期末复习01菱形的性质与判定期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

期末复习01菱形的性质与判定期末冲刺必备讲义 1.理解菱形的定义，能从边、角、对角线三个方面系统掌握菱形的性质。 2.熟练掌握菱形的判定定理，并能运用它们进行相关的证明和计算。 3.理解菱形与平行四边形、矩形之间的关系，体会特殊与一般的辩证思想。 4.能综合运用菱形的性质和判定解决实际问题，培养逻辑推理能力和空间想象能力。 期末必备 知识点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质 3.菱形的判定 4.菱形与平行四边形.矩形的关系 常考题型 精讲精炼 1.利用的性质求角度 2.利用菱形的性质求线段长度 3.利用菱形的性质计算面积 4.利用菱形的性质进行几何证明 5.条件条件使四边形成为菱形 6.证明四边形是菱形 7.结合菱形的性质与判定求线段长度 8.结合菱形的性质与判定计算面积 期末备考 压轴通关 压轴题(14题) 【知识点01.菱形的定义】 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.关键词：“邻边相等”、“平行四边形”。 3.解读： 菱形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。 它是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于 “有一组邻边相等”。这一条件使得它区别于一般的平行四边形和矩形。 【知识点02.菱形的性质】 菱形具有平行四边形的一切性质，并且还有它自身独特的性质。 性质类型 平行四边形的性质 菱形特有的性质 边 1.对边平行2.对边相等 1.四条边都相等 角 1.对角相等2.邻角互补 无 对角线 1.互相平分 1.互相垂直2.每条对角线平分一组对角 对称性 中心对称图形 轴对称图形，有两条对称轴（即两条对角线所在 【性质详解】 1.边的性质：菱形的四条边都相等。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB = BC = CD = DA 2.对角线的性质： (1)性质一：菱形的两条对角线互相垂直。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AC ⊥ BD (2)性质二：菱形的每条对角线平分一组对角。 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AC 平分∠DAB 和∠BCD，BD 平分∠ADC 和∠ABC。 3对称性：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴。 【面积公式】 菱形的面积有两种计算方法： 1.底 × 高：和普通平行四边形面积公式相同。 S = 底 × 高 2.对角线乘积的一半：这是菱形特有的面积公式。 S = (对角线 1 × 对角线 2) / 2 【知识点03.菱形的判定】 盘定一个四边形是菱形，有以下四种方法： 判定方法 几何语言描述 核心条件 定义法 1.一个四边形是平行四边形2.它的一组邻边相等 平行四边形 + 一组邻边相等 判定定理 1 一个四边形的四条边都相等 四条边相等 判定定理 2 1.一个四边形是平行四边形2.它的两条对角线互相垂直 平行四边形 + 对角线互相垂直 判定定理 3 1.一个四边形的对角线互相平分2 它的两条对角线互相垂直 对角线互相平分且垂直 【知识点04.菱形与平行四边形.矩形的关系】 它们都属于四边形，菱形和矩形都是特殊的平行四边形。 1.包含关系： 菱形 ⊂ 平行四边形 矩形 ⊂ 平行四边形 2.区别与联系： 菱形：在平行四边形的基础上，增加了 “邻边相等” 的条件。 矩形：在平行四边形的基础上，增加了 “有一个角是直角” 的条件。 正方形：是同时满足菱形和矩形条件的特殊四边形，即 “邻边相等且有一个角是直角的平行四边形”。 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点F正好落在的延长线上，连接．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠问题，等边对等角等知识， 先根据菱形的性质得出：，再根据折叠可得：，利用等边对等角得，即可得出答案． 【详解】解：在菱形中， ， ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了菱形、垂直平分线、三角形外角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵菱形中，与相交于点O，， ∴，， ，平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型2.利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形；连接相交于点E，根据题意得到，得到，写出坐标即可． 【详解】解：连接相交于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴轴， ∴，轴， ∴，     ∴点D的坐标为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，，若，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理可得到的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴，， 根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质以及中位线定理是解题的关键．先利用菱形对角线的性质求出线段长度，再通过构造中位线得到相关线段的长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 【题型3.利用菱形的性质计算面积】 【典例】如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米， ∴菱形花坛的面积为（平方米）， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为10， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则的值为． 故选：B． 【题型4.利用菱形的性质进行几何证明】 【典例】已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的高等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长．根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得为直角三角形，根据，可以求得的值，根据菱形的面积和边长即可求得菱形的高． 【详解】解：如图，由题意知，， 则菱形的面积， 菱形对角线互相垂直平分， 为直角三角形，，， ， 菱形的高等于 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，是对角线，E 为上一点，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由菱形的性质可求，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理可求的长，分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， 与互相垂直平分，，， 是等边三角形， ，， ， 当时，则， ， ∴， ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：或1． 【题型5.添加条件使四边形成为菱形】 【典例】已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、中，不是邻边，不能判定是菱形，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为菱形，故本选项正确； C、中，，判定是矩形，故本选项错误； D、中，，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】在物理实验中，有一个平行四边形框架，它可以在力的作用下发生形变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架在静止状态下成为菱形框架（四条边长度相等）的是（   ） A．框架两条对角线和所受的拉力大小相等（） B．框架的边和所受的拉力大小相等（） C．框架两条对角线和相互垂直（） D．框架的边和所受的拉力方向平行（） 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法解题即可． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴． 故选：C ． 【题型6.证明四边形使菱形】 【典例】对角线互相垂直平分的四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．根据菱形的判定定理直接得出结论即可． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质， 含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法解决本题是关键． 作于点E，于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得，再根据等面积法证明，进而证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质得出，然后根据定理得出，求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于点E，于点F， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ， ， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【题型7.结合菱形的性质与判定求线段长度】 【典例】如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 【题型8.结合菱形的性质与判定计算面积】 【典例】如图，平行四边形的对角线、相交于点，若，则平行四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理得出为直角三角形，，从而得出，证明四边形为菱形，再求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 故答案为：24． 【跟踪专练1】“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 1．如图，及四个条件：①；②；③；④．从四个条件中任选一个，可判定一定是菱形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与简单概率计算，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据添加的条件判断四边形是菱形，再结合概率公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加或， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 添加：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴添加， ∴四边形是矩形， ∴从四个条件中任选一个，可判定一定是菱形的概率为． 故答案为： 2．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的判定与性质．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图知， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 3．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 4．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 5．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，菱形的对角线、交于原点，，若，，将菱形绕点旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，旋转的性质．根据，得出，且轴，根据得出是等边三角形，进而可得，再求得与轴的夹角和与轴的夹角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且轴， ∵菱形对角线、交于原点 ∴， 如图，设，交轴于点，，交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵轴， ∴ ∵， ∴将菱形绕点旋转，使点落在轴的正半轴上， 旋转角为，则旋转后点对应点的坐标是 故选：B． 7．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行四边形的性质是关键． 分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴BE⊥AC． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． 由题意， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故答案为：②④。 8．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 如图，过点A分别作，边上的高为，，连接AC， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形， 设菱形的边长为x， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即纸条宽度为． 故选：D． 9．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可． 【详解】解：向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误， ∴③错误； 综上，正确结论的是①④． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键． 10．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 11．在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形中，是边上的中点，与对角线相交于点，如果，则一定有．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空： 第一步：利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：利用三角形的全等证明她的猜想． 证明：四边形是菱形 ， ① ， ② ， 是中点， ， ③ ， 在和中， ， ， ， 【答案】图见解析，菱形的性质，，，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，过点作的垂线，垂足为，由菱形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，进一步得到，证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作的垂线，垂足为， 四边形是菱形， ，（菱形的性质）    ， ， 是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：菱形的性质，，，． 12．如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，． (1)如图1，当，时． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）①证明是线段的垂直平分线，可得，利用角度转换得到，即可证明； ②根据，可得，通过线段转换得到，即可证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，即可得到四边形为菱形，即可解答； （2）在的延长线上取点使，得到是线段的垂直平分线，再证明，继而得到是等腰三角形，得到，即可解答． 【详解】（1）①证明：，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ； ②解：，理由如下： ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，在的延长线上取点使， ， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， ． 13．在直角三角形中，，（），在边上取一点D，使得，点E、F分别是线段的中点，连接和，作，交于点M，如图1所示． (1)请判断四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论∶ (2)将绕点E顺时针旋转到，交线段于点G，交于点N，如图2所示，请证明：； (3)在（2）条件下，若点G是中点，且，如图3，求的长度． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，证明四边形为平行四边形，再证明，即可得出结论； （2），表示出相关的角，得出，再根据旋转的性质和角的和差得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （3）延长交于点，得出是直角三角形，是等腰三角形，最后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵点E、F分别是线段的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵, ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：假设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵在直角三角形中，，点F分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点， 由（2）得，， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 假设，则， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∵点G是中点， ∴， ∴， 由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 14．如图1，在平面直角坐标系中，，，边在x轴上，顶点在y轴上，，，是的中点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿边向终点A匀速运动．以为一边作．点在射线上，以线段为边在线段左侧作菱形，点在x轴上，设点的运动时间为t（秒）． ①当菱形的顶点落在直线上时，求出此时t的值； ②在运动过程中，设菱形与重叠部分的面积为S，当时，请求出对应运动时间t的值； (3)在（2）的条件下，在点运动过程中，当菱形的边与线段相交时，设交点为点，点关于直线的对称点为点，直线与直线相交与点，若，请直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)①；②t的值为3或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的相关问题． （1）先求出，点的坐标即可求出直线的解析式； （2）先用含t的代数式表示出菱形的边长，再根据菱形与三角形重叠部分的形状用面积法列出方程求出t即可； （3）根据题意先求P点坐标，再求直线的斜率、直线的斜率，最后求出Q点的坐标即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：， ， ， 设的解析式为：，代入A、C点坐标列出方程组求得， 所以直线的解析式是：； （2）解：， ， ， 菱形， ，， ①当点G落在直线上时，如图1所示 由题意可知为等边三角形，，，； ②当菱形与的重叠部分为三角形时（如图2所示）， 为等边三角形，所以它的面积， 解之得，，， ，舍， 当菱形与的重叠部分为平行四边形时（如图3所示），过点F作于点N， 则，，因为重叠部分面积是 所以由题意得，解之得(舍) 综上所述，t的值为3或 （3）解：如图4所示，，， ，，，， 过点P作轴于N点，则， 设， 如图5，过点作于点M， ， 可设设， 可列方程，解之得，， 过点Q作于点R，则在中，， 设则， 由题意得， 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的相关问题，涉及到一次函数的图像及其性质、解直角三角形，图形的平移等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习01菱形的性质与判定期末冲刺必备讲义 期未复习目标 1.理解菱形的定义，能从边、角、对角线三个方面系统掌握菱形的性质。 2.熟练掌握菱形的判定定理，并能运用它们进行相关的证明和计算。 3.理解菱形与平行四边形、矩形之间的关系，体会特殊与一般的辩证思想 4.能综合运用菱形的性质和判定解决实际问题，培养逻辑推理能力和空间想象 能力。 2 期未复习内容概览 期末必备 1.菱形的定义 2.菱形的性质 知识点梳理 3.菱形的判定 4.菱形与平行四边形.矩形的关系 1.利用的性质求角度 2.利用菱形的性质求线段长度 常考题型 3.利用菱形的性质计算面积 4.利用菱形的性质进行几何证明 精讲精炼 5.条件条件使四边形成为菱形 6.证明四边形是菱形 7.结合菱形的性质与判定求线段长 8.结合菱形的性质与判定计算面 度 积 期末备考 压轴题(14题) 压轴通关 3 期末必备知识点梳理 【知识点01.菱形的定义】 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.关键词：“邻边相等”、“平行四边形”。 3.解读： 菱形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。 它是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于“有一组邻边相等”。这一条件使 得它区别于一般的平行四边形和矩形。 试卷第1页，共3页 【知识点O2.菱形的性质】 菱形具有平行四边形的一切性质，并且还有它自身独特的性质。 性质类 型 平行四边形的性质 菱形特有的性质 边 1.对边平行2.对边相等 1.四条边都相等 角 1.对角相等2.邻角互补 无 对角线 1. 互相平分 1.互相垂直2.每条对角线平分一组对角 轴对称图形，有两条对称轴（即两条对角线 对称性 中心对称图形 所在 【性质详解】 1.边的性质：菱形的四条边都相等。 几何语言：，'四边形ABCD是菱形∴.AB=BC=CD=DA 2.对角线的性质： (1)性质一：菱形的两条对角线互相垂直。 几何语言：，'四边形ABCD是菱形∴.AC⊥BD (2)性质二：菱形的每条对角线平分一组对角。 几何语言：，'四边形ABCD是菱形∴.AC平分∠DAB和∠BCD,BD平分∠ADC 和∠ABC。 3对称性：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴。 【面积公式】 菱形的面积有两种计算方法： 1.底×高：和普通平行四边形面积公式相同。 S=底×高 2.对角线乘积的一半：这是菱形特有的面积公式。 S=(对角线1×对角线2)/2 【知识点O3.菱形的判定】 盘定一个四边形是菱形，有以下四种方法： 判定方法 几何语言描述 核心条件 定义法 平行四边形+一组邻边 1.一个四边形是平行四边形2.它的一组邻边相等 相等 试卷第1页，共3页 判定方法 几何语言描述 核心条件 判定定理 个四边形的四条边都相等 四条边相等 1 判定定理1.一个四边形是平行四边形2.它的两条对角线互平行四边形+对角线互 2 相垂直 相垂直 判定定理1.一个四边形的对角线互相平分2它的两条对角 对角线互相平分且垂直 3 线互相垂直 【知识点04.菱形与平行四边形.矩形的关系】 它们都属于四边形，菱形和矩形都是特殊的平行四边形。 1.包含关系： 菱形C平行四边形 矩形C平行四边形 2.区别与联系： 菱形：在平行四边形的基础上，增加了“邻边相等”的条件。 矩形：在平行四边形的基础上，增加了“有一个角是直角”的条件。 正方形：是同时满足菱形和矩形条件的特殊四边形，即“邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形”。 常考题型精讲精练 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形ABCD中，AB=BD,则∠A的度数为() D A.30° B.45 C.60° D.909 【跟踪专练1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E是BC边上一点， 连接OE,把△BOE沿直线OE翻折到菱形ABCD所在平面内得到FOE,点F正好落在 DC的延长线上，连接EF,若∠BAD=I28°，则∠EFC的度数为 试卷第1页，共3页 B 【跟踪专练2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB的垂直平分线EF交 AC于点F,连接DF.若∠CAB=B,则LCDF的度数为() D 小 A.180°-3B B.2B C.45°+B D.90- 【题型2.利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，菱形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为(-6,1，点 C的坐标为(0,1，则点D的坐标为 D B 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O,∠A=60° ,若Am,n),D(m+4,n),将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转 后点C对应点的坐标是() A.(0,V5 B.(0,-V5 C.0,25 D.(0,-25 【跟踪专练2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6, E,F分别为BC,OD的中点，连接EF,则EF的长为. 试卷第1页，共3页 【题型3.利用菱形的性质计算面积】 【典例】如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛ABCD,若菱形花坛ABCD的两条 对角线AC、BD的长分别为6米和10米，则菱形花坛ABCD的面积为() B A.60平方米 B.50平方米 C.40平方米 D.30平方米 【跟踪专练1】如图，菱形ABCD中，∠B=45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于 点F,作EG⊥BC于点G,若EF+EG=3,菱形ABCD的面积为 D 【跟踪专练2】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点 E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长是10，面积是12.则PE+PF的值是() A.4 B. 24 C.6 D. 5 【题型4.利用菱形的性质进行几何证明】 【典例】己知一个菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的高等于一 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，在菱形ABCD中，∠C=100°，BD是对角线，E为BD上一点， BE=BC,连接AE,则∠EAD的度数为() A.20° B.25° C.30° D.40° 【跟踪专练2】在菱形ABCD中，∠B=120°，AB=2,M为对角线AC的中点，N为边AB上 一个动点，若△AMN为等腰三角形，则BN的长为一 【题型5.添加条件使四边形成为菱形】 【典例】已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件可以使口ABCD为菱形的是() A.AB=AC B.AC⊥BD C.∠BAC=90 D.AC=BD 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC,不添加 任何字母与辅助线，添加一个适当的条件，使四边形AECF是菱形. 【跟踪专练2】在物理实验中，有一个平行四边形框架ABCD,它可以在力的作用下发生形 变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架ABCD在静止状态下成为菱 形框架（四条边长度相等）的是() A.框架两条对角线AC和BD所受的拉力大小相等(AC=BD) B.框架的边AB和DC所受的拉力大小相等(AB=DC) C.框架两条对角线AC和BD相互垂直(AC⊥BD) D.框架的边AD和BC所受的拉力方向平行(AD∥BC) 【题型6.证明四边形使菱形】 【典例】对角线互相垂直平分的四边形是」 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() 试卷第1页，共3页 A.当∠BAC=90°时，平行四边形ABCD是菱形 B.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形 C.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形 D.当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD是正方形 【跟踪专练2】如图，将两条宽度都为3cm的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形ABCD, 且∠ABC=60°，则四边形ABCD的周长为 【题型7.结合菱形的性质与判定求线段长度】 【典例】如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB,使OA=OB;分别以点A、B为圆 心，OA长为半径作弧，两弧交于点C;连接AC、BC、AB、OC.若AB=2cm,四边形 0ACB的面积为6cm2.则0C=（) M 8 A.3cm B.12cm C.6cm D.8cm 【跟踪专练1】如图，在口ABCD中，以点D为圆心，CD的长为半径作弧交AD于点G, 分别以点C,G为圆心，大于)CG的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线DE交BC于 点F,交CG于点0，若AB=13,GC=24,则DF的长为 B 试卷第1页，共3页 G ,由作图知：CD=GD,CF=GF,DE平分∠CDG, ∠ADE=∠CDE, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,CD=AB=13, .∠ADE=LCFD, .LCDF=∠CFD, .CD=CF =13, CD=DG, .CF=DG, .四边形CDGF是平行四边形， .四边形CDGF是菱形， DF=20D,C0=cG=x24=12,0F1cG, .0D=VCD2-0C2=V132-122=5, DF=20D=10, 【跟踪专练2】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于 点E,若BF=8,AB=5,则AE的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 【题型8.结合菱形的性质与判定计算面积】 【典例】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若 AC=6,BD=8,AB=5,则平行四边形ABCD的面积为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李 老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若∠BAD=45°，重叠部分图形的面积 是36√2cm2,则丝带的宽为() A.6cm B.12cm C.6√2cm D.12√2cm 【跟踪专练2】如图，过。ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB ,BC,CD,DA于E,F,G,H四点，连接EF,FG,GH,HE.若GH=25, EO=15,则四边形EFGH的面积为 D G 期末备考压轴通关 1.如图，口ABCD及四个条件：①AB=AD;②AC⊥BD;③AC=BD;④ ∠BAC=∠DAC.从四个条件中任选一个，可判定口ABCD一定是菱形的概率为 2.如图，在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB,分别以点A,B为圆心，OA 试卷第1页，共3页 长为半径作弧，两弧交于点C,连接AC,BC,AB,OC.若AB=2cm，,四边形0ACB的面 积为6cm2,则0C的长为cm. M 3.如图：分别以A、C为圆心，以大于)4C的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D, 依次连接A,B,C,D和BD.若AB=5,AC=8,则四边形ABCD的面积为 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=70°，E是线段AO上的 一点，且BC=CE,则∠OBE的度数是() A A.30.5° B.32.5° C.25.5° D.27.5° 5.如图，在面积为96的菱形ABCD中，对角线BD=16,点O是线段BD上的动点， OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.则OE+OF=() E B D C A.9.6 B.4.8 C.19.2 D.5.6 6.在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC、BD交于原点O,∠A=120°，若 Am,V),D(m+4,V5),将菱形ABCD绕点0旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转 试卷第1页，共3页