吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：贺阳 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 或 C. D. 4. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线上横坐标为的点与圆上的点的最远距离为 B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 C. 圆上的点到直线的最远距离是1 D. 过点作圆的所有弦中，弦长最短为 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 13. 设等差数列的前项和为，且，，则__________. 14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为__________；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等差数列． 16. 已知圆过，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，，. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值. 18. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且. （1）求证：直线恒过定点，并求此定点； （2）若交于点，点的坐标为，请你求出的值； （3）在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 19. 椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. （1）求椭圆与双曲线的标准方程； （2）设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； （3）过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：贺阳 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【16题答案】 【答案】（1）； （2），轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析，定点为； （2） （3）的最小值为，此时点的坐标为 【19题答案】 【答案】（1）， （2）设，则的中点， 由题意可知：，则， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减可得， 整理得，即， 又因为，则，且点均在直线上， 则点即为点，即为的中点. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $