吉林省长春市吉大附中实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

“骨海无液潜心苑康，天道酬勤冕精不限” 2025-2026学年上学期高二年级 期中考试数学学科试卷 3010 长春吉大附中实旅学和 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第「卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条升 码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 题卷上答题无效。 4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一9 是符合题目要求的， 1.直线y-2025=0的倾斜角为 A.π B.分 C.0 D.不存在 2.已知向量a=(-2,1,0),b=(0,1,2),则2a-b= A.(-4,1,-2)B.(4,-1,2) C.(-2,0,-2) D.(-2,2,2) 3.已知双曲线C:4x2-y2=16,则双曲线的实轴长为 A.2 B.4 C.8 D.16 4,在同一坐标系中，片+ F+厅=1与x+y2=0(a>b>0)的图象大致是 2075一303K学年上学期高一年 5.正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，则(AB+AD)(AD+AA)= A.-2 B.-1 C.0 D.1 &已知椭圆C(+Q>b>0的左、有焦点分别为，，点4，B在该梢圆卫 四边形RB是等腰梯形，且HFR、∠ACB-, 则C的离心率为 A.2-1 B.3-1 c.3 3 D.√2 7.已知n=(1,2,2)为平面u的-个法向量，点A1,0,0)为4内的一点，则点P3,1,1)关于平 面的谢称点坐标为 4令子多套名3c原 )。房多 1.已知M(,),W(x2,2)是圆C:(x+3)+(y-5)2=4上的两个不同的点，若|MW=2√2， 则|x-+x2-y2|的取值范围为 A、[12,20] B.10,14] C.[8,16] D.[4W2,82 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 年.若椭圆￡+上 m+2十加=1(m>0)的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有 A. B.√万 C.2 D.2 10已知直线：(2+1)x+2y+元-1=0，圆C:x2+y2-4y=0,圆C2:x2+y2-4x=0,则下列结论 正确的是 A.直线l恒过定点（-1，) B.直线l与圆C一定相交 C.圆C与圆C,公共弦所在直线方程为y=-x D.当1=0时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，动点P满足AP=入AB+uAD+VAA, 其中2,4，v∈[0，]，则下列说法正确的是 A.若九=0，A=V=1,则CP∥平面ABD B.若九=4，y=0,则BD⊥DP C.平面ABP与平面ABC夹角的大小与2,4，V都有关 D.若A+A+v-方则点P到平面BD4的距离是 6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12在空间直角坐标系中，点4(-2,3，-5)，B(2,-1,7),则线段AB的中点坐标为 13.点P-3,1)在动直线(x-1)+n0y-)=0上的投影为点M,若点N3,3),那么MW1的最小 直为 学科试卷（第1页，共2页) 14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射 的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E:-=1@>0,b>0)的左、右焦点} 为F,F,从F发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D,且 tan B4.C=一3，AB LBD,则E的海近线方程为 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线3x+4y+5=0相切 (1)求圆A的方程； (2)过点B(0,-1)的直线1与圆A相交于M,N两点，当MN卡25时，求直线L的方程. 16.(15分)如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1,PC=V3,PA⊥平面ABC. 4求证：BC⊥平面PAB; (2)求平面APC与平面PCB所成角的大小， 2025一2026学年上学期高二年级期中 17.（15分)已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(√2,2)，B(1,0)两 点 (1)求双曲线C的标准方程； 2已知直线1与双曲线C有且只有一个公共点，且1与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求 直线1的方程 18.(17分)如图所示的几侗体由s棱锥P-ABC及三棱锥2-ABC组成，其中△ABC是边长为2V3 的正三角形，且△PBC,△QBC均由△ABC绕BC旋转得到，点D为BC的中点. (1)证明：直线AD与直线P2共面： (2)已知AP=3,AQ=3W2. ()若点A,B,D,Q都在球O的表面上，求球O的表面积； ()求直线BP与平面ACQ所成角的正弦值. 97分)已知椭圆C名+O>b>0的离心率为华，且C上的点到其一个焦点的距高的 3 最大值为3+5. (1)求C的方程： (2)过点P(2,)分别作斜率不为0的直线L和12,4与C交于A,B两点，1与C交于D,E两点， 和2的斜率互为相反数 (i)证明：|PA|PBPDPE|； (i)证明：直线AD和BE的斜率互为相反数. 考试数学学科试卷（第2页，共2页） 1.答案： 【答案】 由题意知直线y-2025=0即y=2025,与x轴平行， 故其倾斜角为0. 故选：C 解析 根据直线与x轴平行，即可求解结论， 点评 本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题 2.答案： 【答案】 因为向量a=(-2,1,0),b=(0,1,2), 则2a=（-4,2,0),所以2a-b=(-4,2,0)-(0,1,2)=(-4,1,-2) 故选：A 解析 根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示求解 点评 本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题 3.答案： 【答案】 由已知，双曲线C的方程4红2-=16化为标准方程为号-兰=1，所以a=2。 4-16 所以双曲线的实轴长为4 故选：B. 解析 将双曲线的方程化为标准方程，求出α的值，即可得出该双曲线的实轴长 点评 本题主要考查双曲线的实轴，属于基础题 4.答案： 【答案】 闻6u7白《0。n1。G 由ax+b=0(a>b>0),得y2=-号x,其图象是开口向左的抛物线 综上，可知方程少十 装+斧-1与a:+r=0a>b>0)的线人致是： 故选：D 解析 由椭圆的方程与抛物线方程可得图象，则答案可求 点评 本题考查椭圆与抛物线的综合，考查椭圆与抛物线的图象，是基础题， 第5页共14页 5.答案： 【答案】 →2 (AB+AD)·（AD+AA1)=AB·AD+AB·AA1+AD+AD·AA1=0+0+1+0=1 故选：A 解析 根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解 点评 本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题， 6.答案： 【答案】 如图， 设椭圆C的半焦距为c,依题意，AB/FF2,又AF=FF2, 所以∠BAPF2=∠AF2F=∠AF2,设∠BAF=∠AF2F=∠F1AF2=0 因为四边形AFF2B为等腰梯形， 所以∠AF及=∠BF肠B,即T-20=6+受，得0=吾： 6 由椭圆定义知，AF2=2a-2c,所以cos∠FAF2= AF 2c 2 解得号=e=y3-1 2 故选：B 解析 设∠BAF2=∠AF2乃=∠F1AF乃2=0，根据条件求得0=T，由椭圆定义得|AF2=2a-2C,从而利用cosLF乃 6 A=-C=cos求得离心率 2c 6 点评 本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题. 7.答案： 【答案】 因为元=(1,2,2)为平面a的一个法向量，点A(1,0,0)为a内的一点， 所以平面的方程为：1×(x-1)+2×(y-0)+2×(之-0)=0，即x+2y+2z-1=0, 因为n=(1,2,2)为平面a的一个法向量， 所以过点P(31,1)且垂直于平面a的直线的方程为：-3=1=2,1=t为参数)， 1 2 2 由此可得过点P(3,1,1)且垂直于平面a的直线上点的参数方程为：x=t+3,y=2t+1,z=2t+1,代入平 面的方程x+2y+2z-1=0, 可得t+3+2(2t+1)+2(2t+1)-1=0, 解得t=一号 所以垂足M的华标为（子弓》 设点P(3,1,1)关于平面α的对称点为Q(x0,0,20), 第6页共14页 则点M3一方 二，是点P与点Q的中急 所以x0= 5 5 5 3,30=-3,20=-3 所以点P81,)关于平面a的对称应Q的坐标为号一号一影》 故选：C 解析 先求出平面的方程和过点P(3,1,1)且垂直于平面α的直线的参数方程，进而求出垂足的坐标，再利用中点坐标公 式求解。 点评 本题主要考查了平面的方程，考查了空间直角坐标系中点的坐标，属于中档题， 8.答案： 【答案】 已知M(1,1),N(x2,2)是圆C:(x+3)2+(g-5)2=4上的两个不同的点，MN=2V2, 则圆C的圆心坐标C(-3,5),半径为2， 因为MN=2√2，所以CM⊥CN, 设P为MN的中点，所以CP=V2, 所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-5)2=2, 其轨迹是以C(-3,5)为圆心，半径为√2的圆， 设点M,N,P到直线x-y=0的距离分别为d1,d2,d, 所以d1= 1-1,6=22-驰，d=4+d √2 2 所以x1-1l+|z2-y2=V2(d1+d2)=2v2d, 因为点C倒到直线c-y=0的距离为-35 ② =4V2, 所以4V2-V2≤d≤4v2+V√2，即3W2≤d≤5V2, 所以12≤2√2d≤20.所以川c1-1+x1-2l的取值范围为[12,20] 故选：A, 解析 由题设知，CM⊥CN,设P为MN的中点，所以CP|=v√2，求出点P的轨迹方程，设点M,N,P到直线一y =0的距离分别为d1,d2,d,求出d1,d2,d,得到1-y1+lx2-2=√2(d1+d2)=2V2d,求出点C到直 线一y=O的距离，得出d的范围即可解决。 点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题， 9.答案： 【答案】 当|AB=4时，所以2Vm2+2=4,解得m=√2或-V2(舍去)， 当CD=4时，2m=4,m=2, 当AC=4时，√m2+2+m2=4,m=7或-v√7（舍去）， 故选：BCD. 第7页共14页 解析 分三种情况：当2√m2+2=4时，当2m=4时，当√m2+2+m2=4时，即可得出答案 点评 本题考查椭圆的性质，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题 10.答案： 【答案】 对于A,直线l:(入+1)x+2y+入-1=0可整理为(x+1)入+(x+2y-1)=0, 9-0 g=1，直线恒过定点(-1,1，A正确； x=-1 对于B,圆C1:x2+2-4=0的圆心(0,2)，半径为2,1V(-1-0)2+(1-2)2=V2<2,点(-1,1)恒在 圆C1:x2+y-4y=0内部， ∴.l与圆C1一定相交，B正确： 对于C,由圆的方程可得：圆C1(0,2),半径r1=2;圆C2(2,0),半径r2=2, 1C1C2=√4+4=2W2,.r1-r2<|C1C2l<r1+r2, .两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为：x一y=0,C不正确： 对于D,入=0时，直线l:(+1)x+2y+入-1=0，化为x+2y-1=0,圆C1:x2+2-4=0的圆心 (0,2),半径为2 圆的圆心到直线的距离为： 4=3>1,所以圆C上有2个点到直线的距离等于1，D不正确 √1+4√5 故选：AB 解析 根据直线过定点的求法可判断A正确：利用定点与圆C,的位置关系，可判断B:根据圆与圆的位置关系可判断出 两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断C:通过圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，判 断D. 点评 本题考查直线过定点问题、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等，属于中档题， 11.答案： 【答案】 如图，以点A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1), 可得AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1), 则AP=入AB+uAD+vAA1=(入，4，)，即P(入，4，) 对于选项A:若入=4，=0，即P(4,4,0), B1D=(-1,1,-1),D1P=(u,4-1,-1) 则B1D·D1P=-4+(u-1)+1=0,故B1D⊥D1P,即A正确： 对于选项B:若入=0,4=w=1,则P(0,1,1) CP=(-1,0,1),因为BA1=(-1,0,1)=CP, 第8页共14页 可知BA1/CP,且BA1C平面A1BD,CP￠平面A1BD, 所以CP/平面A1BD,故B正确： 对于选项C:设平面PAB的法向量n1=(a,b,c), n1·AB=a=0 → (n1·AP=aλ+bμ+cu=0 令b=v,则a=0,c=-h,可得n1=(0,v,-), 又因为平面ABC的一个法向量为n2=(0,0,1), →→ 则cos(n1,n2〉= n1·n2 - n1 n2 V2+u2 所以平面ABP与平面ABC夹角的余弦值为 2+2 即平面ABP与平面ABC夹角的大小与入无关，故C错误： → 对于选项D:设平面BDA1的法向量为ng=(x,y,z) 因为BD=(-1,1,0),BA1=(-1,0,1), 可得 0,即-x+=0 BD·n3=0 1-x+z=0 BA1·n3=0 取x=1,可得y=1,之=1， 可得n3=(1,1,1)是平面BDA1的一个法向量， 因为A1P=(,4,v-1), 〉 A P.n3 |入+4+w-1 则点P到平面BDA1的距离为d= V3 n3 又因为入十4+v= 1 ，故D正确 ,可得d=3 故选：ABD 解析 建系标点，根据题意可得P(入，4，w) 对于A:利用向量可得B1D·D1P=0,即可判断垂直： 对于B:利用向量可得BA1//CP进而判断线面平行： 对于C:分别求平面ABP与平面ABC的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断： 对于D:求平面BDA的法向量，利用空间向量求点到面的距离 点评 本题考查向量法的综合应用，属于难题， 12.答案： 【答案】 因为点A(-2,3,-5),B(2,-1,7) 所以线段AB的中点坐标为(0,1,1)： 故答案为：(0,1,1) 解析 第9页共14页 直接利用中点坐标公式求解， 点评 本题主要考查了中点坐标公式的应用，属于基础题 13.答案： 【答案】 动直线m(x-1)+n(y-1)=0恒过定点A(1,1), 由投影的定义知，PM⊥AM, 所以M点在以PA为直径的圆上，且半径R=专PA=2,圆，心C(-1,): 所以MN的最小值为CN-R=√(3+1)2+(3-1)2-2=2V5-2. 故答案为：2V5-2. 解析 求出动直线恒过的定点A,利用由投影的定义得出点M的轨迹为圆，由此求出MN的最小值. 点评 本题考查了动点的轨迹和圆的性质应用问题，也考查了转化与应用能力，是中档题 14.答案： 【答案】 如图， A F D 连接A乃，B乃，则C、A、F三点共线且D、B、三点共线， 由已知，tam∠AA=-tam∠BAC=专 因为AB⊥BD,所以设B=4m,则AB=3m,|AF=5m, 由双曲线的定义AF1+BF=AB+4a,所以AF=4a-m, 所以5m=4a-m,则m=2 则在Rt△FBF中，BF= 号.B=受.A=2, 8a 所似0+4g2 9 4c2=4a2+6的，可得会=2y2 31 即E的渐近线方程为y=士2y2， . 3 故答案为：=±2y22 3. 解析 连接AF,BF,由双曲线的光学性质可知C、A、F三点共线且D、B、F三点共线，设BF=4m,根据双曲 线的定义以及tan∠乃AF2的值可表示出AB、|AF,解得m和a的关系，在Rt△FB2中，由勾股定理可得a, c的关系，进一步求得双曲线的渐近线方程 点评 本题主要考查双曲线的光学性质和求双曲线的渐近线方程，属于中档题. 15.答案： 第10页共14页