5】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练1-6】已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【变式训练1-7】设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-10】若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 【变式训练1-11】已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ． 【变式训练1-12】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. (1)求抛物线的方程； (2)设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程. 题型02：由弦中点求弦长 【典型例题1】若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用中点弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直线方程，联立方程组，结合弦长公式，即可求解. 【详解】设， 因为弦的中点为，可得， 又因为在椭圆上，可得， 两式相减可得， 可得，即直线的斜率为， 所以弦的直线方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算. 【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：. 直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾； 直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾. 故直线斜率存在且非零. 设直线方程为，联立，得到，由. 设，由题意，，即，的纵坐标为，即. 根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支. 由，得到，显然满足判别式条件：. 由，于是 故答案为： 【典型例题3】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【分析】根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可. 【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 故答案为： 【典型例题4】过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线斜率存在，设，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长． 【详解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得， 则， 所以 【变式训练2-1】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 【变式训练2-2】已知椭圆的长轴长为，是上一点. (1)求E的方程； (2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 【变式训练2-3】已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 【变式训练2-4】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 【变式训练2-6】在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长． 题型03： 求圆锥曲线的方程问题 【典型例题1】已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知椭圆焦点在轴上，设出直线方程并与椭圆联立，再由韦达定理以及中点坐标即可求得，可得椭圆方程为. 【详解】由题意可设椭圆的标准方程为， 则，所以，所以椭圆的标准方程为． 因为直线经过椭圆的上焦点，且直线的斜率存在， 所以设直线的方程为， 代入椭圆的方程，消去并整理得， 设，则， 又，所以可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 【典型例题2】已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 【典型例题3】中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出及其表达式，求出弦的中点坐标和的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】由题意， 在椭圆中，一个焦点为， 设椭圆的方程为, ∴， 设直线与椭圆的交点为,弦中点为 ∵直线截得弦的中点的横坐标为， ∴，， ∴ 即 ∴. ∴，解得： ∴椭圆的方程为：， 故答案为：. 故答案为：.    【典型例题4】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 【典型例题5】若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可. 【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，. 可取，则满足条件的抛物线方程为. 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练3-1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 【变式训练3-5】已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程 . 【变式训练3-6】已知双曲线的中心为坐标原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的标准方程为 ． 【变式训练3-7】已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型04： 求圆锥曲线的离心率问题 【典型例题1】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得，进而可得. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， 得，所以， 故椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点差法解决中点弦问题. 【详解】由题意，设椭圆方程为，有，， 设，，的中点为，，． ，． 由，． 两式相减得，即， ，可得：，， 化为：，解得， ，． 故选：A． 【典型例题3】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 【典型例题4】过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 【变式训练4-1】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-2】设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．-1 【变式训练4-4】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知椭圆的左焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-9】已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ． 【变式训练4-10】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ． 【变式训练4-11】直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 【变式训练4-12】已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练4-13】已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练4-14】已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05： 弦中点的坐标问题 【典型例题1】若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 【典型例题2】【多选】已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则（    ） A．的周长为20 B．的面积为 C．线段中点的横坐标为 D．线段的长度为 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义判断A；联立直线与椭圆方程，求出弦中点横坐标及弦长判断CD；求出面积判断B作答. 【详解】依题意，直线过椭圆的左焦点，椭圆长轴长， 所以的周长，A正确； 由消去y得：，设，则，， 因此线段中点的横坐标为，C正确； 线段的长度为，D正确； 点到直线的距离， 所以的面积为，B错误. 故选：ACD 【典型例题3】设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点，设直线的斜率为， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确； 对于选项D：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题. 【典型例题4】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式训练5-1】直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 【变式训练5-3】已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【变式训练5-4】已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【变式训练5-5】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【变式训练5-6】已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求线段的中点的坐标． 题型06： 求弦中点的轨迹方程问题 【典型例题1】求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹． 【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分 【分析】设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线与椭圆方程，由求出的取值范围，再列出韦达定理得到，消去参数，即可得到轨迹方程. 【详解】     如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为． 联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得． 当判别式， 即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在． 因为，，从而， 这就是中点的轨迹的参数方程（其中）． 消去得，，由，及，可得， 点的轨迹方程为，， 即点的轨迹是直线在椭圆内的部分． 【典型例题2】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程. 【答案】（或）. 【分析】可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得，再消元求解即可. 【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，. 由得. 则，即，且，所以，即，，且，， 所以，. 由，即，，代入消去k得. 又，且，，故或. 故弦AB的中点的轨迹方程为（或）. 【典型例题3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程. 【答案】. 【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况. 【详解】方法1：设，，弦的中点为，则， 当直线的斜率存在时，. 因为两式相减，得. 所以，即， 即. 当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得. 所以 所以. 设，，的中点为， 则，. 所以 . 所以 消去参数，得. 当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 【变式训练6-1】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【变式训练6-2】椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 【变式训练6-3】已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【变式训练6-4】已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【变式训练6-5】双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【变式训练6-6】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 题型07： 曲线上两点关于直线对称问题 【典型例题1】已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 【典型例题2】已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是 . 【答案】 【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值． 【详解】解：设点，，，，线段的中点，， 由，得（判别式△， ，，， 点，在圆上，则，故. 故答案为： 【变式训练7-1】已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练7-2】若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 【变式训练7-3】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 题型08： 弦中点存在性问题 【典型例题1】在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由. 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意； 选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意. 【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 若，即时，方程有且仅有一解，不符合题意； 若，即时，其判别式，则， 所以方程有两个不同实数解时，， 于是，解得，与且矛盾， 所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，不是线段的中点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 其判别式， 于是，解得， 故，即， 所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【变式训练8-1】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【变式训练8-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型09：中点弦问题综合 【典型例题1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 【典型例题2】椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，的中点为，可得，运用“点差法”求解可得，代入求得结果. 【详解】设，，的中点为，则， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得， 由，，即， 将代入，解得，， 所以. 故选：D． 【典型例题3】过椭圆右焦点F的直线交C于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线l的方程与椭圆的方程联立，设，则有，求得AB的中点，得出，再由，可求得a，b，c，从而求得椭圆的标准方程. 【详解】解：直线l：中，令y=0，得，所以右焦点， 设，则AB的中点， 联立，整理得， . 因为，所以，又， 所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的标准方程为. 故选：C． 【典型例题4】已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 【典型例题5】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题6】已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设O为的中点，设，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得的关系，从而可求双曲线离心率. 【详解】如图，不妨设M在第一象限，设Q为的中点， 因为O为的中点，故, 设，， 在双曲线上，则，两式相减可得， 即，而,故， 即； 又因为，则，故，即, 即，即，所以， 又，则， 即，故， 所以，而,故， 故，则双曲线C的离心率为， 根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得， 当M在双曲线的顶点时，由于，此时与双曲线相切，不合题意， 故双曲线C的离心率为 故选：C 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，实际上就是求之间的关系，因而本题解答的方法是利用“点差”的方法，表示出，继而利用条件再表示出，从而求得，由此由可得之间的关系，即可求得答案. 【变式训练9-1】已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【变式训练9-4】如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【变式训练9-5】若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 【变式训练9-6】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【变式训练9-7】已知椭圆内一点引一条弦，与椭圆相交于A，B两点，使弦被M点平分， (1)求这条弦所在直线的方程. (2)求弦的长. 【变式训练9-8】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-9】为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式训练9-10】已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【变式训练9-11】已知双曲线. (1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程； (2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由． 【变式训练9-12】已知曲线C上任意一点满足方程. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程. 【变式训练9-13】已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 【变式训练9-14】若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-15】过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【变式训练9-16】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 【变式训练9-17】在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，是弦的中点，弦所在直线的斜率为，求证：． 【变式训练9-18】已知抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，顶点，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程． 一、单选题 1．已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于两点，与两坐标轴分别交于两点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 9．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 11．已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 三、填空题 12．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 4．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 14．已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 四、解答题 15.已知椭圆，求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 16．已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程. 17.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 18.已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程． (2)若上的两点满足，则称点为上的一对伴点，设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为1． （i）证明：点在上共有两个伴点； （ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 中点弦的应用 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 5 题型01： 中点弦所在直线的斜率与方程 5 题型02： 由弦中点求弦长 17 题型03： 求圆锥曲线的方程问题 25 题型04： 求圆锥曲线的离心率问题 33 题型05： 弦中点的坐标问题 46 题型06： 求弦中点的轨迹方程问题 54 题型07： 曲线上两点关于直线对称问题 62 题型08： 弦中点存在性问题 65 题型09： 中点弦问题综合 69 巩固提升 87 1. 题型与分值 高频出现在选择、填空、解析几何解答题第一问，分值5–8分，属于中档必拿分题型，几乎每套高考卷都会涉及。 2. 核心考查方向 （1）已知弦中点求直线斜率/方程 （2）已知直线斜率求弦中点坐标/轨迹 （3） 对称点、对称直线问题 （4）与离心率、范围、定点结合的小综合题 3. 命题特点 （1）计算量小、技巧性强，是解析几何里“少算多得”的典型模型 （2）题干特征极强：中点、平分、弦中点、对称 （3）可快速求解，也常作为大题简化步骤的关键工具 4. 命题趋势 越来越侧重快速转化，不考复杂联立，优先考查点差法的模型识别与结论应用。 1. 知识目标 （1）理解中点弦的几何意义，掌握点差法的推导过程与适用条件 （2） 熟记核心结论： （3）明确点差法与联立韦达法的区别与联系 （4） 牢记：点差法求出的直线必须验证 Δ>0 2. 能力目标 （1） 看到“中点、平分、对称”，立刻识别中点弦模型 （2） 能熟练使用点差法快速求斜率、直线方程、中点轨迹 （3） 能规范书写点差法步骤，不跳步、不漏条件 （4）会联立与点差法双向验证，保证答案正确 3. 数学素养目标 （1）强化设而不求、整体代换的解析几何思维 （2）深化数形结合思想，理解代数运算背后的几何意义 （3）培养严谨推理习惯，做到先技巧、后检验 4. 应试目标 （1）小题：10–30秒秒杀中点弦斜率/方程 （2）解答题：用点差法简化运算，少算、快算、算对 （3）彻底规避“假解”陷阱，做到用点差必检验 知识点一：椭圆的点差法 1.如图，直线与椭圆交于两点，为弦的中点. 设，，A B M x y 由 O 化简可得： 结论1：椭圆上任意两点的纵坐标平方差与横坐标平方差之比为定值，即 由且，， 由结论一可得： 结论2：在椭圆中，弦中点，弦所在直线的斜率与知二求一，即 易知，由 结论3：在椭圆中，弦所在直线的斜率和弦中点与原点连线斜率之积为定值，即 以上结论只适用于焦点在轴上的椭圆，对于焦点在轴上的椭圆，只需把结论中的位置互换即可，后面的结论4—结论6也是如此 2.如图，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的点(且的斜率均存在)A B x y P 设，， 易知， ，有结论1可知，（常考为长短轴端点） 结论4：椭圆上关于原点对称的两点与椭圆上第三点连线的斜率之乘积为定值，即 3.如图，点为椭圆上的点（不在轴上），直线为椭圆在点处的切线 在结论二中，当直线向外移动到与椭圆相切时，可理解为中点变成切点（极限思想） （可通过联立方程组，由得证）x y P 直线： 化简可得：（切线斜率不存在时也满足该方程） 结论5：椭圆上一点处的切线方程为，斜率（存在时） 4.如图，过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点分别为， 由结论5可知，所在直线的方程为，所在直线的方程为 由既在上，也在上，将代入两直线方程P x y A B 得：且 上面的方程又可理解为均在直线上 所以切点弦所在直线方程为（直线系的理解） 结论6：过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点弦的方程为 注意：对于上述六个结论，选填可以直接用，大题需要有一定的证明过程 知识点二、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 知识点三、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 3、抛物线： 1. 适用场景（一眼判断） 题目出现：弦中点、中点坐标、平分、对称、直线与椭圆交于两点且中点已知→ 直接用点差法 2. 标准解题步骤（万能模板） S1. 设点：设弦端点 A(,)，B(,)，中点 M(,) S2. 代点作差：两点代入椭圆方程相减： S3. 因式分解 + 代中点：变形得到核心公式： S4. 求斜率/方程：代入已知条件，直接求出直线斜率或中点坐标 S5. 必做：检验 Δ>0联立直线与椭圆，确认有两个交点（防止假解） 题型01： 中点弦所在直线的斜率与方程 【典型例题1】已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案. 【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得. 故选：A. 【典型例题2】过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 【答案】 【分析】分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】椭圆即， 设弦的两端点分别为,，,，则， 则，， 两式作差可得：， ． 直线过点， 这条弦所在直线的方程是， 即． 故答案为：． 【典型例题3】已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】，在椭圆内部， 易得直线的斜率存在，设的斜率为， 由题意得，两式相减得 ，则，得. 故的方程为，即. 故选：C． 【典型例题4】已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为， 设，所以①，②， ①-②得，， 化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得， 显然，所以直线的斜率. 故选：B 【典型例题5】已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意， 设点、，因为若弦的中点为，则， 因为，可得，即， 所以，， 因此，直线的方程为，即. 联立可得，， 所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意， 因此，直线的方程为， 故答案为：. 【变式训练1-1】在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 【变式训练1-2】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 【变式训练1-3】过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求得关系，进而求得的值. 【详解】设，则， 两式相减得 又，，则， 则，. 故选：A 【变式训练1-4】已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设，线段的中点为，利用点差法可得，设直线的方程为，得到的坐标，可得，进而可得，再利用求出，则可得到的方程. 【详解】设，线段的中点为， 由，相减可得， 则， 设直线的方程为， ， ，解得， ， ，化为 ，，得， 的方程为，即. 故答案为：. 【变式训练1-5】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，该直线方程为 【分析】（1）设椭圆上一点，，表达出，得到，结合离心率得到，求出椭圆方程； （2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果． 【详解】（1）由题意得，设椭圆右焦点坐标为， 设椭圆上一点，， 则，故， ， 因为，所以，， 故， 故椭圆上的点到又焦点的最小距离是，所以， 联立与，解得，故， 故椭圆的方程为． （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 直线方程为，即． 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 且该直线方程为． 【变式训练1-6】已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、以及点在椭圆上列式，求出与可得椭圆的方程； （2）根据点差法求出直线的斜率，再根据点斜式求出方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，，， 故的方程为． （2）设，，则 则，即． 因为线段的中点坐标为，所以，， 则． 故直线的方程为，即．    【变式训练1-7】设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C 【变式训练1-8】已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程. 【详解】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为. 故选：A． 【变式训练1-9】若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 【变式训练1-10】若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 【答案】/ 【分析】联立直线y=kx+1与双曲线的方程，得到韦达定理，根据中点坐标即可求解. 【详解】联立直线y=kx+1与双曲线可得，即， ∵，直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点， ∴x1+x2=2，， ∴，∴k且 ∵线段AB的中点横坐标为1， ∴x1+x2=2，∴，∴， ∴k，∵，∴k， 故答案为：． 【变式训练1-11】已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ． 【答案】 【分析】设，得，代入抛物线方程相减可得直线斜率，从而得到所求直线方程． 【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分）， 设，， 由，相减得， ∴，即， 直线方程为，即， 故答案为：． 【变式训练1-12】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. (1)求抛物线的方程； (2)设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据中点坐标设出点，再代入抛物线，求出的值即可； （2）先设出直线与两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可. 【详解】（1）依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以， 设，由的中点坐标为， 得，解得， 因为在抛物线，所以 即，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为. （2）如图所示，    根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点， 由， ， ， 所以， 则 所以， 又因为的中点到准线的距离等于， 所以当最小时，的中点到准线的距离最短. 因为， 当且仅当时，解得，则. 所以直线的方程为或. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可. 题型02：由弦中点求弦长 【典型例题1】若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用中点弦的“平方差法”求得弦的斜率，得出的直线方程，联立方程组，结合弦长公式，即可求解. 【详解】设， 因为弦的中点为，可得， 又因为在椭圆上，可得， 两式相减可得， 可得，即直线的斜率为， 所以弦的直线方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算. 【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：. 直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾； 直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾. 故直线斜率存在且非零. 设直线方程为，联立，得到，由. 设，由题意，，即，的纵坐标为，即. 根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支. 由，得到，显然满足判别式条件：. 由，于是 故答案为： 【典型例题3】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【分析】根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可. 【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 故答案为： 【典型例题4】过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线斜率存在，设，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长． 【详解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得， 则， 所以 【变式训练2-1】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程. （2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以， 故E的方程为． （2）设，， 若A，B是E上两点，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，则直线AB的方程为． 联立方程组，整理得，其中， 则，， ． 【变式训练2-2】已知椭圆的长轴长为，是上一点. (1)求E的方程； (2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用椭圆长轴长以及椭圆上的点坐标即可求得的方程为； （2）设出两点坐标，利用点差法求出直线的斜率为，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可求出. 【详解】（1） 由题可知，将代入椭圆方程可得， 联立解得， 故E的方程为. （2） 设，，则， 两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为， 所以可得直线的斜率为， 即直线的方程为. 联立方程组，整理得， 则，， 所以. 【变式训练2-3】已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质求解即可； （2）设为，，，直曲联立表示出韦达定理，由中点坐标公式得到斜率，再由弦长公式计算出结果即可； 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，所以； 双曲线的焦点坐标为，所以；所以； 所以双曲线方程为： （2）由（1）得，根据题意得过的直线斜率存在， 设为，，， 联立，化简得， 所以，， 因为中点的横坐标为，所以， 解得，所以， 所以. ． 【变式训练2-4】设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可. 【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点， 所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为， 设， 联立，整理得， 所以 所以， 因为线段中点的横坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式训练2-5】若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设，，AB中点，利用点差法得到直线AB的斜率，再利用中垂线求得，然后利用抛物线的定义，由求解. 【详解】解：设，，AB中点， 设斜率为k，则， 相减得：， ∵，即， 设抛物线的焦点为F，， ∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 【变式训练2-6】在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点根据题意有，整理分析可得点M的轨迹C的方程； （2）设，AB中点，将坐标代入抛物线方程可得坐标关系从而求得直线AB的方程，联立即可求得，根据相交弦长公式可得线段AB的长． 【详解】（1）设动点根据题意有， 当时，，不符合题意， 当时，化简得．所以动点M的轨迹C的方程为． （2）设，AB中点， 由AB与垂直l可知，直线AB的斜率， 在抛物线上可知：，所以有 即，即， 即，所以． 所以直线AB的方程为，即． 联立，即，易知， ． 题型03： 求圆锥曲线的方程问题 【典型例题1】已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，过椭圆的上焦点的直线交椭圆于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知椭圆焦点在轴上，设出直线方程并与椭圆联立，再由韦达定理以及中点坐标即可求得，可得椭圆方程为. 【详解】由题意可设椭圆的标准方程为， 则，所以，所以椭圆的标准方程为． 因为直线经过椭圆的上焦点，且直线的斜率存在， 所以设直线的方程为， 代入椭圆的方程，消去并整理得， 设，则， 又，所以可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：B． 【典型例题2】已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 【典型例题3】中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出及其表达式，求出弦的中点坐标和的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】由题意， 在椭圆中，一个焦点为， 设椭圆的方程为, ∴， 设直线与椭圆的交点为,弦中点为 ∵直线截得弦的中点的横坐标为， ∴，， ∴ 即 ∴. ∴，解得： ∴椭圆的方程为：， 故答案为：. 故答案为：.    【典型例题4】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 【典型例题5】若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可. 【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，. 可取，则满足条件的抛物线方程为. 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练3-1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案. 