2025年山东省临沂市兰山区九年级数学中考一模平行卷

山东省临沂市兰山区2025年九年级数学中考一模平行卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在实数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．据统计，某旅游景点去年接待旅游人数约为890000人，890000这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四个几何体中，主视图与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 5．将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算一定正确的是（    ） A．3a+3a＝6a2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a3）4＝a7 D．a2•a3＝a6 7．圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，是半圆的直径，，则的度数是（    ） A．120° B．130° C．140° D．150° 10．如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD， CD=7，长方形ABCD的周长为(　　) A．32 B．33 C．34 D．35 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 ． 12．若多项式的值为5，则多项式的值为 ． 13．曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为 ． 14．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为 ． 15．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依次规律，第6个图形有 个小圆． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16．计算 (1) (2) 17．如图，中，的垂直平分线分别交、于点M、D，的垂直平分线分别交于点N、E，的周长是7．    (1)求的长度； (2)若，则度数是多少？请说明理由． 18．“感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 a 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 19．函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象； (1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围） (3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？ 20．如图，从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为、，如果此时高楼C点的高度CD 为100米，点A，D，B在同一直线上，求AB两点的距离．（结果保留根号） 21．如图，在中，直线，垂足为C，点D在上，以为直径作与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 22．规定：若关于x的二次函数与同时满足，且，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据以上规定，解答下列问题： (1)已知关于x的二次函数，写出它的“反序对称”函数______； (2)对于任意非零实数m，n，已知点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数． ①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线在x轴的下方，求直线与x轴间距离的最大值． 23．【定义学习】 过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”． 【性质探究】 （1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）． （2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD． 求证：． 【迁移运用】 （3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省临沂市兰山区2025年九年级数学中考一模平行卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A B B D C C 1．C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可，正确比较实数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：C． 2．A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：； 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 【详解】 解：A、C、D选项的三种几何体的主视图是；B选项的几何体的主视图是． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 6．B 【分析】利用合并同类项判断A， 利用平方差公式判断B 利用幂的乘方判断C， 利用同底数幂的乘法判断D． 【详解】解： 故A错误， 故B正确， 故C错误， 故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题以及内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正八边形的内角的度数，再由，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出的度数，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】根据圆周角定理，得到，从而得到的度数，进而得到即可． 【详解】解：是半圆的直径，， ∴，， ∵对应的是劣弧，对应的是优弧， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． 10．C 【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长×2=小长方形的宽×5；小长方形的长+宽=7，据此可以列出方程组求解． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y． 由图可知， 解得． 所以长方形ABCD的长为10，宽为7， ∴长方形ABCD的周长为2×（10+7）=34， 故选C． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键. 11． 【分析】本题考查了二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题的关键．根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【详解】解：由题可得： ， 解之可得：， 故答案为：． 12．8 【分析】先将多项式凑成可以提取公因式的形式，用提取公因式法对多项式进行因式分解，在将的值代入即可求出答案． 【详解】 = =， =， ∵=5， ∴原式=3×5-7=8． 【点睛】本题主要考查了用添项和拆项法进行因式分解，熟练的掌握因式分解的各种方法是解题的关键，注意添加一项后要使多项式的值与原式的值相比没有改变． 13．或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据曲线的对称轴为，可得，再求得点坐标，进而可得，然后计算的值即可． 【详解】解：∵曲线是轴对称图形，其对称轴为， ∴可有， ∴， 将代入直线， 可得， ∴， 将点代入曲线， 可得， ∴， ∴或， ∵， ∴或． 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点H，连接，过F作于点M，由中位线定理可得，，，则有，，所以，，则，，从而得到，又，，得出，，，代入得到，然后通过直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：中，为的中点，， 如图，取中点H，连接，过F作于点M， ∴为的中位线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．46. 【详解】试题分析：观察图形可得：第1个图形中小圆的个数为1×2+4=6；第2个图形中小圆的个数为2×3+4=10；第3个图形中小圆的个数为3×4+4=16；第4个图形中小圆的个数为4×5+4=24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4．故第6个图形中小圆的个数为6×7+4=46个． 考点：规律探究题． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算和分式运算； （1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 17．(1)7 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 同理，， ∵的周长为7， ∴， ∴； （2）解：度数是60°， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．(1) (2)七年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于于八年级，所以七年级的成绩更好 (3)人 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，分别比较中位数，众数和方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：． （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好． （3）解：由题可得：（人） 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数450人． 19．(1)与之间的函数表达式为 (2)作图见解析，与之间的函数表达式为 (3)当为或时，号杯和号杯中水的体积相差 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质与方程分类讨论思想是解题的关键． （1）通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出与的函数表达式； （2）根据表格数据判断与的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像； （3）分“”和“”两种情况，列方程求解满足体积差为时的值． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）， 将和分别代入， 得， 得， 解得：， 把代入①得， 解得：， 二元一次方程组的解为， 与h之间的函数表达式为； （2）解：描点并连线如图所示： 与之间的函数表达式为； （3）解：根据题意：， ①当时， ，， ②当时，，，， 答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差． 20．AB两点的距离是米． 【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论． 【详解】解：从高楼C点测得地面A，B两点的俯角分别为，， ，， ，米， 是等腰直角三角形， 米， 在中， 米，， ， 米， 答：AB两点的距离是米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据切线的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边可得，即可解答； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ∵与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，   为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22．(1) (2)①是过两个定点，，；② 【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解； （2）①求出函数的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②由点的坐标特征得到轴，将点的坐标代入函数表达式得即可得到答案． 【详解】（1）解：根据定义， 二次函数的“反序对称”函数为． （2）解：①是过两个定点， ∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， 函数的对称轴为． ， 令， 解得或， ∴过函数图象过定点，， ∴函数的图像过定点， ②点与点可知，轴， 将代入得 ， ， 即直线与x轴间距离的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及新定义函数、函数过定点、函数的图象与性质，解题的关键是理解题意并掌握二次函数的性质及新定义函数． 23．（1）或（2）见详解（3）的长为或． 【分析】（1）当两条直线所夹锐角为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，点足三角形垂角度数为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，点足三角形垂角度数为α度，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当定点O在直线的下方，直线的上方时，点足三角形垂角度数为度，即可作答．． （2）根据旋转的性质可得，根据余弦的定义可推，根据相似三角形的判定可得； （3）分类讨论：当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得，根据正切的定义可推得，根据勾股定理可得，根据正切的定义可推得，设则，根据勾股定理可求得，推得，根据正切的定义可推得，设，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，推得，即可求得； 当定点O在两直线的同侧，根据正切的定义可推得，，设，则，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，即可求得，根据正切的定义推得，设，则，根据勾股定理可求得； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，根据正切的定义推得，根据勾股定理可求得，根据正切的定义推得，设，根据正切的定义推，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法得到方程式，进行求解即可． 【详解】解：（1）当两条直线所夹锐角为度，即， 当定点O在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点与交于点D，如图： ∵，垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数为度； 当定点O在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图： ∵垂足分别为，且 ∴ 即点足三角形垂角度数为度； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中， ∴， ∴度， 即点足三角形垂角度数为度度； 综上：点足三角形垂角度数为或度 （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与相交于 ∴ ∵， ∴在中，， 在中，， ∴ 即， 又∵， ∴ （3）当定点O在两直线的同侧，且在PN的下方时，令与交于点D，过点A作于点E，如图： ∵ ∴， 又∵ ∴ 在中，，， ∴， ∴ 在中，， 即，即， 设则，且， 在中，， 即， 解得：， 故， 在中，， 即， 设，则， ∵ 即 解得：（舍去），， 故， ∴； 当定点O在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，且， ∴ 又∵ ∴ 在中， ， 即 在中，， 即， 在中，， 即，， 且， 整理得：， 设，则， ∵ 即 解得：（舍去），， 故， ∴； 在中， 故设，则， 在中 即 解得：（舍去）， ∴； 当定点O在直线的下方，直线的上方时，过点B作于点E，延长交于点D，如图： ∵在四边形中，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， 在中， 在中， 即， 设，则，， 在中， 即， 在中，， 即， 整理得： 故 ∵， 即： 整理得：， ， 故无解； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直的性质，四边形内角和，对顶角相等，等角的余角相等，旋转的性质，余弦的定义，相似三角形的判定，正切的定义，勾股定理，三角形的面积公式，割补法计算不规则图形的面积，等角的补角相等，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等，熟练掌握以上性质和运用分类讨论的方法求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $