备考2026江苏省中考数学一轮复习（真题实练）：方程与不等式

备考2026江苏省中考数学一轮复习（真题实练）：方程与不等式 一、选择题 1．（2025·无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．（2024·镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是 （　　） A．2 B．2 C．2 D．2 4．（2024·无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（　　） A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1 5．（2025·宿迁）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭，所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 　 　. 8．（2025·南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 　 　 （写出一种情况即可）． 9．（2025·徐州）分式方程的解为　 　 ． 10．（2025·徐州）若二元一次方程组的解为，则a+b的值为　 　 ． 11．（2025·盐城）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　 　 分． 12．（2025·宿迁）方程的两个根分别是，则　 　 13．（2025·常州）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=　 　. 14．（2025·常州）若则x-y　 　0.（填＞、<或=）。 15．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ． 16．（2024·盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 　 　尺． 17．（2025九下·宜兴月考）分式方程的解为　 　． 18．（2024·苏州）若，则　 　． 19．（2024·扬州）九章算术是中国古代的数学专著，是算经十书中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要　 　分钟． 三、计算题 20．（2025·苏州）解不等式组： 21．（2025·扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 22．（2025·连云港）解不等式组 23．（2025·连云港）解方程. 24．（2025九上·苏州月考）解不等式组： 25．（2024·镇江）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 26．（2025·徐州）（1）解方程：x2+2x﹣4＝0； （2）解不等式组：． 27．（2025·无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 四、解答题 28．（2025·常州） 解不等式组并把解集在数轴上表示出来， 29．（2025·常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍，问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 30．（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等 （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 31．（2025·扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价． 32．（2024·徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 33．（2024·无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 34．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 35．（2024·扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比型机器每天多处理吨垃圾，型机器处理吨垃圾所用天数与型机器处理吨垃圾所用天数相等．型机器每天处理多少吨垃圾？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 【分析】设小红的骑行速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：A. 【分析】根据方程求出，得到方程根的情况解答即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：根据函数图象得甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油为：40-24=16（升），乙车耗油为：40-20=20（升）， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据题意得甲、乙两车行驶m百公里的耗油量，再根据“甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L”列出方程. 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 设经过x天相遇， 根据题意，得， 故答案为：A. 【分析】根据题意得野鸭和大雁的速度分别为， 设经过x天相遇，由总路程=野鸭的路程+大雁的路程列出方程. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：分别设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组 故正确答案为：D 【分析】分别设牛每头值金两，羊每头值金两，同等量关系“ 牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两 ”列方程组即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设经过x天能够相遇，根据题意得 . 故答案为：A. 【分析】根据关键已知条件：凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，何日相逢，列方程即可. 7．【答案】-3 【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：-3. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值. 8．【答案】8或6或4 【解析】【解答】解：设截成长的钢管有条，截成长的钢管有条， 根据题意，得， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴可能截得钢管的总根数为8或6或4， 故答案为：8或6或4. 【分析】设截成长的钢管有条，截成长的钢管有条，根据题意列出关于的二元一次方程，然后由为正整数求出方程的解即可. 9．【答案】x=9 【解析】【解答】解：去分母得 3（x-3）=2x 解之：x=9， 经检验x=9是原方程的根 ∴原方程的解为x=9. 故答案为：x=9. 【分析】方程两边同时乘以x（x-3），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可. 10．【答案】1 【解析】【解答】解： 由①+②得 5x=5 解之：x=1， 将x=1代入①得 ∴y=0 ∴方程组的解为： ∵此方程组的解为 ∴a+b=1+0=1. 故答案为：1. 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，再根据此方程组的解为，可求出a+b的值. 11．【答案】6 【解析】【解答】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 【分析】设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据“三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分”列出二元一次方程组，解方程组即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【分析】先由一元二次根与系数的关系可得，再利用方程解的概念可把所求代数式变形为，再利用整式的混合运算法则展开并整体代入计算即可. 13．【答案】1 【解析】【解答】解： 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据不等式的基本性质解答即可 15．【答案】 【解析】【解答】解： 如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得： ， 设 则 ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和， 解得 即 故答案为：. 【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得. 16．【答案】15 【解析】【解答】解：设竿子长x尺，则绳索长为（x+5）尺， 根据题意得：， 解得x=15， ∴ 该问题中的竿子长为15尺. 故答案为：15. 【分析】设竿子长x尺，则绳索长为（x+5）尺，根据“ 若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”列出方程并解之即可. 17．【答案】 【解析】【解答】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 【分析】两边同时乘以2x(x+1)化为整式方程，解整式方程求出x值，然后检验解答即可． 18．【答案】4 【解析】【解答】解： 若，则 故填：4. 【分析】利用已知条件直接代入目标代数式进行消元即可得出结果. 19．【答案】2.5 【解析】【解答】解： 速度快的人追上他需要x分钟 60x+100=100x，解得x=2.5 因此速度快的人追上他需要2.5分钟 故答案为：2.5. 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据等量关系：，列出方程即可. 20．【答案】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是. 【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集. 21．【答案】解：， 由①得，x≤1， 由②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1． 负整数解有：﹣2、﹣1． 【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，取非负整数解即可. 22．【答案】解：解不等式3x-2<x+2，得x<2， 解不等式5x+5>2x-7，得x>-4， 所以不等式组的解集为-4<x<2 【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集. 23．【答案】解：去分母，得2x=3(x+1)， 解得x=-3， 检验：当×=-3时，×(x+1)=6≠0，×=-3是原方程的解 【解析】【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的根. 24．【答案】解：由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”确定出公共部分，即可得出结果． 25．【答案】（1）解：方程两边同乘x（x+1），得3（x+1）＝2x， 解得x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，x（x+1）≠0， ∴原分式方程的解是x＝﹣3； （2）解：， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＞1， ∴不等式组的解集是1＜x≤4． 【解析】【分析】（1）根据分式方程的解法进行计算即可； （2）根据解不等式组的解法进行计算即可. 26．【答案】（1）解： x2+2x=4 （x+1）2=5 ∴x+1=± 解之： （2）解： 由①得，x＜2， 由②得，x＞-4， ∴不等式组的解集为-4＜x＜2 【解析】【分析】（1）观察各个项的系数特点，利用公式法解此方程即可. （2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集. 27．【答案】（1）解：， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． （2）解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 28．【答案】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 29．【答案】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨 【解析】【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 30．【答案】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个. 根据题意，得解这个方程组，得 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.解答 （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片. 则w=2m+(100-m)=100+m. 由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值 根据题意，得m≥(100-m)，解得m≥，其中最小整数解为34. 即当m=34时，w=100+34=134. 答：至少需要134张正方形硬纸片 【解析】【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，观察甲乙两种无盖长方体，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可. （2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸，根据题意可得到W关于m的函数解析式，同时求出m的取值范围，利用一次函数的性质，可求出结果. 31．【答案】解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元， 根据题意得：3， 解得：x＝16， 经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意， ∴x16＝20（元）． 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元． 【解析】【分析】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结合用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，可列出关于x的分式方程，解之可得出x的值 (即乙款书签的单价)，再将其代入 中，即可求出甲款书签的单价. 32．【答案】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【解析】【分析】设甲、乙各有钱x枚和y枚，由相等关系“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组并求解即可． 33．【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元； （2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件， 根据题意可得：10≤a≤25， 设购买这40件劳动用品需要W元， W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200， ∵一次项系数k=-10＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可； （2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可. 34．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得， 解得：， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元. （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台， 根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700， 解得：a≤5， 设每天分拣快递的件数为w万件， ∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180， ∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大， ∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件）， ∴10-a=10-5=5， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ． 【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解. 35．【答案】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：型机器每天处理吨垃圾． 【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据等量关系：，列出方程即可 学科网（北京）股份有限公司 $