【详解】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为. 故选：C. 【变式训练3-2】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可. 【详解】设， 则，两式作差得 所以 若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线， 即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以 解得，所以C的方程为 故选：C 【变式训练3-3】已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解. 【详解】设点、，则的中点为， 则，可得. 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意； 故直线的斜率存在，且， 由于A、两点都在椭圆上，则， 两式相减得，即， 因为在直线AB上，故，故，即， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【变式训练3-4】若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则， 可设椭圆的方程为， 设直线与椭圆相交所得弦的端点为， 因为相交所得弦的中点坐标为，所以， 联立方程组，整理得， 易得，则，可得，解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 【变式训练3-5】已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设点，，利用点差法可得答案. 【详解】设点，， 则， 两个等式作差得， 整理可得， 因为线段AB的中点为， 可得， 又， 所以， 所以，故可设， 此时椭圆G的方程为. 故答案为：.（答案不唯一）    【变式训练3-6】已知双曲线的中心为坐标原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】本题是有关弦的中点问题，利用点差法求得的值，结合可求得的值，进而求得双曲线方程. 【详解】设,代入双曲线方程并作差得，即，，结合，解得，故双曲线方程为. 【点睛】本小题考查点差法解有关弦的中点的问题，利用点差法，将题目的已知代入，可求得的值，由此求得双曲线的标准方程.属于基础题. 【变式训练3-7】已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线，可知焦点为，准线为，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理可得，，结合题意可得点的纵坐标为4，进而得到，进而求解. 【详解】由抛物线，可知焦点为，准线为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，可得， 所以，， 以为直径的圆与抛物线的准线相切于点， 设的中点为，则有， 因为点的纵坐标为4，所以点的纵坐标为4， 即，则， 又， 所以，即抛物线的标准方程为. 故选：D. 题型04： 求圆锥曲线的离心率问题 【典型例题1】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得，进而可得. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， 得，所以， 故椭圆的离心率. 故选：B. 【典型例题2】已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点差法解决中点弦问题. 【详解】由题意，设椭圆方程为，有，， 设，，的中点为，，． ，． 由，． 两式相减得，即， ，可得：，， 化为：，解得， ，． 故选：A． 【典型例题3】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 【典型例题4】过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 【变式训练4-1】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法即可． 【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率． ∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2． 设双曲线C的方程为，则． 设，，则，，． 由，得， 即，∴，易得，，， ∴双曲线C的离心率． 故选：B． 【变式训练4-2】设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率. 【详解】 如图，取的中点为，连接， 则由题意可得，， 所以相似，所以, 因为直线PQ，PF的斜率之积为， 所以, 设， 则有，两式相减可得， 即，即， 即，所以椭圆的离心率为， 故选:B. 【变式训练4-3】平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】 ， 设 设为中点，由于为中点，所以,所以, 因为在椭圆上， 所以两式相减得, 所以，即. 故选:A. 【变式训练4-4】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 【变式训练4-5】已知椭圆的左焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆焦距为，再设出三点，由， 通过计算可得到，进而得到，即可解得斜率． 【详解】设椭圆焦距为，所以． 设，则， 且，由两式相减可得， 即， 根据条件可得：， 故， 由，可得． 因为，所以， 即直线的斜率为． 故选：B． 【变式训练4-6】椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解. 【详解】如图，取线段的中点为，连接，    因为，所以为中点，又为中点， 所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以，则． 故选：B． 【变式训练4-7】已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知：的中点即为弦的中点，利用点差法运算求解. 【详解】设直线：，可得， 设的中点为，连接OM，则，， 因为，则，即为弦的中点， 设，则， 因为， 可得，两式相减得， 整理得，可得， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D.    【变式训练4-8】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果. 【详解】关于直线对称，， 又中点纵坐标为，中点横坐标为； 设，，则， 两式作差得：，即， ； 又，，，解得：， 椭圆的离心率. 故选：A. 【变式训练4-9】已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，求出的斜率，利用点差法求出直线的斜率，在根据题意求出之间的关系即可得解. 【详解】， 设， 因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为， 所以， 则， 由直线l与C相交于A，B两点， 得， 两式相减得， 即， 所以， 即，所以， 则， 所以， 所以离心率. 故答案为：.    【变式训练4-10】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率. 【详解】设直线与椭圆交于两点，其中， 将两点代入椭圆可得，两式作差可得， 即，又中点坐标是， 所以，所以， 令，则，所以， 所以， 故答案为： 【变式训练4-11】直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率. 【详解】设，，，则， 两式相减得，即， 所以，因为是垂直平分线，有， 所以，即，化简得， ∵，∴. 故答案为： 【变式训练4-12】已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】设，，根据题意利用两点坐标表示斜率公式和中点坐标公式可得；由点差法可得，进而，结合离心率的概念即可求解. 【详解】设，， 则， 所以，得. 将A、B两点坐标代入椭圆方程，得， 两式相减，得，有，所以， 由，得，即， 由，得，即，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-13】已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据点差法化简后可得，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简即可求出离心率的取值范围. 【详解】设， 则①，② ①②得    化简得， 因为直线斜率为1， 所以， 设为中点， 则    ③，其中，， 因为在圆上，则   ④ ③代入④可得， 方程有解可得， 即， 解得,即， 所以， 故选：B 【点睛】关键点点睛：点差法做差后，利用中点及直线的斜率化简可得，代入圆的方程消元后根据一元二次方程有解，利用判别式得出离心率的范围，属于难题. 【变式训练4-14】已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 题型05： 弦中点的坐标问题 【典型例题1】若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 【典型例题2】【多选】已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则（    ） A．的周长为20 B．的面积为 C．线段中点的横坐标为 D．线段的长度为 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的定义判断A；联立直线与椭圆方程，求出弦中点横坐标及弦长判断CD；求出面积判断B作答. 【详解】依题意，直线过椭圆的左焦点，椭圆长轴长， 所以的周长，A正确； 由消去y得：，设，则，， 因此线段中点的横坐标为，C正确； 线段的长度为，D正确； 点到直线的距离， 所以的面积为，B错误. 故选：ACD 【典型例题3】设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点，设直线的斜率为， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确； 对于选项D：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题. 【典型例题4】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式训练5-1】直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标. 【详解】设弦为,, 由，消去y得，即. ，， 所以弦的中点的横坐标是， 代入直线方程中，得. 所以弦的中点坐标是. 故选：A. 【变式训练5-2】过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，再与椭圆方程联立求解即得. 【详解】直线l的方程为， 由消去y得，显然， 即直线与椭圆相交，设交点，则， 于是线段中点的横坐标为，纵坐标为， 所以线段的中点坐标为. 故答案为： 【变式训练5-3】已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程.   （2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 【变式训练5-4】已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练5-5】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 【变式训练5-6】已知抛物线的焦点为，与椭圆其中一个焦点重合．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)求线段的中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，可得．即，即可得的方程; （2）设，，设A，B两点的中点为，将，代入抛物线方程，作差整理可得，又因为在直线：，即可得，从而可得的坐标. 【详解】（1）解：抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，． ，即， 的方程为：； （2）解：设，，设A，B两点的中点为， 直线AB的斜率为1，有，， 又A，B两点在抛物线上，有，， 相减整理得：，得， 又中点在直线：上，∴， ∴线段的中点为． 题型06： 求弦中点的轨迹方程问题 【典型例题1】求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹． 【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分 【分析】设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线与椭圆方程，由求出的取值范围，再列出韦达定理得到，消去参数，即可得到轨迹方程. 【详解】     如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为． 联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得． 当判别式， 即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在． 因为，，从而， 这就是中点的轨迹的参数方程（其中）． 消去得，，由，及，可得， 点的轨迹方程为，， 即点的轨迹是直线在椭圆内的部分． 【典型例题2】求过定点的直线被双曲线截得的弦AB的中点的轨迹方程. 【答案】（或）. 【分析】可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得，再消元求解即可. 【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为，，. 由得. 则，即，且，所以，即，，且，， 所以，. 由，即，，代入消去k得. 又，且，，故或. 故弦AB的中点的轨迹方程为（或）. 【典型例题3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程. 【答案】. 【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况. 【详解】方法1：设，，弦的中点为，则， 当直线的斜率存在时，. 因为两式相减，得. 所以，即， 即. 当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得. 所以 所以. 设，，的中点为， 则，. 所以 . 所以 消去参数，得. 当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 【变式训练6-1】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围. 【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 【变式训练6-2】椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】（曲线内部的线段） 【分析】设，由点差法可得答案. 【详解】如图，设，则 两式相减整理可得：．因， 则，又，则. 结合在椭圆内部，则中点的轨迹方程为（曲线内部的线段）． 故答案为：（曲线内部的线段）． 【变式训练6-3】已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可. 【详解】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得： ， 线段的中点为，设， 则， 所以， ， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示： 的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为： ， 故答案为：. 【变式训练6-4】已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可. 【详解】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得： ， 线段的中点为，设， 则， 所以， ， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示： 的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为： ， 故答案为：. 【变式训练6-5】双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 【变式训练6-6】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：设点，，直线斜率为，由作差利用点差法求解即可；解法二：设点，，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可. 【详解】解法一：当直线斜率存在时，设点，，直线斜率为，弦中点坐标为， 则，作差得，即①， 又因为抛物线的焦点，所以②， 联立①②得，即， 当直线斜率不存在时，易知线段的中点为，在上， 所以所求轨迹方程为， 故答案为： 解法二：抛物线的焦点为，设点，， 若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 则设直线的方程为， 联立得，， 则，所以， 设线段的中点为，则，，即， 所以，化简可得， 所以线段的中点的轨迹方程为， 故答案为： 题型07： 曲线上两点关于直线对称问题 【典型例题1】已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， ∴， ∴，代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部， ∴， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：A． 【典型例题2】已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是 . 【答案】 【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值． 【详解】解：设点，，，，线段的中点，， 由，得（判别式△， ，，， 点，在圆上，则，故. 故答案为： 【变式训练7-1】已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为． 【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程； （2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点. 【详解】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，， 设，，的中点， ，①－② ， ， ， 则椭圆E的方程：； （2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为， ，，PQ中点， ， ， ，，即， 由N在l上，，此时， 故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为． 【变式训练7-2】若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可． 【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，， 若点A、B关于直线对称，则 设直线的方程是，代入双曲线方程化简得： ， 则，且，解得，且 又，设的中点是，， 所以，． 因为的中点在直线上， 所以，所以，又 所以，即，所以 所以，整理得， 所以或， 实数的取值范围为： 故答案为：. 【变式训练7-3】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解. 【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意； 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为 ，且的中点为，则， 而，， 所以，则①-②得：， ， ， 中点在直线上， ，于是， 中点在抛物线区域内， ，即，解得：， 综上可知，所求实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力. 题型08： 弦中点存在性问题 【典型例题1】在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由. 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意； 选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意. 【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 若，即时，方程有且仅有一解，不符合题意； 若，即时，其判别式，则， 所以方程有两个不同实数解时，， 于是，解得，与且矛盾， 所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，不是线段的中点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 其判别式， 于是，解得， 故，即， 所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【变式训练8-1】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，该直线方程为 【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果； （2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果. 【详解】（1）设动圆的半径为， 依题意得，所以为定值，且， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ，，，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 由点斜式得直线方程为，即. 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.    【变式训练8-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)· (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，解得的值，即可得椭圆方程； （2）若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，设直线的方程为，与椭圆方程联立求解可得点的坐标，从而可得点的坐标，由，可得点的坐标为，因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据斜率计算公式列方程求解，即可判断是否存在点． 【详解】（1）解：由题意可知，得 椭圆C的标准方程为． （2）解：若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，由题意可得直线和直线的斜率均存在． 设直线的方程为， 由方程组消去可得， 解得或． 则点的坐标为． 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为． 由，可得点的坐标为， 所以直线的斜率为． 因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 所以，整理得，方程无解． 所以，不存在满足题意的点． 题型09：中点弦问题综合 【典型例题1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 【典型例题2】椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，的中点为，可得，运用“点差法”求解可得，代入求得结果. 【详解】设，，的中点为，则， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得， 由，，即， 将代入，解得，， 所以. 故选：D． 【典型例题3】过椭圆右焦点F的直线交C于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线l的方程与椭圆的方程联立，设，则有，求得AB的中点，得出，再由，可求得a，b，c，从而求得椭圆的标准方程. 【详解】解：直线l：中，令y=0，得，所以右焦点， 设，则AB的中点， 联立，整理得， . 因为，所以，又， 所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的标准方程为. 故选：C． 【典型例题4】已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 【典型例题5】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题6】已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设O为的中点，设，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得的关系，从而可求双曲线离心率. 【详解】如图，不妨设M在第一象限，设Q为的中点， 因为O为的中点，故, 设，， 在双曲线上，则，两式相减可得， 即，而,故， 即； 又因为，则，故，即, 即，即，所以， 又，则， 即，故， 所以，而,故， 故，则双曲线C的离心率为， 根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得， 当M在双曲线的顶点时，由于，此时与双曲线相切，不合题意， 故双曲线C的离心率为 故选：C 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，实际上就是求之间的关系，因而本题解答的方法是利用“点差”的方法，表示出，继而利用条件再表示出，从而求得，由此由可得之间的关系，即可求得答案. 【变式训练9-1】已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知点为的中点，利用点差法可得出直线的斜率，进而可求得该直线的方程. 【详解】由题意可得，解得，所以，椭圆方程为， 因为，则点在椭圆内，设点、， 因为直线过点且与椭圆交于、两点，若，则为的中点， 所以，，， 若直线轴时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 因为，这两个等式作差可得， 即，可得， 因此，直线的方程为，即. 故选：B. 【变式训练9-2】斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 【变式训练9-3】已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 【变式训练9-4】如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 【变式训练9-5】若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用点差法解决中点弦问题. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，，则，， 因为点在椭圆上，所以，，两式相减得，，即， 整理得，即，所以直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式训练9-6】直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围. 【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 【变式训练9-7】已知椭圆内一点引一条弦，与椭圆相交于A，B两点，使弦被M点平分， (1)求这条弦所在直线的方程. (2)求弦的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）判断点M与椭圆C的位置关系，再利用点差法求解作答. （2）联立直线AB与椭圆C的方程，再利用弦长公式计算作答. 【详解】（1）因，即点在椭圆C内，符合条件的直线AB必存在， 设，因是弦AB的中点，则， 由相减得：，即有， 因此直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即， 所以这条弦所在直线的方程为. （2）由（1）得：，消去y并整理得：，于是得， 所以弦的长. 【变式训练9-8】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. 【变式训练9-9】为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-10】已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 【变式训练9-11】已知双曲线. (1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程； (2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标，渐近线； (2)不存在，理由见解析. 【分析】(1)根据离心率和a、b、c的关系即可求出b，根据双曲线的性质可求其顶点坐标和渐近线方程； (2)假设存在被M平分的弦，利用点差法求出弦的斜率和方程，将弦的方程代入双曲线方程判断是否有两个解即可． 【详解】（1）， a＝1，故双曲线顶点为，渐近线方程为； （2）当时，双曲线为， 假设双曲线存在被点平分的弦，设弦的两个端点为，， 则，， ∵A、B在双曲线上，∴， ①－②得：， 则， ∴弦AB所在直线方程为：， 代入双曲线方程得， ∵，故AB与双曲线无交点，假设不成立． 故不存在被点平分的弦． 【变式训练9-12】已知曲线C上任意一点满足方程. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合双曲线定义即可判断； （2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程 【详解】（1）设，， 则，等价于， ∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为， 故曲线C的方程为； （2）设点，，则 ，两式作差得， 又G为线段中点，得，则 ，即， 故G的轨迹方程为. 【变式训练9-13】已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程，可得焦点坐标，结合直线斜率即可知直线方程；联立直线方程与抛物线方程，结合线段的中点纵坐标及韦达定理即可求得的值，进而得抛物线的标准方程. 【详解】抛物线， 则焦点坐标为， 过焦点且斜率为1的直线方程为，即， 所以，化简可得， 直线交抛物线于、两点，线段的中点纵坐标为2， 则，而， 解得，所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系的简单应用，根据中点弦的坐标求抛物线标准方程，属于基础题. 【变式训练9-14】若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 【变式训练9-15】过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 【变式训练9-16】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则的值为 ． 【答案】3 【分析】首先根据焦点到准线的距离为求出，确定抛物线方程及焦点坐标，已知是线段AB的中点，则用点差法求出斜率，利用和两点也确定斜率，最后利用两个斜率相等求出参数的值. 【详解】由题知，，故抛物线方程为． 设，易知， 则，由点差法可得 又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率 因为直线l过焦点，所以，可得． 故答案为：. 【变式训练9-17】在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，是弦的中点，弦所在直线的斜率为，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】涉及弦的中点问题，利用点差法求解即可. 【详解】如图： 设两点的坐标分别为，则有 ①②，得．所以． 又因为，， 所以． 【变式训练9-18】已知抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，顶点，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义及已知条件可得为等边三角形，再利用数量积的定义求出，即可求出，从而得解； （2）设，，利用重心坐标公式得到中点坐标为，再利用点差法求出，即可求出直线方程. 【详解】（1）∵，∴为等边三角形， ∴， 又，∴， 设直线交轴于点，则在中，， ∴抛物线的方程为． （2）设，，由（1）可得焦点， 由重心坐标公式得， ∴中点坐标为， 将，的坐标代入抛物线的方程可得， 作差，即， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 一、单选题 1．已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于两点，与两坐标轴分别交于两点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由直线与椭圆在第二象限交于两点知， 直线的斜率存在且，设直线方程为， 则, 设，其中点为，如图， 则有，两式相减可得， 即， 因为，所以也是的中点， 所以 解得. 故选：A 2．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则，直线的斜率， 把两点代入椭圆方程得：，， 两式作差得： ，即， 又因为，即，解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D 3．已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 设直线，且 则，作差得： 由，所以，① 因为为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得， 所以. 故选：B. 4．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】设椭圆方程为， 因为弦的中点的横坐标为，代入直线方程可得中点， 不妨设直线与椭圆的两个交点为， 所以，即， 而中点为，所以，而， 代入可得，而椭圆焦距为4，所以，结合，求得， 所以短轴长为， 故选：B 5．已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 6．已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A. 7．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 8.过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 9．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以，则， 所以， 设，，则，， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即直线斜率的最小值是.    故选：C 【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值. 二、多选题 10．已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【详解】椭圆的离心率为， ∵，∴，则错误； 设，则， 两式相减可得，∴，则错误； 同理可知,,则正确； 又，则正确； 故选：CD． 三、填空题 12．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 4．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 14．已知椭圆，圆，直线l与圆O相切于第一象限的点A与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】取的中点，得到为的中点，设，，根据垂直关系得到直线l的方程，求出和，利用点差法得到，从而得到方程，求出，，从而求出直线方程. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以，即， 故，即，即为的中点， 设，则，， 直线l与圆O相切于第一象限的点A，故，所以， 直线l的方程为，令得， 故，故的中点， 设， 则，两式相减得， 化简得， 故，即， 即，， 解得，负值舍去， 又，故，负值舍去， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握. 四、解答题 15.已知椭圆，求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 解：设斜率为2的直线与椭圆相交于,，弦中点 则两式相减： 于是 可得：，即： 又弦中点在椭圆内，，解得： 16．已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； （2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内， 设，， 所以，， 两式作差得， 由于是的中点，故，， 所以， 所以，所以， 所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 17.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在， 【分析】（1）根据点到直线距离及椭圆定义计算求出椭圆方程； （2）应用点差法 计算得出 代入椭圆方程计算得出点的坐标； （3）先联立双曲线及椭圆再得出的方程分别为，方法一：应用点到直线距离结合点差法证明；方法二：应用角平分线定理计算；方法三应用角的正切的关系计算得出直线；方法四：应用直角三角形内切圆性质求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 不妨取一条渐近线为， 如，则圆心到直线的距离， 从而解得，                             故， 所以，点Q的轨迹C是以为焦点，长轴长为8的椭圆， 因此其标准方程为． （2）设则且， 两式相减，得， 从而，即，                     代入，解得， 故点M的坐标为或． （3）联立解得， 从而，的方程分别为，                     （方法一）设为的平分线n上任意一点，则， 化简得或， 但平分线n与x轴的交点在之间， 检验可知所求角平分线n的方程为．                     设的中点为， 则，直线的斜率 因为所以，故， 代入得 但点与点N重合，即在椭圆上，矛盾！ 故在曲线C上不存在不同的点S，T，使得点S，T关于直线n对称．                             （方法二）设为的平分线n与x轴的交点（如图）， 由角平分线定理得，， 即， （利用E到的距离相等也可）， 解得，从而所求角平分线n的方程为．                 （以下同方法一） （方法三）设E为的平分线n与x轴的交点（如图）， 易知，，可解得，即， 所以， 从而所求角平分线n的方程为．                    （以下同方法一） （方法四）设为的内心（如图），内切圆半径为r， 则， 可得，即I的坐标为， 从而所求角平分线n的方程为．                     （以下同方法一） 18.已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程． (2)若上的两点满足，则称点为上的一对伴点，设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为1． （i）证明：点在上共有两个伴点； （ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题目条件列的方程组，即可得的方程； （2）结合伴点的定义，结合A的坐标列出另一个伴点满足的条件，再结合直线与椭圆的位置关系求解即可得A的伴点，由斜率为的动直线与交于点，结合问可求出的长度，再结合的特征，再求出到的距离的最大值即可求解四边形的面积的最大值． 【详解】（1）设的半焦距为．由题可知，解得 所以的方程为． （2）（i）由题可知点的坐标为． 设点在上的伴点的坐标为，则，即， 所以点在上的伴点在直线上． 联立方程得解得或 所以点在上所有伴点的坐标分别为， 即点在上共有两个伴点． （ii） 设，则 两式相减得，由题可知， 则，所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分．四边形的面积， 由（i）可知直线的方程为． 设点到直线的距离为，则， 又，所以， 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时，取得最大值， 由可得， 令，解得， 故的最大值为直线和直线（或）的距离，即为， 所以， 即四边形的面积的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $