精品解析：四川省成都外国语学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

成都外国语学校2025级高一数学12月月考试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. “”是“”的（　　）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果. 【详解】根据题意，显然当，可得成立，所以充分性满足； 当时，可得或，所以必要性不满足； 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断. 【详解】由， 根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且， 所以函数在区间上一定存在零点，故B正确； 而，则在上不一定有零点，故A错误； 又，则在，上也不一定有零点，故CD错误； 故选：B 4. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象得到时，，当时，，结合函数的奇偶性得到当时，求出不等式的解集. 【详解】由图象可得到时，，当时，， 因为为奇函数，所以， 所以当时，，故， 当时，，故， 综上，函数值的的取值集合为. 故选：D 5. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系. 【详解】解：由题意， ， 在中，函数单调递增，且， ∴， 在中，函数单调递增，且当时，， ∴， ∴， 故选：A. 7. 年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量）．经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（ ）年到年之间？(参考数据：，) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，利用对数运算性质及对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，，即， ∴，则, ∴，即. 故选：A． 8. 已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于对称， 令，则，即， 即，所以，， 故函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以，函数是定义在上的偶函数， 由题意可知，函数在上单调递减， 由可得， 所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 幂函数在区间上是减函数，等价于或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为存在性命题，可判定A正确；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；令，求得，得到，可判定C正确；根据幂函数的定义与性质，可判定D正错误. 【详解】对于A，根据全称命题的否定为存在性命题，可得命题“，”的否定是“，”，所以A正确； 对于B，函数满足，解得或， 所以函数的定义域为， 函数满足，解得，所以的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以两函数不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，令，可得，所以， 令，解得，所以C正确； 对于D，要使得函数满足在区间上是减函数， 则满足且，解得，所以D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的序号是（ ） A. ，，使得时，恒成立 B. 函数的值域为 C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是 D. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A根据指数函数、对数函数、幂函数在给定条件下增长速度情况来分析，选项B利用换元法将函数转化为二次函数求值域即可；构造函数利用函数零点存在性定理判断即可得出选项C；将函数转化为二次函数来分析即可得出选项D. 【详解】选项A，对时，随着自变量的增大， 指数函数增长速度远快于幂函数， 幂函数增长速度远快于对数函数， 所以，使得时，恒成立， 故A选项正确； 选项B，令，则， 所以原函数化为：， 由该二次函数开口向下，对称轴为， 所以当时，函数单调递减， 所以， 所以函数的值域为：， 故B选项不正确； 选项C，设函数， 因为函数和在单调递增， 所以在单调递增， 又函数在上的图象连续不断， 且， ， 所以函数在区间上无零点， 故C选项不正确； 选项D，令，当时，， 则函数化为：， 该函数为开口向上的二次函数，对称轴为：， 所以要使函数在区间上单调递增， 则实数满足：， 即实数的取值范围， 故D选项正确； 故选：AD. 11. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点，该定点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求类指数函数经过的定点坐标. 【详解】因为当且时，恒成立， 所以当时，. 所以函数的图象经过定点. 故答案为： 13. 函数的递减区间为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案. 【详解】因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间， 且要满足，解得或， 其中在上单调递增， 故的递减区间为. 故答案为： 14. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数.若恒有，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用函数单调性与奇偶性的定义与判定方法，求得为偶函数，且在上为单调递增函数，把不等式转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以函数为偶函数， 令，则， 因为，所以， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简集合，再根据交集、并集的定义计算可得； （2）首先可判断，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 由，解得， 所以，又， 所以，； 【小问2详解】 因为，又且恒成立，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 计算求值 （1）. （2）已知，，求的值. （3）已知：，求的值. 【答案】（1）0 （2）8 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可. （2）根据指数与对数的互化计算即可. （3）先对式子进行化简，进而根据已知条件进行求解计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，，可得，. 所以. 【小问3详解】 因为，所以， ，所以. 17. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）； （2） 奇函数，证明：是奇函数，由解析式知函数定义域为R， 由，故为奇函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数为指数函数有，且求出参数值，即可得解析式； （2）利用奇偶性定义判断证明函数的奇偶性； （3）利用指数函数的单调性列不等式求解集. 【小问1详解】 由题意，可得或， 又指数函数中且，故，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在定义域R上单调递增，则， 所以，可得或，解集为. 18. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 【答案】（1）； （2）最小值为250千元. 【解析】 【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及求出k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数的关系式，再代入计算作答. （2）利用（1）的函数模型求出的表达式，再求出当时，的最小值作答. 【小问1详解】 当时，由，得，即，（，）， 因为，，则，而，即日销售量数据有增有减， 显然，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③， 将，代入模型③得：，解得， 所以模型③的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为250千元. 【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）当，函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念结合对数运算即可求得的值； （2）将函数存在零点，转化为方程有实数根，令确定函数在时的单调性与取值范围，即可得实数的取值范围； （3）若函数与的图象只有一个公共点，则转化为方程，令（），得，根据一次方程分类讨论即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题得的定义域为， ∵是偶函数，∴， 即对任意恒成立， ∴， ∴； 【小问2详解】 即，因为当，函数有零点，即方程有实数根. 令，则函数与直线有交点，∵， 根据复合函数单调性可得在上单调递减，当时有， ∴，则， 所以a的取值范围是； 【小问3详解】 因为， 又函数与的图象只有一个公共点，则关于x的方程只有一个解， 又函数的定义域为，函数的定义域满足，即当时，定义域为，当时，定义域为， 所以，令，得， ①当，即时，此方程的解为，不满足题意； ②当，即时，则，即，此时， 又，，所以此方程有一正一负根，且正根大于， 所以，解得，所以； ③当，即时，则，即，若方程有根两根， 又，，所以此时方程为两个负根，不符合题意； ④当时，则，即，要使得方程唯一的在内的根， 则，解得， 综合①②③④得，实数m的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025级高一数学12月月考试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分； 2.本堂考试120分钟，满分150分； 3.答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂； 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（　　）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量）．经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（ ）年到年之间？(参考数据：，) A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 幂函数在区间上是减函数，等价于或 10. 下列说法正确的序号是（ ） A. ，，使得时，恒成立 B. 函数的值域为 C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是 D. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 11. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点，该定点的坐标为______. 13. 函数的递减区间为____________. 14. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数.若恒有，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 计算求值 （1）. （2）已知，，求的值. （3）已知：，求的值. 17. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 18. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足（k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入（单位，千元）的最小值． 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）当，函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $