精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高2023级高三上期第三学月考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题，，则p否定是（ ） A. , B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】含有一个全称量词的否定，将全称量词改为存在量词再把结论否定即可. 【详解】命题，，则p否定是， 故选：D 2. 若全集，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求出集合，进而求出非空真子集的个数. 【详解】集合，而，则， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：B 3. 若实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以，A选项错误. 当时，，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项正确. 根据不等式的性质可知，D选项错误. 故选：C 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果. 【详解】对于A：平均数 原始分 = {1，1，1，1，1，1，1，8，9}，原始平均数 . 有效分 = {1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数 = 2. 平均数改变，因此不满足“一定不变”，故A错误； 对于B：中位数 原始9个分数排序后，中位数是第5个值（奇数个数据）.去掉最高分（第9个）和最低分（第1个）后，剩余7个分数排序后为原序列的第2至第8个值，其中位数是第4个值，正好对应原序列的第5个值. 因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故B正确； 对于C：众数 众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变. 例如，原始分 = {1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为1和7（各出现2次）；有效分 = {1，2，3，4，5，6，7}，所有值出现1次，无众数（改变）. 因此不满足“一定不变”，故C错误； 对于D：方差 方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动. 例如，原始分 = {1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差 大于0；有效分 = {8，8，8，8，8，8，8}，方差 = 0（减小）. 因此不满足“一定不变”，故D错误. 故选：B. 5. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，圆心到直线的距离，再解方程即可． 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为1， 根据题意得圆心到直线的距离， 解得． 故选：D． 6. 已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线虚轴长可得，再根据的关系可得的值，从而得双曲线C的离心率. 【详解】因为双曲线的虚轴长为4， 所以，则， 所以， 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 7. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【详解】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 8. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过平方得到，再结合通过三角函数关系得到，，进而逐项判断即可. 【详解】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，先由复数的运算求得，利用复数的模长公式计算即可求得. 【详解】设，则，由题意可得，且，得. 又，则，解得. 于是，所以. 故选：AD. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为函数的最小正周期 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的值域为 D. 当时，函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由代入检验，根据正弦函数的对称性与周期性，可得AB的正误；由升幂公式与绝对值定义，化简函数解析式，结合正弦与余弦的函数性质，可得C的正误；由方程与函数的关系，结合三角函数的图象，作图，可得D的正误. 【详解】因为，故B正确； 因为， 因为， 所以为函数的一个周期， 又， 因为， 当时，单调递增，当时，单调递减，结合选项B可得函数的大致图象，结合图象故A正确； 经分析可知，，所以，故C错误； 结合和图象易知两个图象有5个交点，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项A的正误；根据三棱锥的体积公式，判断选项B的正误；根据向量法求线面角，判断选项C的正误；根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项D的正误；判断结果即可. 【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面， 根据三垂线定理可知， 因为，所以平面，所以A选项正确； 对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的， 所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示： 则，设， 所以，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 当时，可得， 化简得，解得或（舍）， 所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，可知， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的平行关系求解即可． 【详解】由题意可知，，则， 故答案为：． 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式求解. 【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为： . 故答案为： 14. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，则计算得到数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以 ； 则数列为 因为是除以5所得的余数，所以数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，设函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若在在上有解，求m的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式、结合两角差的正弦公式、辅助角公式，化简可得解析式，根据正弦函数的单调增区间，代入计算，即可得答案. （2）根据x的范围，可得的范围，整理可得，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意 ， 令 解得， 的单调增区间为 【小问2详解】 ，， ，则，即， ， 又 当时，m取最大值， 又，， m的取值范围是. 16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2）8 （3）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程； （2）求得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得，，利用弦长公式求解即可； （3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可. 【小问1详解】 设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； 【小问3详解】 由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 . 17. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，根据三角形中位线可证明，进而通过线面平行的判定定理证明问题； （2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案. 【小问1详解】 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面； 【小问2详解】 因为垂直于梯形所在平面，，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，所以，． 设平面PBC的法向量为，则， 令，则. 因为垂直于梯形所在的平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 所以. 18. 已知函数． （1）当时，判断在区间内的单调性； （2）若有三个零点，，，且． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间； （2）（i）法一：原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；法二：将题意转化为有三个根，令，，研究的单调性即可求a的取值范围；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，， 令，可得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）有三个零点，即有三个根， 法一：由不是该方程的根，故有三个根，，，且， 令，， 当，，当时，， 即在，上单调递增，在上单调递减， ，当趋近负无穷时，趋近， 趋近时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 趋近正无穷时，趋近正无穷，故时，有三个根； 法二：有三个零点，则，即有三个根， 令，在上单调递增，又，， ，，，使， 当时，令，， 当时，解得：， 时，在单调递增，，此时无零点， 当时，解得：， 在上单调递减， 在上单调递增， 所以，解得：， 当时，，， 使，当时， ， 使得，故有三个零点， 且. （ⅱ）由在上单调递增，，故， 由（i）可得，且， 即只需证，设，则， 则有，即有，故，， 则，即， 即只需证， 令， 则恒成立， 故在上单调递增， 则，即得证. 19. 某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． （1）设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． （2）利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03概率的下界． （3）若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 【答案】（1）， （2） （3）没有足够理由怀疑该公司的声称 【解析】 【分析】（1）根据满意用户数量服从二项分布，求出满意用户数量的均值和方差，再根据样本中满意用户的比例与满意用户数量的关系求解. （2）根据切比雪夫不等式，将（1）结论代入，根据基本不等式求解. （3）根据切比雪夫不等式及小概率事件的判断求解. 【小问1详解】 设表示第i个用户的满意度，，即． 样本中满意用户数量服从二项分布， 则，. 样本满意度． 期望：， 方差：. 【小问2详解】 要估计的下界． 根据切比雪夫不等式： 这里． 由于（当时取等号），所以 代入切比雪夫不等式：， 因此，样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率至少为． 【小问3详解】 调查结果显示，声称的真实满意度，偏差为． 根据切比雪夫不等式：， 其中， 代入得 所以不能认为该事件为小概率事件． 但我们可以进一步分析：005相当于个标准差． 根据切比雪夫不等式： 所以不能认为该事件为小概率事件，因此没有足够的理由怀疑声称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上期第三学月考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题，，则p的否定是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 2. 若全集，则集合的非空真子集的个数为（ ） A 7 B. 6 C. 3 D. 2 3. 若实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为函数的最小正周期 B. 函数的图象关于对称 C. 函数值域为 D. 当时，函数有5个零点 11. 如图，棱长为2正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则k的值为________． 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 14. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，设函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若在在上有解，求m的取值范围； 16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求的值． 17. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，判断在区间内的单调性； （2）若有三个零点，，，且． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． （1）设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． （2）利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率的下界． （3）若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $