精品解析：湖北荆州中学2026届高三下学期五月模拟考试数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 2或3 C. 2 D. 3 3. 某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 256种 D. 288种 4. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 6. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 11. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ） A. 是“封闭”函数 B. 定义在上的函数都是“封闭”函数 C. 若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 D. 若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为____________. 13. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 14. 在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和． 16. 如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与直线AC所成角的余弦值． 17. 函数，，为自然对数的底数． （1）当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为 （1）求C的方程； （2）过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P， ①若，求点P的坐标； ②是否存在常数，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择是相互独立的． （1）商场规定：某顾客从出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，当他走完第四步后，得分为，求的分布列； （2）商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从出发，走到点的位置．设走完第步后，顾客位于点，老板位于点，其中且；若对任意且都有，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为． （i）当时，求顾客获胜的概率； （ⅱ）求，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ ，且函数在上单调递增，∴ ， 又，∴ . ∵ ，且函数的定义域为，在上单调递增， ∴ ，∴ . ∴ ，故选D. 2. 在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. 1或2 B. 2或3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，， 因为成等差数列，所以， 即，则， 因为等比数列中，所以，解得或， 又因为数列为正项等比数列，公比，所以. 3. 某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 256种 D. 288种 【答案】B 【解析】 【分析】先将5名学生分成4组，其中一组有2名学生，其余三组各1名学生，可利用组合数确定分组方式，对分好的组利用排列数计算分配方式，最后用分步乘法计数原理计算总报名方式数. 【详解】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 4. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由正弦定理得到，代入计算，即可求解. 【详解】在中，因为，且的面积为， 可得，即，所以， 由正弦定理得，所以， 代入，可得，所以. 5. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面,可得∥,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】连接交于,连接, ∥平面,平面 平面平面, ∥, 故: ① 又∥,为的中点, ② 由①②可得: 故选:D. 【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 6. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再根据极值点的概念和正弦函数图象的性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】因为，所以. 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点， 所以，又，所以. 故的取值范围为. 7. 抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直线的方程为，， 由抛物线可得准线方程为， 又，，所以，，所以， 又因为，，所以， 所以，所以， 所以. 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用全概率公式计算可判断A；利用条件概率及对立事件计算可判断B；根据对立事件可判断C；利用条件概率结合互斥事件的和事件的概率计算可判断D. 【详解】对于A，设事件与事件分别为“第一次取出的是白球”与“第一次取出的是蓝球”， 则，，，，， 所以 ，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出正四棱台体积判断A；求出侧棱与底面夹角正切判断B；利用线面平行判定推理判断C；求出外接球半径求解判断D. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为， 所以 ，台体的高为 ， 由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A正确； 对于B选项，侧棱与底面夹角的正切值为，B错误； 对于C选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面，C正确； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D正确． 11. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ） A. 是“封闭”函数 B. 定义在上的函数都是“封闭”函数 C. 若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 D. 若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数 【答案】BC 【解析】 【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误. 【详解】对A：当时，，而，A错误； 对B：对于集合，使，即，必有， 所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确； 对C：对于集合，使，则， 而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合，使，则，， 而，，...，， 所以， 即，故，一定是“封闭”函数，C正确； 对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可， 使，则， 若，则， 由解得，因为，所以， 即使，则， 满足是“封闭”函数， 故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为点，点， 所以， 所以点到直线的距离为： ， 故答案为： 13. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据百分位数定义可得，再由通项可求得第5项为常数项，计算可得结果. 【详解】易知，所以的上四分位数为第5个数，即； 所以二项式为， 设展开式中的第项为常数项，即为常数项， 令，解得， 即常数项为. 故答案为：60 14. 在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），    又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支）    过点作，而面， 所以面，    设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． 【小问2详解】 因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 16. 如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【小问1详解】 解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 17. 函数，，为自然对数的底数． （1）当时，过点可以作曲线三条切线，求实数的取值范围； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设切点坐标，利用导数求出切线斜率，结合点斜式写出切线方程，将点代入切线方程，得到关于切点横坐标的方程，再构造函数，利用导数研究该函数的单调性与极值，根据极值的符号确定参数的范围； （2）依题意等价于，即，存在使得该式成立，所以先利用导数求出的最大值，构造关于的函数，再求该函数的最大值，进而确定的范围. 【小问1详解】 当时，， 设切点为，切线方程为：， 切线过，代入得：， 依题意有三条切线，即方程有三个不同实根， 设，求导得恒成立： 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 极值为，且时时， 因此与有三个交点时：； 【小问2详解】 ，求导得， 令得（为极值点横坐标）， 由得， 的最大值为，代入得：， 依题意若存在使得对任意恒成立，即：， 整理得：对某个成立，即， 设，求导得：， 可得：时递减； 时递增。因此最小值为，故： 即的取值范围是. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，渐近线方程为 （1）求C的方程； （2）过的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线交C于另一点P， ①若，求点P的坐标； ②是否存在常数，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由焦距可得c，由渐近线可得a、b关系，再结合a、b、c的平方关系求解即可； （2）①设，，分别于双曲线联立，由，得，则，结合B在双曲线上，代入可得B坐标，进而求得P坐标； ②由韦达定理可得，进而利用斜率公式可得，，即可得解. 【小问1详解】 由题意得， 解之得，所以C的方程为 【小问2详解】 ①设，， 设，，， 由得， 则， 由得， 则， 因为，所以， 则，整理得， 因为，， 所以， 即， 因为点B在双曲线C上，所以， 则，解之得， 则，所以， 则，即直线BP垂直于x轴，故 ②由①知，，， 所以， 则 ， 而， 所以，即存在满足题意. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 某商场为吸引顾客，设计了一个趣味小游戏，地面上划有边长为1的小正方形网格，游戏参与者从网格的某一个顶点出发，每一步沿一个小正方形的对角线向右上方或右下方移动，如图所示．已知游戏参与者每步选择向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的选择是相互独立的． （1）商场规定：某顾客从出发，沿小正方形的对角线向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，当他走完第四步后，得分为，求的分布列； （2）商场制定了一个游戏规则：若顾客和老板都从出发，走到点的位置．设走完第步后，顾客位于点，老板位于点，其中且；若对任意且都有，则认为顾客方获胜．记顾客获胜的概率为． （i）当时，求顾客获胜的概率； （ⅱ）求，并说明顾客和老板在游戏中哪一方获胜的概率更大． 参考公式：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）;（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的取值情况，再分析每种情况表示的意义，借助独立事件的乘法公式计算概率，进而得到分布列即可； （2）（i）运用组合知识求出顾客和老板从步中选步是向右下方走的组合数，设顾客在第步向右下方走，则分情况讨论老板的走法总数，再用概率公式计算即可. （ⅱ）与（i）同理求出，变形借助函数的单调性，知道数列是递减数列，再讨论得解. 【小问1详解】 根据题意，可取. 当，每次的操作使得分数减少，每次操作的概率为.由于走了步，且每步都要使得分数减少，所以. 当意味着步中有步是使得分数减少的操作，步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作的概率为，所以. 当表示步中有步是使得分数减少的操作，另外步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作概率为，所以. 当意味着步中有步是使得分数减少的操作，步是使得分数增加的操作. 步中选步的组合数为. 每步操作概率为，所以. ，每次的操作使得分数增加，每次操作概率为，走了步， 所以. 则的分布列为： -4 -2 0 2 4 【小问2详解】 （i）顾客一共需要走步，其中向右下方走步，向右上方走步. 从步中选步是向右下方走的组合数为.同理，老板也有种走法； 对任意，都有，可设顾客在第步向右下方走，则老板的走法有两种情况： 情况一：老板在第1步到第步中有两步向右下方行走，共种走法： 情况二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共种走法，所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为 所以 （ⅱ）当顾客和老板都从出发，走到点的位置时， 顾客一共需要走步，其中向右下方走2步，向右上方走步，共有种走法；同理，老板也有种走法； 对任意都有，同样可设顾客在第步向右下方走，则老板的走法有两种情况： 情况一：老板在第1步到第步中有两步向右下方行走，共种走法； 情况二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共种走法； 所以顾客获胜时，顾客与老板总的走法数为 . 所以顾客获胜的概率为 由于 又函数在上单调递减， 所以数列是递减数列， 又，所以当时，有 所以在商场制定的游戏规则中， 当时，顾客与老板的获胜概率是相等的； 当时，老板的获胜概率更大. 【点睛】关键点点睛：第一问关键是找清楚X的所以情况，以及代表的意思，结合独立事件求概率；第二问关键是找出顾客和老板的走法数情况，分类讨论，用函数单调性结合得到单调性即可求解.题目较难，理解能力和计算能力要求高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $