精品解析：河北省承德市联盟校2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

2025—2026学年承德联盟校高二上学期第三次月考 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足且，则（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 2. 设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. -2 3. 若双曲线的左､右焦点分别为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则的表达式可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线交于点，且直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 6. 将一块锐角为的直角三角板的斜边上两个顶点放在一椭圆上，直角顶点在椭圆的一个焦点上，若斜边的中点恰好为椭圆的中心，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是公比为3的等比数列，且，集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（ ） A. 等差数列的公差 B. 等差数列的通项公式为 C. 等比数列的公比 D. 等比数列的前4项和为40或 10. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有条 11. 已知，若平面内动点满足，则称点的轨迹方程为“椭圆积方程”，下列关于“椭圆积方程”结论正确的是（ ） A. “椭圆积方程”对应曲线关于轴对称 B. 当时，“椭圆积方程”为 C. 的取值范围为 D. 的面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的长轴长为__________． 13. 已知点在圆上运动，则到直线距离的最大值为__________. 14. 已知函数，数列满足，且，则__________，若，当对任意正偶数恒成立时，实数的取值范围是__________ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点． （1）求直线的方程； （2）求弦的长度． 16. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知抛物线的焦点为，双曲线以为右焦点，且离心率．过双曲线的左顶点作直线，与抛物线交于两点，与双曲线的右支交于另一点，满足． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求的取值范围． 18. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． （1）当时，写出的值； （2）证明：是等比数列； （3）设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在上，过的右焦点的直线与交于两点，点为线段的中点，直线与直线交于点（为坐标原点，为焦半径）． （1）求的方程； （2）求证：； （3）设点关于轴对称点为（异于点），直线与轴交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年承德联盟校高二上学期第三次月考 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足且，则（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系及，可求出表达式，根据条件，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以， 又因为，所以，解得． 故选：D． 2. 设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般方程可得斜率，由可得倾斜角，从而可得答案. 【详解】因为直线，所以斜率为． 因为该直线的倾斜角为，，所以． 又因为直线的斜率为， 所以． 故选：C． 3. 若双曲线的左､右焦点分别为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得，由双曲线中的数量关系求得，即可求得其离心率. 【详解】由题意可知，可知，， 又因为，所以，即 所以． 故选：B． 4. 设等差数列的前项和为，若，则的表达式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前项和公式直接计算可得结果. 【详解】因为是等差数列，且，， 所以，，所以． 故选：A． 5. 若直线与直线交于点，且直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆心和半径，代入公式，可得圆心到直线的距离d，根据勾股定理，可得m值，将两直线联立，可得P点坐标，代入两点间距离公式，即可得答案. 【详解】圆的圆心坐标，半径为， 则圆心到直线的距离为． 因为截得的弦长为，所以根据勾股定理得，解得， 因为，所以， 所以，，联立解得， 所以． 故选：A． 6. 将一块锐角为的直角三角板的斜边上两个顶点放在一椭圆上，直角顶点在椭圆的一个焦点上，若斜边的中点恰好为椭圆的中心，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，以及椭圆的定义和性质，结合直角三角形的性质，即可求解. 【详解】由题不妨将直角三角板记为，则有，， 现将其直角顶点固定在轴上，记三角板对应的椭圆为，则关于原点的对称点为，连接，， 由于直角三角板斜边的中点恰好为椭圆的中心，所以､关于原点对称，从而可知四边形为平行四边形， 又由题可知，即平行四边形为矩形，因此，．在中，，设，则，， 由椭圆的定义，，又， 故，即，将代入，得，故离心率． 故选：A． 7. 已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8， 所以，解得， 所以抛物线，焦点. 设，直线的方程为, 联立方程组，可得， , 则,， 所以 ， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D. 8. 已知数列是公比为3的等比数列，且，集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求数列的通项公式，再由集合的条件确定数列的前项，再进行分组求和可得结果. 【详解】已知公比，且，设等比数列通项为， 代入得，化简得，解得或（舍去）． 因此数列通项为（各项为正，）．因为数列前几项：， 当或的项有，所以，和为； 当到8：的项有到，所以，和为； 当到：的项有到，所以，和为； 当到的项有到，所以，和为. 总和为． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（ ） A. 等差数列的公差 B. 等差数列的通项公式为 C. 等比数列的公比 D. 等比数列的前4项和为40或 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式建立方程组，解得，判断A选项；从而得到其通项公式，判断B选项；同理通过等比数列项之间的关系建立方程，解得公比，判断C选项；由等比数列项的关系列出前4项和，代入公比后得到前4项和，判断D选项. 【详解】由题意可知，解得，故A正确； 通项公式为，故B正确； ∴，又因为，即，∴，C选项错误； ∵，设为数列的前项和， ∴， 当时，∴； 当时，．∴，故D错误． 故选：AB． 10. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有条 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据圆的标准方程即可判断；选项B，根据直线与圆相交的弦长公式，求解即可；选项C，圆与圆关于直线对称，即两圆的圆心关于直线对称，半径相等，所以求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可求得圆方程；选项D，根据点与圆的位置关系，可判断点在圆外，根据圆的切线性质，可知D正确. 【详解】对于选项A，由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为4，故A正确； 对于选项B，由题意，圆的圆心到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B正确； 对于选项C，设圆心关于直线的对称点， 由直线，得其斜率为，故， 又对称点的中点在直线上，所以， 化简得，即． 又由得，即，整理为； 联立，解得：． 因此，圆的圆心为，方程为16，故C错误； 对于选项D，点到圆心的距离：，所以点在圆外． 所以，过点且与圆相切的直线有且仅有条，故D正确． 故选：ABD 11. 已知，若平面内动点满足，则称点的轨迹方程为“椭圆积方程”，下列关于“椭圆积方程”结论正确的是（ ） A. “椭圆积方程”对应曲线关于轴对称 B. 当时，“椭圆积方程”为 C. 的取值范围为 D. 的面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设先求出点的“椭圆积方程”， 根据曲线关于轴对称的性质判断A，把代入点的“椭圆积方程”化简可判断B，设，化简点的“椭圆积方程”，由正弦函数的有界性可判断C，将点的“椭圆积方程”整理成关于的方程，结合判别式和三角的面积公式即可判断D. 【详解】对于A，由， 得曲线方程为， 即， 由关于轴的对称点为， 显然当满足方程时，也满足方程， 所以“椭圆积方程”曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，其方程为0．故B正确； 对于C，设， 则方程可化为， 化简得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因此，故C错误； 对于D，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 所以， 所以当时取得最大值，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的长轴长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程，根据长轴长的概念，可得答案. 【详解】方程等价于，可知长半轴．故长轴长为． 故答案为． 13. 已知点在圆上运动，则到直线距离的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径即可求解. 【详解】依题意，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数，数列满足，且，则__________，若，当对任意正偶数恒成立时，实数的取值范围是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件证出为等比数列，运用等比数列通项公式计算即可；参数分离，构造关于的函数，判断单调性，进而求解参数范围. 【详解】由得，即， 即，所以为等比数列，首项为，公比为2， 所以，即，所以． 由得，又． 所以．记，则． 因为为正偶数时，是关于的单调递减函数， 所以，所以． 故答案为：；． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点． （1）求直线的方程； （2）求弦的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据直线的点斜式求直线方程；利用点到直线距离公式和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由点斜式方程得，即． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离． 因为弦长公式， 所以代入条件可知：， 所以弦的长度为． 16. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为且，满足条件：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列和等比数列的通项公式，得方程组即可求解； （2）结合等差数列和等比数列的前项和公式，用分组求和法求出即可. 【小问1详解】 由于，故 等比数列的通项公式：，故． 根据题意列方程组：， 得，即． 解得（舍去，因）或，故． 因此等差数列的通项公式为：； 等比数列通项公式为：; 【小问2详解】 根据题意得：， 由（1）得． ， 故． 17. 已知抛物线的焦点为，双曲线以为右焦点，且离心率．过双曲线的左顶点作直线，与抛物线交于两点，与双曲线的右支交于另一点，满足． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦点确定双曲线的，结合离心率求出，再由双曲线的求，写出双曲线的方程即可； （2）联立直线与抛物线、双曲线的方程，结合向量关系得到关于的表达式，再利用不等式求解的范围. 【小问1详解】 由得， 所以双曲线右焦点为，故半焦距； 所以，则； 得， 所以双曲线标准方程代入，得（或）． 【小问2详解】 双曲线左顶点，可得到直线， 设，由，及． 可得．所以， 由整理得， 因为为方程的一个根，所以， 解得，所以， 因为点在双曲线右支，其横坐标， 解得，又，故, 又由化简得，即， 解得且． 所以， 所以，因为，所以令，即， 解得或，综上的取值范围为． 18. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． （1）当时，写出的值； （2）证明：是等比数列； （3）设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3），等差数列，等比数列 【解析】 【分析】（1）根据数列递推公式，直接求出结果即可. （2）根据数列通项公式，直接求出数列的递推公式，进而根据等比数列的定义，证明新数列为等比数列. （3）根据数列的递推公式，和数列的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出数列的前项和，根据“等差等比混合数列”的概念，求出参数值和数列的通项公式. 【小问1详解】 当时，， 所以由，得，． 【小问2详解】 由，得， 则， 又因为．所以． 又，所以4．所以是以为首项，2为公比的等比数列． 【小问3详解】 由（2）可知． 又因为，所以． 所以． 因为为“等差等比混合数列”，又因为，所以． 从而只有，此时． 所以， 所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在上，过的右焦点的直线与交于两点，点为线段的中点，直线与直线交于点（为坐标原点，为焦半径）． （1）求的方程； （2）求证：； （3）设点关于轴对称点为（异于点），直线与轴交于点，求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率求出a、c关系，再根据椭圆中a、b、c关系得到a、b关系，将代入椭圆的方程即可求解； （2）当直线的斜率存在且不为0时，设，与椭圆的方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程．设，根据韦达定理求出，将代入l方程，求出．求出直线OM的方程，再求出N的坐标．求出直线NF的斜率，验证即可； （3）由题可知直线的斜率不为0，故设，与椭圆的方程联立，消去x得到关于y的方程，设，根据韦达定理求出．写出直线BD的方程，令求出E的横坐标即可． 【小问1详解】 由，可得， 又∵． 又∵点在上，∴，解得，∴． 从而得到． 【小问2详解】 由（1）知， 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设， 联立方程组，化简得：． 设， ∵，∴， ∴，∴． 从而，∴， ∴由，∴ ∴，∴，即． 当直线的斜率不存在时，显然有， 综上所述可知，得证． 【小问3详解】 由题可知直线的斜率不为0，不妨设直线，联立方程组： 化简得：， 设，∵， ∴，，∴， ∵点关于轴对称点为（异于点）， ∴， ∴， 令求得：， 即 ． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $