吉林、黑龙江两省十校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

吉林、黑龙江两省十校联合体2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章~第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1若，，则（ ） A.7 B.11 C.22 D.29 2.直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A.， B.， C.， D.， 5.已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 6.已知圆与圆（）有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 8.已知实数，满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知直线与交于点，则（ ） A. B. C.点P到直线的距离为 D.点P到直线的距离为 10.在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（ ） A.当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B.的取值范围为 C.不可能为钝角 D.当为等边三角形时，点P的坐标为 11.如图，在棱长为2的正方体中，点P，M是底面内的一点（包括边界），且，，则下列说法正确的是（ ） A.点P的轨迹长度为 B.点M到平面的距离是定值 C.直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为 D.PM的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知在空间直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则_____． 13.过点作圆的切线，则切线方程为_____． 14.已知圆的图象在第四象限，直线，．若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为等边三角形，则被圆C截得的弦长的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.已知的顶点坐标是，，，M为AB的中点． （1）求中线CM的方程； （2）求经过点B且与直线AC平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16.已知向量，． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． （1）证明：平面ACQ； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 18.如图，在正方体中，F，G分别是棱，的中点，E为棱AB上一点，且异面直线与BG所成角的余弦值为． （1）证明：E为AB的中点； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19.如图，已知圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B． （1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标； （2）求线段AB中点的轨迹方程； 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】A 【解析】 【分析】计算的坐标，再利用数量积的坐标运算求出． 【详解】由，，得， 所以． 故选：A． 2.【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】由化为， 即该直线斜率为，所以其倾斜角为．故选：C． 3.【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心和半径即可求解． 【详解】因为AB为直径，则，的中点为， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为，故选：A． 4.【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得． 【详解】依题意 ， 又，所以，． 故选：C 5.【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可． 【详解】由题意可知，，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：A 6.【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：． 【详解】根据题意可知，圆，外离，，， 又，．故选：D． 7.【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可． 【详解】，，， ． 故选：A． 8.【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得，的值，进而求得的取值范围，得到答案． 【详解】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则，， 因为点在线段上，所以的取值范围是．故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数、，进而应用点线距离公式求P到直线的距离即可． 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， 到直线的距离，故C错误，D正确． 故选：ABD． 10.【答案】ABC 【解析】 【分析】首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误． 【详解】 O到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点P自由移动时，的最小值为，当且仅当OP垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点P，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形OAPB为正方形时，，可求得，点P的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点P在直线上，则，解得或，即或，故D错误．故选：ABC． 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 11.【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得P的轨迹长度；选项B：可以证得AC上平面DBM，结合平面，所以点M到平面的距离是定值；选项C：要求直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值，则求得P在平面ABCD的投影为，当取得最小值时，直线CP与平面ABCD所成角的正切值最大；选项D：要求PM的最小值，则利用到直线的距离为，当点P，M落在上时，求得PM的最小值． 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点E在底面内是以为圆心、半径为1的圆上， 所以点P的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又，，BD，平面DBM，所以平面DBM， 所以点M的轨迹为线段， 又平面，所以点M到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面ABCD，所以为直线CP与平面ABCD所成角， 因为点P到ABCD的距离为定值2，记点P在平面ABCD的投影为， 所以当取得最小值时，直线CP与平面ABCD所成角的正切值最大，又， 所以直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线的距离为， 当点P，M落在上时，，故D正确．故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称求出点C的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可． 【详解】因为点A与点C关于轴对称，所以点C的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：． 13.【答案】或 【解析】 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程． 【详解】①直线的斜率不存在时满足， ②直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或． 14.【答案】 【解析】 【分析】根据题意可推得a，b的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合a，b的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案． 【详解】 由已知可得，圆的圆心，半径，且有． 则圆心到直线的距离． 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离． 由题意易知，则，， 所以有，即，所以． 又，，所以，，所以． 所以圆心C到直线的距离， 所以，直线与圆C总相交， 又，所以被圆C截得的弦长为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：根据已知得出，的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再由直线方程的两点式，即可求解； （2）根据条件，求出直线过点B且与直线AC平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【小问1详解】因为，，所以， 所以CM的方程是，即． 【小问2详解】因为直线AC的斜率， 所以经过点B且与直线AC平行的直线方程为，即， 设其与轴交点为A，与轴交点为B，令，得，令，得， 所以，，所以， 故经过点B且与直线AC平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为． 16.【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为，则， 解得； 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，，， 若向量与同向共线，则存在，使得， 即， 可得，解得，，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为； 17.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案． 【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ， ，，则， ，， ，， 平面ACQ，平面ACQ，平面ACQ； 【小问2详解】平面ABCD，AB，平面ABCD，，， 因为底面，则AB，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 各点坐标如下：，，，． 设平面的法向量为， 由，，有，令，，，可得， 由，有，， 则． 故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为． 18.【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得； （2）分别求得平面与平面的法向量，，利用求解即可． 【小问1详解】 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨令正方体的棱长为2， 则，，，，， 设，则，， 所以， 所以，解得（舍去），即E为AB的中点． 【小问2详解】由（1）可得，， 设是平面的法向量， 则.令，得． 易得平面的一个法向量为， 所以． 所以所求锐二面角的余弦值为． 19.【答案】（1）， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）求出以P为圆心，为半径的圆P的方程，再根据线段AB为圆P和圆M的公共弦，将两圆的方程相减可得直线AB的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，根据几何性质可得HF始终垂直于FM，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可． 【小问1详解】圆即，则，半径， 所以，，则， 故以P为圆心，为半径的圆P的方程为， 显然线段AB为圆P和圆M的公共弦， 所以直线的方程为，即， 令，解得所以直线AB过定点； 【小问2详解】 因为直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点， 设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点， 易知始终垂直于FM，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆心，半径为，且不经过．点的轨迹方程为（），即线段中点的轨迹方程为（） 【小问3详解】 设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设PA，PB的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $