5.2 简单的轴对称图形 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

简单的轴对称图形 一、单选题 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 3．如图，线段的垂直平分线交于点，已知，则等于 （ ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 5．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（  ） A．15 B．30 C．20 D．10 7．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 8．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 9．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 12．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 13．如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 14．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 15．如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 三、解答题 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 17．如图，已知，，于M，于N，求证：． 18．如图，方格图中每个小正方形的边长都为1，点、，都是格点． (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的值最小． 19．（1）网格作图：如图1，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线．画出关于直线的对称图形； （2）尺规作图：校园一角的形状如图2所示，其中表示围墙，围墙内有一点到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图的方法作出点（不写作法、但要保留作图痕迹）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单的轴对称图形 一、单选题 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 3．如图，线段的垂直平分线交于点，已知，则等于 （ ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 5．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（  ） A．15 B．30 C．20 D．10 7．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 8．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 9．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 12．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 13．如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 14．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 15．如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 三、解答题 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 17．如图，已知，，于M，于N，求证：． 18．如图，方格图中每个小正方形的边长都为1，点、，都是格点． (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)求的面积； (3)在直线上找一点，使的值最小． 19．（1）网格作图：如图1，在边长为1的正方形的网格中，已知及直线．画出关于直线的对称图形； （2）尺规作图：校园一角的形状如图2所示，其中表示围墙，围墙内有一点到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图的方法作出点（不写作法、但要保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C A A C B B 1．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 2．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 3．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据点O是垂直平分线的交点即可得知点O到线段两端点的距离相等，点O到线段两端点的距离相等；熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：连接 点在线段的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 故选：B ． 4．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算即可； 【详解】过点作， 平分，， ， ， ． 故选． 7．A 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——角平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据操作得出相等的线段，利用判定，即可得出结论． 【详解】解：由画图操作可得， ∴， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 10．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 11． 【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．33 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 14．10 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 的周长的最小值为， 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 17．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定证明进而即可得证． 【详解】证明：已知，，如图，连接， 在和中， ， 又于，于， ． 18．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，三角形的面积，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）连接交于点，利用两点之间线段最短可得到，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）的面积； （3）如图，点为所作， ， 当在上时的值最小． 19．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，角平分线的作法及性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及角平分线的作法及性质． （1）先画出点A、B、C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）分别作和；的平分线交于点P，即为所求 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示，点P即为所求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $