精品解析：海南省保亭黎族苗族自治县保亭中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期保亭中学 高二年级12月月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 出卷人：于传伟 审卷人：罗彩琴 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将你的答案填写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷 一､单选题（本题共8道题，每小题5分，共40分.） 1. 已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件设圆的标准方程，再代入点（-1，-1）坐标得半径，即得结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为(2,-3),所以设圆的方程为， 因为圆过点(-1,-1)，所以，即，展开得，选D. 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本求解能力. 属于基础题. 2. 已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B 3. 圆与的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】 先将圆方程化为标准方程得圆心，半径，进而根据圆心距与半径关系判断即可. 【详解】解：圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，所以两圆外切. 故选：A. 【点睛】圆与圆的位置关系判断方法： 设为圆与圆的圆心距，分别为圆与圆的半径，则 圆与圆相离； 圆与圆外切； 圆与圆相交； 圆与圆内切； 圆与圆内含； 4. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程求焦距即可. 【详解】由双曲线的方程为，可得， 再由， 所以双曲线的焦距为， 故选：D. 5. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线方程得到直线的斜率，从而求得其方向向量，由此得解. 【详解】因为直线方程可化为，其斜率为， 所以该直线的一个方向向量为. 故选：D. 6. 经过点A（2，3）且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，则，可求斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】∵直线的斜率为2，则所求直线的斜率为， ∴所求直线方程为：，即 故选：B. 7. 设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以. 故选：A. 8. 过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的长轴长为 C. 的短轴长为 D. 的离心率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，可得，求出椭圆的方程，然后逐一判断各选项即可. 【详解】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以，且，， 解得，故A正确； 所以椭圆， 所以，， 所以的长轴长为，故B正确； 所以的短轴长为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：AB. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若平面向量满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量模的意义判断A；利用相反向量的定义判断B；结合正方体的结构特征及相等向量的定义判断C；利用相等向量的定义判断D. 【详解】对于A，模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B，向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C，在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D. 【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为， 因为，所以，，， 所以，，故A错误，B正确； 对C，设，，， 则， 即，当时取得最大值，故C正确； 对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确． 故选：BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 空间向量，且，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由可得，进而可求的值. 【详解】由可得，则， 于是，即. 故答案为：； 13. 在等差数列中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图， 设， 四边形为等腰梯形，，即，, 由椭圆定义知，，， 解得. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.写出证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，求的通项公式. 【答案】 【解析】 【分析】利用公式求数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 因为不满足上式， 所以. 16. 求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x+y+5=0平行； （2）与直线2x+y+5=0垂直. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）与直线2x + y + 5 = 0平行的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值 试题解析：点M（-1，2） （1） 直线方程为 （2） 直线方程为 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 19. 已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值. 【答案】（1） （2）设，则 ，， ， 【解析】 【分析】（1）结合双曲线定义即可； （2）设点，结合两点斜率公式即可. 【小问1详解】 由题知：由双曲线的定义知： ， 又， ， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期保亭中学 高二年级12月月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 出卷人：于传伟 审卷人：罗彩琴 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将你的答案填写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷 一､单选题（本题共8道题，每小题5分，共40分.） 1. 已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为 A. B. C. D. 2. 已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 内含 4. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 5. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 6. 经过点A（2，3）且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 8. 过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的长轴长为 C. 的短轴长为 D. 的离心率为 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若平面向量满足，则 11. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 空间向量，且，则__________，__________． 13. 在等差数列中，已知，则__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，、在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.写出证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，求的通项公式. 16. 求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x+y+5=0平行； （2）与直线2x+y+5=0垂直. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 19. 已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $