期末复习03正方形的性质与判定期末冲刺讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学正方形性质与判定期末复习讲义通过表格系统梳理定义、性质、判定及常见误区，用框架图呈现正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，突出边、角、对角线性质及三类判定方法的内在联系，强化几何直观与空间观念。 讲义亮点在于10类分层题型设计，如折叠变换问题通过对称性质推理线段关系，动点综合题融合几何与代数运算，培养推理意识与运算能力。典例解析与跟踪专练结合，基础题巩固知识，压轴题提升应用，助力学生自主复习，便于教师精准分层教学。

期末复习03正方形的性质与判定期末冲刺讲义 期末必备 知识点梳理 1.正方形的定义 2.正方形的性质 3.正方形的判定 4.常见误区与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.正方形性质的深度理解 2.利用正方形性质分析角度关系 3.结合正方形的性质求线段长度 4.基于正方形的性质计算图形面积 5.正方形折叠变换问题解析 6.借助正方形性质的几何证明 7.四边形为正方形的判定证明 8.正方形的性质与判定综合求线段长度 9.正方形的中线四边形相关问题 10.(特殊)平行四边形的动点综合问题 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.正方形的定义】 正方形的定义 定义 1：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 2：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 定义 3：有一个角是直角的菱形叫做正方形。 理解： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形。 这意味着正方形同时具备平行四边形、矩形和菱形的所有性质。 【知识点02.正方形的性质】 正方形的性质是其所有判定方法的基础，必须熟练掌握。 1.边的性质 *对边平行：AB || CD，AD || BC。 *四边相等：AB = BC = CD = DA。 2.角的性质 四个角都是直角：∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。 3.对角线的性质 (1)对角线互相平分：AO = CO，BO = DO。 (2)对角线相等：AC = BD。 (3)对角线互相垂直：AC ⊥ BD。 (4)对角线平分内角：每条对角线平分一组对角。例如，AC 平分∠DAB 和∠BCD。 对角线性质的推论： 正方形的两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。 对角线的长度与边长的关系：若正方形的边长为a，则对角线长为a。 【知识点03.正方形的判定方法】 判定一个四边形是正方形，通常有三种思路：从定义出发、从矩形出发、从菱形出发。 1.从定义出发（最根本的判定方法） 判定定理 1：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在□ABCD 中，若 AB = AD 且 ∠A = 90°，则 □ABCD 是正方形。 2.从矩形出发 判定定理 2：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，若 AB = AD，则矩形 ABCD 是正方形。 3.从菱形出发 判定定理 3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，若 ∠A = 90°，则菱形 ABCD 是正方形。 【知识点04.常见误区与注意事项】 误区 1：认为 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”。 纠正：这个条件不充分。对角线相等且垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形。 正确表述：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 误区 2：认为 “四个角都相等的四边形是正方形”。 纠正：四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形。 误区 3：认为 “四条边都相等的四边形是正方形”。 纠正：四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形。 【题型1.正方形性质的深度理解】 【典例】正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四条边相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，根据矩形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质：两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角； 正方形的性质：四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， 正方形的四边都相等，是矩形不一定具有的， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 【跟踪专练2】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ； 故选：B． 【题型2.利用正方形的性质分析角度关系】 【典例】如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为，当时，的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，设，可推出为等腰直角三角形，得；同理得为等腰直角三角形，推出；得，即可求解； 【详解】解：如图所示： 设， 由题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴； ∴，即； ∴，即； ∵， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转至，证明，得到，利用三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角度的计算,以及正方形的性质；解题的关键是通过观察图形构造全等三角形，找出与之间的关系．先证明，再利用正方形的角平分线将直角分为两个，得出与之间的关系． 【详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵是正方形角平分线 ∴ 即 故答案为． 【题型3.结合正方形的性质求线段长度】 【典例】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为，正方形边长为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的性质以及圆的面积公式．根据中心对称图形的性质可得白色部分的面积等于黑色部分的面积，进而可得圆的面积，根据图形可得，进而可得，然后再根据圆的面积公式，即可求出． 【详解】解：正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称， 白色部分的面积等于黑色部分的面积， ， 设半径为， 正方形边长为， ， ， ， ， 故选：． 【跟踪专练1】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形表面积的计算，解题的关键是分别求出正方形和等边三角形的面积，再求和得到总表面积． 先计算18个正方形的总面积，再计算8个等边三角形的总面积，两者相加即为印章的表面积． 【详解】解：正方形的面积为，18个正方形的总面积为； 等边三角形的面积为，8个等边三角形的总面积为； 则印章的表面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质找准旋转角，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 由正方形和旋转的性质得，，然后证明，得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形，正方形绕点顺时针旋转得到正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵将边长为的正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【题型4.基于正方形的性质计算图形面积】 【典例】如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接、，若，，则四边形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，， 根据题意得：四边形（阴影部分）的面积为． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于点，证明出四边形是矩形，得到，，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点 ，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键． 【题型5.正方形折叠变换问题解析】 【典例】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 【题型6.借助正方形性质的几何证明】 【典例】如图，在正方形中，点是正方形中心，是边上一点，连接，过点作的垂线交于点，若，则正方形的面积为 ． 【答案】49 【分析】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，证明，得出，从而求出，即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，点是正方形中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为49， 故答案为：49． 【跟踪专练1】用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查正方形折叠的性质、等边三角形判定、角度计算与线段关系，运用折叠对称性与几何推理思想，关键是结合正方形性质和折叠性质分析各结论，易错点是折叠后线段、角度的等量关系推导错误；解题思路是根据正方形折叠的对称性，逐一分析每个结论，结合等边三角形判定、角度计算和线段比例推导． 【详解】解：①折叠后是的对称轴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），因此，即①正确； ②设正方形边长为，由折叠可知是正方形的中垂线，故，． 折叠后， ∵在中，， ∴， ∴为等边三角形； 即②正确； ③∵四边形为正方形， ∴, 又∵，为等边三角形； ∴，， ∴为等腰三角形； ∴, ∴； 即③正确； ④设正方形边长为2，则，，； 在中， ， ， ∵，为等边三角形，是的中点， ∴，， ∴即④正确． 故选D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 【题型7.四边形为正方形的判定证明】 【典例】如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，   根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ②，； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ③，； 由是平行四边形，可得与互相平分，而， 所以，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ④，， 由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； 由是平行四边形，可得与互相平分，，则， 所以，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确． 则①②③④均能判定是正方形． 故选：D． 【跟踪专练1】按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是 ． 【答案】 正方形 菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵剪口线与折痕夹角的角度为， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【跟踪专练2】如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转（）得到线段，A，B的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意α，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键,根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 【详解】解：∵将线段绕它的中点O逆时针旋转（）得到线段， ∴，   ∴四边形是矩形，   ∴，   ∵不清楚旋转角度，故不能证明，   ∵时，，   ∴四边形是正方形，   故A，B，Ｄ正确，   故选：C． 【题型8.正方形的性质与判定综合求线段长度】 【典例】如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为 ． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型9.正方形的中心四边形相关问题】 【典例】正方形四条边的中点构成的四边形的形状最准确的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查中点四边形，根据正方形对角线互相垂直且相等，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，四条边相等，判断是正方形． 【详解】解：正方形四条边的中点构成的四边形的形状是正方形： 如图，四边形是正方形，则, ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴, 四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：D． 【跟踪专练1】顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是 （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】本题考查了中点四边形，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】解：中点四边形的形状是矩形，理由如下： 如图， ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形； 又∵对角线互相垂直， ∴与垂直． ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【跟踪专练2】如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 【题型10.特殊平行四边形的动点综合问题】 【典例】如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ． 【答案】或； 【分析】本题考查了矩形的判定，根据四边形是矩形得到，，根据运动表示出、，结合矩形的判定得到当时以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴，或， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 1．在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 2．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设中间的正方形记作E，正方形A的边长a，面积为，正方形B的边长b，面积为，正方形C的边长c，面积为，正方形D的边长d，面积为，正方形E的边长e，面积为，根据勾股定理，结合正方形的面积，建立起面积之间的数量关系，代入计算即可． 本题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质，熟知勾股定理是解题的关键：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：如图，设中间的正方形记作E，正方形A的边长a，面积为，正方形B的边长b，面积为，正方形C的边长c，面积为，正方形D的边长d，面积为，正方形E的边长e，面积为， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在正方形中，连接，，平分交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，角的平分线定义，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，连接，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 点是上的一点，且， ，， 当点在上，则， ， ， 解得：； 当点在上，如图1所示， ， 则， ， 当点在上时，不存在的情况； 当点在上，如图所示， ，， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为 ；点E的坐标为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 6．如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为 ． （Ⅱ）若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 7．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接， 四边形是矩形， ，，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，， ∴四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在线段上， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 故选：A． 8．Rt的两直角边长分别为为斜边的中点，长为定值的线段过点，当的面积最大时，两点到直线的距离之和为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、梯形的中位线的性质．作出图象，由的长为定值知：当M到的距离最大时，的面积最大．再根据直角三角形直角边小于斜边可求M到的最大距离，最后根据梯形的中位线的性质即可求解． 【详解】解：设M到的距离为h，则， ∵的长为定值， ∴当h最大时，的面积最大，如图： ∵，当且仅当时，等号成立， ∴， 过A、B作的垂线，垂足分别为E、F， 则四边形为直角梯形，为其中位线， ∴的面积最大时，两点到直线的距离之和为， 故选：B． 9．如图是一个由五个图形拼成的平行四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，其中两个等腰直角三角形的面积为，另两个直角三角形的面积都为，中间正方形的面积为，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依题意设，，表示出，根据，以及，进而求解． 【详解】解：如图所示： 依题意得：和是等腰直角三角形，且面积为，四边形是正方形， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积一定可以表示为． 故选：A ． 10．如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，分三种情况讨论：；；，根据折叠的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴或或， ①当时， ∵， ∴， ∴C、E、B共线， 如图， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， 而，，， 故此种情况不合题意； ③当时， 由折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 11．请用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图，P是的边上一点，过点P作一条直线l把这个四边形分成面积相等的两部分（用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）； (2)如图，在的网格中，A，B，C均在格点上，请找一格点D，使得为等腰三角形（找到一个即可）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想解题是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质和三角形全等的性质可证：经过平行四边形的对角线的交点的直线将平行四边形的面积等分； （2）经观察发现，图中不存在使得的格点D，利用勾股定理得出，再从图中找出满足或的格点D即可． 【详解】（1）作图如下： （2）作图如下： 均为满足为等腰三角形的点． 12．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 13．如图，在四边形中，，分别为的中点，顺次连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形为正方形，理由见解析． 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 14．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 1.5．如图，在中，，，点、分别是边、上的点，且 ，，，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧．设点的运动时间为， 正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)在点的运动过程中，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) 【分析】（1）先求得点从点到点需要的时间为1秒，点从点到点需要的时间为2秒，然后分成当点在线段上（不含点）时，即，和当点在线段上时，两种情况，分类讨论即可； （2）由题意可知，当点落在边上时，可知点在线段上，此时点刚好在点处，接着证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而知道的长度，求得时间； （3）分当时，当点在线段上时，当时，此时点在线段上，点刚好在外侧，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为正方形三种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，，， 点从点到点需要的时间为：（秒）， 点从点到点需要的时间为：（秒）， 当点在线段上（不含点）时，即，此时， 当点在线段上时，，此时， 综上所述，当时，；当时，； （2）解：过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧． 当点在线段上时，点始终在外侧， 当点落在边上时，可知点在线段上，此时点刚好在点处， 如图所示： ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， 正方形， ， 当点落在边上时，求的值为； （3）解：①当时，当点在线段上时，如图所示： ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 重合， 正方形与重叠部分图形的面积为． ， ， ； ②当时，此时点在线段上，点刚好在外侧，设交于点，重叠部分为五边形，如图所示： 由题意可知，此时，， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 五边形的面积为：； ③当时，重叠部分为正方形，如图所示： 此时正方形的面积为， 综上，． 【点睛】本题考查了动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质与面积，三角形的面积，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习03正方形的性质与判定期末冲刺讲义 期未复习内容概率 期末必备 1.正方形的定义 2.正方形的性质 知识点梳理 3.正方形的判定 4.常见误区与注意事项 1.正方形性质的深度理解 2利用正方形性质分析角度关系 3.结合正方形的性质求线段长 4.基于正方形的性质计算图形面积 常考题型 度 精讲精炼 5.正方形折叠变换问题解析 6.借助正方形性质的几何证明 7.四边形为正方形的判定证明 8.正方形的性质与判定综合求线段长度 9.正方形的中线四边形相关问 10.(特殊)平行四边形的动点综合问题 题 期末备考 压轴题(15题) 压轴通关 2 期末必备知识点梳理 【知识点01.正方形的定义】 正方形的定义 定义1：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义2：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 定义3：有一个角是直角的菱形叫做正方形。 理解： 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形。 这意味着正方形同时具备平行四边形、矩形和菱形的所有性质。 【知识点02.正方形的性质】 正方形的性质是其所有判定方法的基础，必须熟练掌握。 1.边的性质 *对边平行：ABCD,ADBC。 试卷第1页，共3页 *四边相等：AB=BC=CD=DA。 2.角的性质 四个角都是直角：∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3.对角线的性质 (1)对角线互相平分：A0=C0,B0=D0。 (2)对角线相等：AC=BD (3)对角线互相垂直：AC⊥BD。 (4)对角线平分内角：每条对角线平分一组对角。例如，AC平分∠DAB和∠BCD。 对角线性质的推论： 【知识点03.正方形的判定方法】 判定一个四边形是正方形，通常有三种思路：从定义出发、从矩形出发、从菱 形出发。 1.从定义出发（最根本的判定方法） 判定定理1：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在口ABCD中，若AB=AD且∠A=90°，则口ABCD是正方形。 2.从矩形出发 判定定理2：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形ABCD中，若AB=AD,则矩形ABCD是正方形。 3.从菱形出发 判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形ABCD中，若∠A=90°，则菱形ABCD是正方形。 【知识点04.常见误区与注意事项】 误区1：认为“对角线相等且垂直的四边形是正方形”。 纠正：这个条件不充分。对角线相等且垂直的四边形不一定是平行四边形，例如 筝形。 正确表述：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 误区2：认为“四个角都相等的四边形是正方形”。 纠正：四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形。 误区3：认为“四条边都相等的四边形是正方形”。 试卷第1页，共3页 纠正：四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形。 3 常考题型精讲精练 【题型1.正方形性质的深度理解】 【典例】正方形具有而矩形不一定具有的性质是() A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.四条边相等 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE,则∠AED的度数为」 B 【跟踪专练2】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成 为图1所示的图形，并测得∠B=60°，对角线AC=10cm,接着调整学具成为图2所示的图 形，测得∠B=90°，则图2中对角线AC的长为(). 图1 图2 A.10cm B.10√2cm C.106cm D.20√2cm 【题型2.利用正方形的性质分析角度关系】 【典例】如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为S,S2,当S=18时， S,的大小是 【跟踪专练I】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF, 试卷第1页，共3页 EF,LEAF=45°，若∠FEC=,则∠BAE一定等于() D A.2 B.90-0 c15-0 D.90°-a 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则∠1+∠2=度. 【题型3.结合正方形的性质求线段长度】 【典例】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分 关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为S,正方形边长为2，则S为() A.0.25π B.0.5π C.0.75π D.刀 【跟踪专练1】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它 由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长 都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为_一·（用含a,b的式子表示） 【跟踪专练2】如图，将边长为2V3的正方形ABCD绕点B顺时针旋转30°得到正方形 A'B'C'D',CD与A'D'交于点M,连接BM,那么点M的坐标为() 试卷第1页，共3页 D D A.(2W3,2 B.（2,25 C.(25,5) D.(5,2V5) 【题型4.基于正方形的性质计算图形面积】 【典例】如图，正方形EFGH的边EH在正方形ABCD的边AD上，边FG在AD下方，连 接BF、CG,若AB=3,EF=1,则四边形BCGF(阴影部分)的面积为 E D B 【跟踪专练1】如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点0是其中 一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为() A.8cm2 B.10cm2 C.12cm2 D.16cm2 【跟踪专练2】如图，E、F是正方形ABCD内的点，AE⊥EF,EF⊥FC,AE=EF=3, CF=1,则正方形的面积为一 B 【题型5.正方形折叠变换问题解析】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为a,将正方形折叠，使顶点C落在AB边上的点G处， 试卷第1页，共3页 折痕为EF.若AG:GB=2:1,则线段BF的长为() 0 E H B G 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是BC的中点，把△ABE沿AE折 叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的长为一 D G 【跟踪专练2】如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是边AD的中点，将这张正方 形纸片折叠，使点C落到AD边上的点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F.则 DF:DE的值是() G B C A.3 B.V5 4 4 D. 【题型6.借助正方形性质的几何证明】 【典例】如图，在正方形ABCD中，点O是正方形中心，E是边AD上一点，连接 OE,OD,OC,过点O作OE的垂线交CD于点F,若AE=5,CF=2,则正方形ABCD的面 积为一 试卷第1页，共3页 D B 【跟踪专练1】用一张正方形的纸片ABCD按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕 EF,再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕CG,使点D落在EF上的点H处，连接BH, DH,DH与CG交于点I.有下列结论：①CG⊥DH;②aDHC为等边三角形；③ ∠BHD=135°；④EH=(2-√3)HI,其中正确的是() G A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④ 【跟踪专练2】如图，在正方形ABCD中，AB=12,CE=DF=3,DE,AF交于点G, 点H为AE的中点，连接GH,则GH的长为 D G ◇ H 【题型7.四边形为正方形的判定证明】 【典例】如图，有下列条件：①AB=BC∠BAD=90°；②AC⊥BD,AC=BD;③ OA=OD,BC=CD;④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA,其中，能判定口ABCD是正方形 的有（) 试卷第1页，共3页 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【跟踪专练1】按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹 角的角度为45°，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ·如果剪口线与折痕夹角的角 度不为45°，得到的图形是一 【跟踪专练2】如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°(0<a<180)得到线段A'B ,A,B的对应点分别是点A,B,依次连接AA',A'B,BB',B'A,则下列结论不一定正确的是 () A.∠AA'B=90 B.对于任意a,四边形AA'BB'都是矩形 C.AB=2BB' D.当a=90°时，四边形AA'BB'是正方形 【题型8.正方形的性质与判定综合求线段长度】 【典例】如图，在ABC中，∠ACB=90°， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC,AB相交于点M1,M2;分别以M, M,为圆心，大于MM,的长为半径画弧，两弧相交于点M:作射线AM. ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC,AB相交于点N1,N2;分别以N,N2 为圆心，大于兮NN,的长为半径画弧，两弧相交于点心作射线BN,与射线4M相交于点 P ③连接CP. 试卷第1页，共3页 根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为】 A B 【跟踪专练1】如图，在平行四边形纸片ABCD中，∠B=60°，AB=8,将纸片沿对角线 AC折叠，点B落在点E处，CE与AD交于点F,连接DE.若CE⊥AD,则DE的长为() B A.4 B.4V5 C.23 D.42 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，AC=10,BC=8,延长BC到P,点O是边CD上一 点，过点O作EF∥BC,∠BCD与∠PCD的平分线分别交EF于点E,点F.当点O是 CD中点时，则四边形ACED的面积为】 B 【题型9.正方形的中心四边形相关问题】 【典例】正方形四条边的中点构成的四边形的形状最准确的是() A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形 【跟踪专练1】顺次连接四边形ABCD的各边中点得到中点四边形EFGH,若AC⊥BD且 AC≠BD,则中点四边形EFGH的形状是（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）. 【跟踪专练2】如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，,要使四边形EFGH为 菱形，应添加的条件是() 试卷第1页，共3页 D H B A.AB∥DC B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD 【题型10.特殊平行四边形的动点综合问题】 【典例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16,BC=21,CD=13,动点P 从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD 上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设 点P的运动时间为t(秒)·以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为() 秒 A、Q B P C A.2或37 .好 D.2或37 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AD=12cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度 运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B,C两点之间做往返运动，两点同时出发， 点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P,Q,C,D四点为顶点的四边 形是矩形，那么运动时间为 【跟踪专练2】如图，矩形ABCD的边48号，5C=,E为4B上一点，且4E=1,F为 AD边上的一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG, 连接CG,则CG的最小值为() 试卷第1页，共3页